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1 Analyse factorielle confirmatoire, Modèle de causalité (Path analysis) et Modélisation déquations structurelles sur variables latentes Michel Tenenhaus.

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1 1 Analyse factorielle confirmatoire, Modèle de causalité (Path analysis) et Modélisation déquations structurelles sur variables latentes Michel Tenenhaus

2 2 Analyse factorielle confirmatoire Exemple Kendall

3 3 Modèle de causalité (Path analysis, Equations simultanées)

4 4 Modèle de relations structurelles sur variables latentes

5 5 Modélisation de relations de causalité sur variables latentes ECSI Path model for a Mobile phone provider Approche confirmatoire Reconstituer les covariances et valider un modèle Covariance-based SEM - AMOS (SPSS) - Proc CALIS (SAS) Approche exploratoire Estimer les variables latentes et estimer les équations de régression Component-based SEM - PLS-Graph - XLSTAT-PLSPM - GSCA

6 6 I. Analyse Factorielle Confirmatoire Les données de Long (J. Scott Long : Confirmatory Factor Analysis, SAGE Publications, 1986) chefs de famille de la région de Hennepin, Illinois - PSY67=Désordres psychologiques 1967 PHY67=Désordres psycho-physiologiques 1967 PSY71=Désordres psychologiques 1971 PHY71 =Désordres psycho-physiologiques 1971

7 7 Données Les données sont les covariances entre les variables manifestes :

8 8 Le 1 er modèle spécifié par Long XSI1 PSY67 D1 L11 1 PHY67 D2 L21 1 XSI2 PSY71 D3 L32 1 PHY71 D4 L42 1 phi12 theta13theta24 Variables manifeste Variables latentes Résidus phi11 phi22 theta11 theta22theta33theta44

9 9 Étude du 1 er modèle spécifié Les 13 paramètres du modèle 11, 21, 12, = Var( 1 ), 22 = Var( 2 ), 12 = Cov( 1, 2 ) 11 = Var( 1 ), 22 = Var( 2 ), 33 = Var( 3 ), 44 = Var( 4 ) 13 = Cov( 1, 3 ), 24 = Cov( 2, 4 ) Covariances sur la population Matrice Modèle identifiable Les paramètres ( ) du modèle peuvent sexprimer de manière unique en fonction de la matrice des covariances vérifiant le modèle : C.N. : Nb de paramètres q(q+1)/2. Les équations factorielles PSY67 = PHY67 = PSY71 = PHY71 =

10 10 Modèle identifiable Espace des paramètres admissibles ( ) Espace de tous les possibles Espace des ( ) suivant le modèle Si 1 2, ( 1 ) ( 2 )

11 11 Étude du 1 er modèle spécifié Les paramètres du modèle 11, 21, 12, = Var( 1 ), 22 = Var( 2 ), 12 = Cov( 1, 2 ) 11 = Var( 1 ), 22 = Var( 2 ), 33 = Var( 3 ), 44 = Var( 4 ) 13 = Cov( 1, 3 ), 24 = Cov( 2, 4 ) Les équations factorielles Décomposition de la covariance

12 12 2 e modèle de Long (identifiable) Normalisation des variables latentes Var( 1 ) = 11 = 1, Var( 2 ) = 22 = 1 Stabilité des saturations au cours du temps PSY67,1 = PSY71,2 PHY67,1 = PHY71,2 Indépendance entre les résidus 13 = Cov( 1, 3 ) = 0 24 = Cov( 2, 4 ) = 0

13 13 Le 2 e modèle (identifiable) spécifié par Long Le nombre de paramètres (7) est inférieur au nombres de variances et covariances (10) : Nombre de degrés de liberté = 3. 1 XSI1 PSY67 theta11 D1 L11 1 PHY67 theta22 D2 L XSI2 PSY71 theta33 D3 L11 1 PHY71 theta44 D4 L21 1 phi12

14 14 Étude du 2 e modèle spécifié Les paramètres du modèle 11, = Cov( 1, 2 ) 11 = Var( 1 ), 22 = Var( 2 ), 33 = Var( 3 ), 44 = Var( 4 ) Les équations factorielles Décomposition de la covariance

15 15 Calcul de la matrice des covariances théoriques (modèle 2) Les équations factorielles PSY67 = PHY67 = PSY71 = PHY71 = Les covariances Les 7 paramètres du modèle 1, 2, Var( h ) = 1, 12 = Cov( 1, 2 ), i = Var( i ) Modèle identifiable : les paramètres sexpriment de manière unique en fonction des covariances. C.S.: 1 bloc 3 VM 2 blocs et + 2 VM par bloc

16 16 Estimation et validation du modèle Notations - q = Nombre de variables manifestes - n = Nombre dobservations (règle courante : n > 10*(nb de paramètres)) - = Matrice des covariances au niveau de la population - S = Matrice des covariances observées - C = Matrice des covariances calculées à laide du modèle Maximum de vraisemblance En supposant les données multinormales le maximum de vraisemblance conduit à rechercher les paramètres du modèle minimisant la fonction F(S,C) = Trace(SC -1 ) - q + Ln(det C) - Ln(det S) FMIN Tests de validation du modèle - Si le modèle étudié est exact : Chi-Square = CMIN = (n-1)FMIN 2 (dl M ) - dl M = Nb de covariances - Nb de paramètres du modèle M - Modèle accepté si p-value 0.05 ou bien si Chi-Square/dl M 2 à 5 - Modèle accepté si RMSEA 0.05, toléré jusquà 0.08 Augmente avec n !!! Dépend très peu de n

17 17 Estimation du modèle Espace des paramètres admissibles ( ) Espace de tous les possibles Espace des ( ) suivant le modèle S C 2 = CMIN=(n-1)FMIN

18 18 Résultats des estimations des paramètres avec AMOS Modèle 2 de LONG Chi-Square = DF = 3 P-Value =.000 Chi-Square/df = XSI1 PSY67.52 D PHY67.22 D XSI2 PSY71.40 D PHY71.16 D RMSEA =.104 p-value =.010

19 19 Matrice des covariances et des corrélations observées et reconstituées à laide du modèle 2 Exemple : Var(PHY71) = Var(.30XSI2 + D4) =.30 2 Var(XSI2) + Var(D4) = =

20 20 Ecart dû à lapproximation de la réalité par le modèle Soit la matrice des covariances calculée au niveau de la population et C 0 la matrices des covariances calculées à laide du modèle minimisant la fonction F(,C 0 ) = Trace( C 0 -1 ) - q + Ln(det C 0 ) - Ln(det ) FMIN 0 Si le modèle est exact, FMIN 0 = 0.

21 21 Ecart dû à lapproximation de la réalité par le modèle Espace des paramètres admissibles ( ) Espace de tous les possibles Espace des ( ) suivant le modèle population C FMIN S C0C0 FMIN 0

22 22 Loi du khi-deux non centrée

23 23 Loi générale de CMIN = (n-1)FMIN (Le modèle étudiée nest pas nécessairement le bon) CMIN suit une loi du khi-deux non centrée à dl M degrés de liberté et de paramètre de non centralité =(n-1)FMIN 0. Estimation de = (n-1)FMIN 0 Estimation de FMIN 0 Favorise les modèles avec beaucoup de paramètres (CMIN et dl M petits)

24 24 Validation du modèle à laide du RMSEA (Root Mean Square Error of Approximation) Le RMSEA mesure la « distance » entre la matrice des covariances calculées C 0 à laide du modèle M et la matrice des covariances sur la population : FMIN 0 = Trace( C 0 -1 ) - q + Ln(det C 0 ) - Ln(det ) où - Ne dépend pas de n. - Corrigé pour le nombre de paramètres.

25 25 Utilisation pratique du RMSEA Le RMSEA est estimé par Le modèle est accepté si le RMSEA estimé est inférieur à 0.05 ou, à la limite, à 0.08.

26 26 RMSEA Espace des paramètres admissibles ( ) Espace de tous les possibles Espace des ( ) suivant le modèle population C FMIN S C0C0 FMIN 0

27 27 Utilisation pratique du RMSEA Les programmes fournissent : -Intervalle de confiance à 90% du RMSEA -Niveau de signification du test H 0 : RMSEA 0.05 Le test sur le Khi-deux est très exigeant puisquil correspond en fait au test H 0 : RMSEA = 0

28 28 Utilisation de la Proc CALIS data long1 (type=corr); input _type_ $ _name_ $ v1-v4 ; label v1 ='PSY67' v2 ='PHY67' v3 ='PSY71' v4 ='PHY71'; cards; N STD CORR V CORR V CORR V CORR V ;

29 29 Utilisation de la Proc CALIS proc calis covariance corr residual modification ; lineqs v1 = L11 f1 + d1, v2 = L21 f1 + d2, v3 = L11 f2 + d3, v4 = L21 f2 + d4; std d1 = theta1, d2 = theta2, d3 = theta3, d4 = theta4, f1 = 1, f2 = 1; cov f1 f2 = phi12; var v1-v4; run;

30 30 Résultat de la Proc CALIS pour le modèle 2 RMSEA Estimate RMSEA 90% Lower Confidence Limit RMSEA 90% Upper Confidence Limit Résultat de AMOS pour le modèle 3 RMSEA LO 90 HI 90 PCLOSE Lhypothèse H 0 : RMSEA 0.05 est rejetée puisque : (1) lintervalle de confiance du RMSEA est au-dessus de 0.05, (2) Niveau de signification du test = = « Proba. (H 0 vraie) » Le modèle 2 nest pas accepté. Conclusion

31 31 Le modèle saturé : Ce modèle contient autant de paramètres que de données : [q(q+1)/2]. Ce modèle présente 0 degré de liberté. [Il reconstitue parfaitement la matrice des covariances : FMIN=0] Le modèle correspondant à lindépendance entre les VM : Toutes les variables manifestes sont indépendantes entre elles. Les seuls paramètres à estimer sont les variances des VM. Ce modèle présente le nombre maximum de degrés de liberté. [Cest le modèle avec le plus de contraintes possibles] Deux modèles extrêmes

32 32 Indices de Validation basés sur la comparaison au modèle de lindépendance : Bentler Comparative Fit Index (CFI) CFI compare le modèle étudié au modèle correspondant au cas de lindépendence entre les variables manifestes : Le modèle est accepté si CFI 0.9

33 33 Bentler-Bonnet Non-Normed Fit Index (NNFI) équivalent au Tucker-Lewis Index (TLI) Le modèle est accepté si : NNFI 0.9 ou même 0.95

34 34 Goodness-of-Fit Index (GFI) Adjusted Goodness-of-Fit Index (AGFI) Le modèle est accepté si : GFI et AGFI 0.9

35 35 Root Mean Square Residual (RMR) Standardized RMR à comparer à.10.

36 36 Akaike Information Criterion (AIC) calculé dans AMOS ECVI

37 37 Amélioration du modèle Utilisation des indices de modification Les indices de modification mesurent la diminution du khi-deux obtenue en ajoutant une flèche (simple ou double) sur le schéma fléché. Rank Order of the 5 Largest Modification Indices Row Column Chi-Square Pr > ChiSq d3 d <.0001 d3 d <.0001 d4 d <.0001 SAS AMOS Modification Indices Covariances:M.I. Par Change D2 D D2 D

38 38 3 e modèle : Utilisation de la Proc CALIS proc calis covariance corr residual modification outstat = a; lineqs v1 = L11 f1 + d1, v2 = L21 f1 + d2, v3 = L11 f2 + d3, v4 = L21 f2 + d4; std d1 = theta1, d2 = theta2, d3 = theta3, d4 = theta4, f1 = 1, f2 = 1; cov f1 f2 = phi12, d2 d4 = theta24; var v1-v4; run;

39 39 Résultats du 3 e modèle visualisés avec AMOS Coefficients standardisés (écart-type =.047)

40 40 Estimation des variables latentes Résultat de loption OUTSTAT de la Proc CALIS _NAME_ v1 v2 v3 v4 f f Chaque variable latente est estimée par régression multiple de la variable latente théorique sur toutes les variables manifestes centrées : - XSI1 = 0.529*PSY *PHY *PSY *PHY71 - XSI2 = 0.072*PSY *PHY *PSY *PHY71

41 41 II. Analyse factorielle confirmatoire du second ordre (analyse de tableaux multiples) Facteurs du 1 er ordre Facteur du 2 e ordre

42 42 Résultats visualisés avec AMOS (Coefficients non standardisés )

43 43 Résultats visualisés avec AMOS (Coefficients standardisés )

44 44 Estimation des variables latentes - XSI1 = 0.365*PSY *PHY *PSY *PHY71 - XSI2 = 0.090*PSY *PHY *PSY *PHY71 - XSI = 0.220*PSY *PHY *PSY *PHY71 On peut aussi estimer chaque facteur du premier ordre comme combinaison linéaire de ses variables manifestes : - en prenant le fragment du facteur de 2 e ordre XSI correspondant à chaque bloc (style AFM), - par régression du facteur du second ordre XSI sur chaque bloc (style ACG ou Mode B de lapproche PLS), - par régression PLS de XSI sur chaque bloc (chaque variable manifeste est pondérée par sa covariance avec XSI).

45 45 III. Autres méthodes destimation Generalized Least Squares (GLS) * Fonction minimisée : F = 0.5*||I - S -1 C|| 2 Asymptotically distribution-free (ADF) * Fonction minimisée : Scale free Least Squares (SLS) Fonction minimisée : F = 0.5*||{diag(S)} -1 (S - C)|| 2 * Chi-Square = (n-1)F 2 (ddl) si le modèle étudié est exact. Unweighted Least Squares (ULS) Fonction minimisée : F = 0.5*||S – C|| 2

46 46 IV. Les modèles de causalité (Path models) X1X1 X2X2 Y1Y1 Y2Y2 D1D1 D2D2 1 1 Modèle récursif X1X1 X2X2 Y1Y1 Y2Y2 D1D1 D2D2 1 1 Modèle non récursif - Erreurs non corrélées - Pas de boucles Récursif vs non récursif

47 47 Modèles de causalité (Path models) X1X1 X2X2 Y1Y1 Y2Y2 D1D1 D2D2 1 1 Modèle partiellement récursif X1X1 X2X2 Y1Y1 Y2Y2 D1D1 D2D2 1 1 Modèle non récursif - Bow-Free pattern - Considéré comme récursif - Bow pattern - Considéré comme non récursif Récursif vs non récursif

48 48 Modèles identifiables Les modèles récursifs sont identifiables. Les conditions pour quun modèle non récursif soit identifiable sont complexes : voir Kline chapitre 9.

49 49 Un exemple de modèle de causalité Variables observées sur 240 individus : -Commitment -Satisfaction -Rewards -Costs -Investment size -Alternative value Engagement sentimental dune personne avec son partenaire - C. E. Rusbult : Commitment and satisfaction in romantic associations: A test of the investment model. Journal of Experimental Social Psychology, L. Hatcher : A step-by-step approach to using the SAS system for factor analysis and structural equation modeling. SAS Institute, 1994

50 50 Description des variables Commitment : the subjects intention to maintain a current romantic relationship Satisfaction : the subjects emotional response to the current relationship Investment size : the amount of time and effort that the subject has put into the current relationship Alternative value : perceived attractiveness of the subjects alternatives to the current relationship Rewards : the subjects perceptions of the number of good things associated with the current relationship Costs : the subjects perceptions of the number of bad things associated with the current relationship

51 51 Le modèle

52 52 Les données

53 53 Résultats (non standardisés) 1.62 e e2 Chi-square = DF = 4 p-value =.000 Chi-square/DF = RMSEA =.187 p-value (RSMEA) =.000 Satisfaction Commitment 1.57 Rewards 1.98 Costs 2.43 Investments 3.50 Alternatives

54 54 Résultats (standardisés) R2=R2= R2=R2=

55 55 Résultats

56 56 Modèle révisé 1

57 57 Résultats pour le modèle 1

58 58 Modèle révisé 2

59 59 Résultats modèle 2

60 60 Modèle révisé 2 : résultats standardisés e1 e2 Chi-square = DF = 2 p-value =.570 Chi-square/DF =.562 RMSEA =.000 p-value (RSMEA) =.726 R2 =.61 Satisfaction R 2 =.70 Commitment Rewards Costs Investments Alternatives

61 61 Exemple Illness (Kline) Corrélations et écarts-types, n = 373 Problème avec les écarts-types !

62 62 Le modèle de Roth Exercice Hardiness Fitness Stress D1D1 1 Illness D2D2 1 D3D3 1 Modèle de Roth en trait continu. Vérifier que les autres liaisons sont non significatives.

63 63 Utilisation de AMOS sur le modèle saturé Exercice Fitness Illness Hardiness Stress e e e Résultats non standardisés

64 64 Résultats standardisés Exercice Fitness Illness Hardiness Stress e1 e2 e

65 65 Résultats modèle saturé Regression Weights: EstimateS.E.C.R.P Fitness<---Exercice *** Fitness<---Hardiness Stress<---Hardiness *** Stress<---Exercice Stress<---Fitness Illness<---Fitness *** Illness<---Stress *** Illness<---Exercice Illness<---Hardiness CMIN ModelNPARCMINDFPCMIN/DF Default model Saturated model Independence model Covariances EstimateS.E.C.R.P Exercice Hardiness Variances: EstimateS.E.C.R.P Exercice *** Hardiness *** e *** e *** e ***

66 66 Effet direct, indirect et total Direct Effects HardinessExerciceFitnessStress Fitness Stress Illness Indirect Effects HardinessExerciceFitnessStress Fitness.000 Stress Illness Total Effects HardinessExerciceFitnessStress Fitness Stress Illness Pas deffet direct de Exercice sur Illness Mais peut-être un effet indirect

67 67 Exemple : effets de Exercice sur Illness Illness =.032*Exercice -.442*Fitness +.271*Stress -.121*Hardiness Fitness =.217*Exercice +.079*Hardiness Stress = -.198*Fitness -.014*Exercice -.393*Hardiness = -.198*(.217*Exercice) -.014*Exercice -.393*Hardiness = -.057*Exercice -.393*Hardiness Illness =.032*Exercice -.442*(.217*Exercice +.079*Hardiness) +.271*(-.057*Exercice -.393*Hardiness) -.121*Hardiness =.032*Exercice -.096*Exercice -.015*Exercice -.267*Hardiness =.032*Exercice -.112*Exercice -.267*Hardiness = -.080*Exercice -.267*Hardiness Effet direct Effet indirect Effet total

68 68 Utilisation du Bootstrap sur des données individuelles et sur des données résumées par leurs moyennes et leur matrice de variances/covariances Les paramètres du modèle peuvent être validés en utilisant le Bootstrap : - Sur des données individuelles sans hypothèse de loi de probabilité - Sur des données résumées par leurs moyennes et leur matrice de variances/covariances en supposant des distributions multinormales avec les moyennes et variances/covariances observées sur les données étudiées. AMOS génère N vecteurs des moyennes et N matrices de variances/covariances : parametric bootstrap.

69 69 Résultats du parametric bootstrap

70 70 V.Modélisation de relations de causalité sur variables latentes (SEM) Des blocs de variables manifestes sont observées sur 240 individus pour décrire les variables latentes suivantes : -Commitment -Satisfaction -Rewards -Costs -Investment size -Alternative value Engagement sentimental dune personne avec son partenaire

71 71 Exemple de blocs Investment Size Please rate each of the following items to indicate the extent to which you agree or disagree with each statement. Use a response scale in which 1 = Strongly Disagree and 7 = Strongly Agree. 1. I have invested a great deal of time in my current relationship. 2. I have invested a great deal of energy in my current relationship. 3. I have invested a lot of my personal resources (e.g., money) in developing my current relationship. 4. My partner and I have developed a lot of mutual friends which I might lose if we were to break up.

72 72 Exemple de blocs Satisfaction 1. I am satisfied with my current relationship. 2. My current relationship comes close to my ideal relationship. 3. I am more satisfied with my relationship than is the average person. 4. I feel good about my current relationship.

73 73 Exemple de blocs Alternative value 1. There are plenty of other attractive people around for me to date if I were to break up with my current partner. 2. It would be attractive for me to break up with my current partner and date someone else. 3. It would be attractive for me to break up with my partner and play the field for a while.

74 74 Validation de loutil de mesure par Analyse Factorielle Confirmatoire Variances des variables latentes fixées à 1

75 75 Validation de luni-dimensionalité dun bloc Validité convergente La corrélation entre chaque variable manifeste et sa variable latente doit être supérieure à 0.7 en valeur absolue

76 76 Validation de luni-dimensionalité dun bloc AVE (Average Variance Explained) De et Var( ) = 1, on déduit : Règle : AVE > 50%

77 77 Validation de luni-dimensionalité dun bloc Indice de concordance (Composite Reliability) De et Var( ) = 1, on déduit : Pour interpréter cet indice, il faut supposer tous les j > 0. Règle : IC >.70

78 78 Variables manifestes mono-factorielles

79 79 Validité discriminante 1)Une variable manifeste doit être plus corrélée à sa propre variable latente quaux autres variables latentes 2)Chaque variable latente doit mieuxexpliquer ses propres variables manifestes que chaque autre variable latente :

80 80 Commitment v1 e1 1 v2 e2 1 v3 e3 1 Rewards v8 e8 1 v9 e9 v10 e10 1 Satisfaction v5 e5 1 v6 e6 v7 e7 Costs v11 e11 v12 e12 v13 e13 1 Investments v14 e14 1 v15 e15 v16 e16 1 Alternatives v17 e17 v18 e18 1 v19 e d1 d F1 F3 F2 F4 F5 F6 Le modèle de Rusbult Modèle identifiable: - Modèle de mesure identifiable - Modèle de causalité au niveau des variables latentes identifiable Variances des variables latentes à estimer. Pour chaque VL, une VM a un coefficient de régression fixé à 1.

81 81 Estimation du modèle de Rusbult Utilisation de la Proc CALIS proc calis covariance corr residual modification ; lineqs v1 = lv1f1 f1 + e1, v2 = lv2f1 f1 + e2, v3 = 1 f1 + e3,. v17 = lv17f6 f6 + e17, v18 = 1 f6 + e18, v19 = lv19f6 f6 + e19, f1 = pf1f2 f2 + pf1f5 f5 + pf1f6 f6 + d1, f2 = pf2f3 f3 + pf2f4 f4 + d2; std e1-e3 = vare1-vare3, e5-e19 = vare5-vare19, f3-f6 = varf3-varf6, d1-d2 = vard1-vard2; cov f3 f4 = covf3f4, f3 f5 = covf3f5, f3 f6 = covf3f6, f4 f5 = covf4f5, f4 f6 = covf4f6, f5 f6 = covf5f6; var v1 v2 v3 v5-v19; run; Indétermination levée en fixant à 1 un coefficient de régression dune variable manifeste par bloc Les variances de F 1 et F 2 dépendent des autres paramètres du modèle.

82 82 Estimation du modèle : résultats standardisés F1 F2 F3 F4 F5 F6 Chi-square = DF = 124 p-value =.000 Chi-square/DF = RMSEA =.056 p-value =.208

83 83 Estimation des équations structurelles Les équations structurelles non standardisées Latent Variable Equations with Estimates f1 = *f *f *f6 Std Err pf1f pf1f pf1f6 t Value d1 f2 = *f *f d2 Std Err pf2f pf2f4 t Value Non significatif Lengagement (F1) ne dépend pas significativement des alternatives (F6).

84 84 Estimation des équations structurelles Les équations structurelles standardisées Latent Variable Equations with Standardized Estimates f1 = *f *f *f d1 pf1f2 pf1f5 pf1f6 f2 = *f *f d2 pf2f3 pf2f4

85 85 Estimation du modèle 2 Chi-square = DF = 125 p-value =.000 Chi-square/DF = RMSEA =.056 p-value =.218 F1 F2 F3 F4 F5 F6

86 86 Utilisation des indices de modification pour rechercher de nouveaux liens de causalité entre les variables latentes Rank Order of the 5 Largest Modification Indices (dépendante) (indépendante) Row Column Chi-Square Pr > ChiSq f2 <===== f <.0001 v2 f v1 f v10 f v18 f La satisfaction dépend aussi des investissements dans la relation.

87 87 Estimation du modèle 3 Chi-square = DF = 124 p-value =.000 Chi-square/DF = RMSEA =.045 p-value =.731 Tous les indices de modification entre variables latentes sont maintenant inférieurs à 4

88 88 Utilisation du Bootstrap pour tester les paramètres du modèles. Image Perceived value Customer Expectation Perceived quality Loyalty Customer satisfaction Complaints Modèle de causalité décrivant les causes et les conséquences de la satisfaction client Modèle complet en bleu et rouge, modèle simplifié en rouge

89 89 Loutil de mesure pour lindustrie de la téléphonie mobile : Exemples de variables latentes et manifestes Customer expectationCustomer satisfaction a) Overall satisfaction b) Fulfilment of expectations c) How well do you think your mobile phone provider compares with your ideal mobil phone provider ?

90 90 Loutil de mesure pour lindustrie de la téléphonie mobile : Exemples de variables latentes et manifestes Customer loyalty a) If you would need to choose a new mobile phone provider how likely is it that you would choose your provider again ? b) Let us now suppose that other mobile phone providers decide to lower fees and prices, but your mobile phone provider stays at the same level as today. At which level of difference (in %) would you choose another phone provider ? c) If a friend or colleague asks you for advice, how likely is it that you would recommend your mobile phone provider ? Et ainsi de suite pour les autres variables latentes...

91 91 Étude du modèle complet avec AMOS

92 92 Étude du modèle complet avec AMOS Computation of degrees of freedom Number of distinct sample moments = 300 Number of distinct parameters to be estimated = 60 Degrees of freedom = = 240 Iteration limit reached (1000 iterations) Chi-square = Degrees of freedom = 240 Probability level = This solution is not admissible. The following variable has negative variance. d3 ( )

93 93 Étude du modèle simplifié avec AMOS (Résultats sur les variables réduites) Chi-Square = 271 DF = 128 Chi-Square /DF = 2.12 RMSEA =.067 p-value (RMSEA<=0.05) =.007

94 94 Utilisation du Bootstrap pour valider les paramètres du modèle standardisé

95 95 Poids des variables pour lestimation des variables latentes CUEX1 CUEX2 CUEX3 PERQ1 PERQ2 PERQ3 f f f f f PERQ4 PERQ5 PERQ6 PERQ7 PERV1 PERV2 CUSA CUSA2 CUSA3 CUSL1 CUSL2 CUSL

96 96 VI. Analyse multi-groupes Comparer un modèle sur G populations Exemple (Byrne) : prof. de classe élémentaire prof. de classe intermédiaire prof. de classe secondaire QUESTION Le modèle est-il invariant au niveau des variances des VL, des covariances et des coefficients de régression VM-VL ?

97 97 Modèle sans contraintes Elémentaire

98 98 Modèle sans contraintes Intermédiaire

99 99 Modèle sans contraintes Secondaire

100 100 Modèle avec contraintes Ecriture des contraintes : AMOS permet de nommer automatiquement les paramètres contraints.

101 101 Modèle avec contraintes Elémentaire

102 102 Modèle avec contraintes Intermédiaire

103 103 Modèle avec contraintes Secondaire

104 104 Test de linvariance du modèle Comparer le modèle sans contraintes (M1) et le modèle avec contraintes (M2) Test sur le modèle sans contraintes M1 : - Les covariances sont égales sur les 3 groupes. - Les variances des VL sont égales sur les 3 groupes. - Les coefficients de régression VM-VL sont égaux sur les 3 groupes. Hypothèse H 0

105 105 Comparaison de deux modèles emboités Calcul du Khi-deux global Population g Global pour G populations

106 106 Comparaison de deux modèles emboités Statistique utilisée Nombre de degrés de liberté dl (modèle) = Nb de covariances – Nb de paramètres du modèle Modèle 1 : 3*20*21/2 – 3*(20 var. rés coef. Reg. + 3 var VL + 5 cov) = 495 Modèle 2 : 3*20*21/2 – (3*20 var. rés coef. Reg. + 3 var VL + 5 cov) = 545

107 107 Comparaison de deux modèles emboités Règle de décision On rejette le modèle avec contraintes M2 (hypothèse H 0 ) au profit du modèle sans contrainte M1 au risque de se tromper si Application Rejet de H 0

108 108 CONCLUSION Covariance-based SEM représente la principale demande en analyse des données des chercheurs en sciences « soft » : Marketing, Stratégie, Sciences politiques, Psychologie, Sociologie,… Cov-SEM, lapproche PLS et la régression PLS permettent de modéliser les liens de causalité entre blocs de variables. Cov-SEM est une méthode confirmatoire : elle permet de valider les hypothèses du chercheur.

109 109 Références L. Hatcher : A step-by-step approach to using the SAS system for factor analysis and structural equation modeling, SAS Institute, 1994 J. Scott Long : Confirmatory Factor Analysis, SAGE Publications, 1983 J. Scott Long : Covariance structure models, SAGE Publications, 1983 J.L. Arbuckle & W. Wothke : Amos 4.0 Users guide, SmallWaters Corp., 1999

110 110 Schumaker & Lomax : A beginners guide to SEM Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah (NJ), 1996 Byrne, BM : SEM with AMOS: Basic Concepts Applications and programming Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah (NJ), 2001 Kaplan D. : Structural equation modeling SAGE, 2000 Rex B. Kline : Principles and practice of structural equation modeling The Guilford Press, New York, 2005 Kenneth A. Bollen : Structural equations with latent variables, Wiley, 1989

111 111 Annexe Modélisation des équations structurelles Variables latentes : Modèle structurel (Modèle interne):

112 112 Modélisation des équations structurelles Modèle de mesure (Modèle externe) : VM VL VM Endogenous Exogenous

113 113 Modélisation des équations structurelles Intégration des modèles structurel et de mesure : Pas de corrélation entre les résidus,,. Forme réduite

114 114 Modélisation des équations structurelles Matrice de covariance des variables manifestes : Modèle externe Modèle interne Cov. des VL ex. Covariance des résidus des éq. struct. Covariance des résidus du modèle de mesure

115 115 Modélisation des équations structurelles Méthode du Maximum de Vraisemblance : S = Matrice des covariances observées des VM Minimiser F = Trace(SC -1 ) - q + Ln(det C) - Ln(det S)

116 116 Modélisation des équations structurelles Calcul des écarts-types des paramètres :


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