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Analyse de la variance à effets mixtes Michel Tenenhaus.

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1 Analyse de la variance à effets mixtes Michel Tenenhaus

2 2 Exemple 4 (Milliken & Johnson) Rythmes cardiaques Rythme cardiaque pour trois groupes de traitements et quatre instants de mesure -Facteurs fixes : Traitement, Temps -Facteur aléatoire : Sujet(Traitement)

3 3 Extrait des données

4 4 Moyennes des rythmes cardiaques par produit et par instant

5 5 Les modèles Modèle 1 Y ijk = + i + j + ij + s k(i) + ijk ProduitTemps Produit * Temps Sujet (Produit) Résidu Effets fixesEffets aléatoires avec : - s k(i) ~ N(0, s 2 ) s 2 = Variance inter-sujets - ijk ~ N(0, 2 ) 2 = Variance intra-sujets Les aléas sont indépendants. Les variances peuvent dépendre du traitement. La variance intra-sujets peut dépendre du traitement et du temps.

6 6 Modèle 2 Y ijk = + i + j + ij + ijk ProduitTemps Produit * Temps Résidu avec : - i.k = ( i1k, i2k, i3k, i4k ) ~ N(0, ) - Les i.k sont indépendants entre eux. La matrice de covariance peut dépendre du traitement. Lutilisateur doit choisir le type de la matrice.

7 7 Quelques types de matrice

8 8 Quelques types de matrice (suite) etc...

9 9 Modèle 3 avec : - s k(i) ~ N(0, s 2 ) - ijk ~ AR(1) (*) (*) ijk = i(j-1)k + a ijk, où les a ijk suivent une loi N(0, a 2 ) et sont indépendants entre eux. Y ijk = + i + j + ij + s k(i) + ijk ProduitTemps Produit * Temps Sujet (Produit) Résidu

10 10 Étude du modèle 1 avec : - s k(i) ~ N(0, s 2 ) - ijk ~ N(0, 2 ) + indépendance Dans le modèle 1, les corrélations entre les mesures sont positives. Y ijk = + i + j + ij + s k(i) + ijk Produit Temps Produit * Temps Sujet (Produit) Résidu

11 11 Le modèle 1 est un modèle 2 avec de type « compound symmetry » et covariance positive Y ijk = + i + j + ij + s k(i) + ijk Produit Temps Produit * Temps Sujet (Produit) Résidu est de type « Compound Symmetry » avec covariance positive.

12 12 Formulaire Modèle : y = X + Zu + avec : u ~ N(0, G), ~ N(0, R), et Cov(u, ) = 0 - Var(y) = V = ZGZ´ + R - y ~ N(X, V) Estimation : (Utiliser Method = REML) 1) Les matrices G et R sont estimées par maximum de vraisemblance restreint. Il est préférable quun facteur aléatoire ait au moins 5 modalités. Sinon, passer en fixe.

13 13 Formulaire (suite) Modèle : y = X + Zu + avec : u ~ N(0, G), ~ N(0, R), et Cov(u, ) Test : H 0 : K + Mu = 0 Statistique utilisée : (Inférerence : Large / étroite)

14 14 Calcul de par la méthode de Satterthwaite (Méthode par défaut de SPSS) - Permet de retrouver les résultats du GLM pour le test dun contraste. - Le ddl du dénominateur ne dépend pas du nom de leffet aléatoire. - Permet de généraliser lapproche de Satterthwaite aux modèles mixtes.

15 15 Etude du modèle 1 Y ijk = + i + j + ij + s k(i) + ijk Produit Temps Produit * Temps Sujet (Produit) Résidu Utilisation de SPSS

16 16

17 17 Résultats Modèle 1

18 18 Résultats Modèle 1 (suite)

19 19 Résultats Modèle 1 (suite)

20 20 Résultats Modèle 1 (Proc Mixed de SAS) Estimated V Matrix for sujet(produit) 1 1 Row Col1 Col2 Col3 Col Estimated V Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1 Row Col1 Col2 Col3 Col

21 21 Résultats Modèle 1 (suite)

22 22 Résultats Modèle 1 (SAS) Solution for Random Effects Std Err Effect sujet produit Estimate Pred DF t Value Pr > |t| sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) <.0001 sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) sujet(produit) = 0 = 0 = 0

23 23 Résultats Modèle 1 (suite)

24 24 Comparaison des moyennes Modèle : T1 T2 T3 T4 Estimation de : Test : H 0 :

25 25 Comparaison entre AX23 et Contrôle en T1 Syntaxe SPSS MIXED rythme BY sujet_diff produit temps /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR( ) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE( , ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /TEST = 'mu11 vs mu31' produit produit*temps /PRINT = SOLUTION TESTCOV /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC). Résultats

26 26 Comparaison de deux modèles imbriqués Modèle M 1 Modèle M 0 : cas particulier de M 1 Les paramètres de M 0 ne sont pas sur leurs frontières de définition. Test LRT (Likelihood Ratio Test) : où = Nb de paramètres de M1 - Nb de paramètres de M 0. Utiliser plutôt « Method = ML »

27 27 Test dun effet aléatoire Test sur le modèle à un effet aléatoire : H 0 : s 2 = 0 Statistique utilisée : G 2 = [-2Log L(Modèle sans effet)] - [-2Log L(Modèle à un effet)] Calcul du niveau de signification : NS = 0.5Prob( 2 (0) G 2 ) + 0.5Prob( 2 (1) G 2 ) La correction réduit le niveau de signification du test LRT usuel. ( 2 (0) = 0 avec la probabilité 1)

28 28 Avec effet sujet Sans effet sujet G 2 = [-2Log L(Modèle sans effet)] - [-2Log L(Modèle à un effet)] = – = NS = 0.5Prob( 2 (0) G 2 ) + 0.5Prob( 2 (1) G 2 ) = 0.5*Prob( 2(1) 80) = Application

29 29 Recherche dune tendance polynomiale On exprime le vecteur des moyennes en fonction de polynômes orthogonaux : ConstanteLinéaire Quadratique Cubique Q 0, Q 1, Q 2, Q 3 forment une base orthonormée.

30 30 Construction des contrastes orthogonaux On exprime le vecteur des moyennes en fonction des polynômes orthogonaux : Tests : H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 H 0 : 1 = 2 = 3 = 0 H 0 : Tendance linéaire H 0 : 1 0, 2 = 3 = 0 H 0 : Tendance quadratique H 0 : 2 0, 3 = 0 Contrastes orthogonaux :

31 31 Recherche de tendances Tendances : - AX23 : Quadratique - BWW9 : Linéaire - Contrôle : Constante

32 32 Recherche de tendance quadratique pour AX23 Modèle : Tests :

33 33 Recherche de tendance quadratique pour AX23 Code SPSS : MIXED rythme BY sujet_diff produit temps /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR( ) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE( , ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /TEST = 'ax23,contraste qua.' temps produit*temps /TEST = 'ax23,contraste cub.' temps produit*temps /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC). ==> Validation de la tendance quadratique Résultats :

34 34 Étude du modèle 2 Y ijk = + i + j + ij + ijk ProduitTemps Produit * Temps Résidu avec des i.k = ( i1k, i2k, i3k, i4k ) ~ N(0, ) ou N(0, i ) et indépendants entre eux Il faut préciser le type de la matrice de covariance.

35 35 de type UN (UNSTRUCTURED)

36 36 Résultats SPSS : de type « UNSTRUCTURED »

37 37 Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1 Row Col1 Col2 Col3 Col

38 38

39 39 de type CS (COMPOUND SYMMETRY)

40 40 Résultats SPSS : de type « CS »

41 41 de type AR(1) (Auto-régressif dordre 1)

42 42 de type AR(1) (Auto-régressif dordre 1) Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1 Row Col1 Col2 Col3 Col

43 43 de type CS hétérogène par temps

44 44 Résultats SPSS

45 45 Résultats SPSS

46 46 Modèle 3 avec s k(i) ~ N(0, s 2 ) et ijk ~ AR(1). Y ijk = + i + j + ij + s k(i) + ijk ProduitTemps Produit * Temps Sujet (Produit) Résidu Syntaxe SPSS MIXED rythme BY produit temps sujet_diff /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR( ) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE( , ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /PRINT = SOLUTION TESTCOV /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) /REPEATED = temps | SUBJECT(sujet_diff) COVTYPE(AR1).

47 47

48 48 Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1 Row Col1 Col2 Col3 Col

49 49 Choix du type de matrice Critère dAkaike AIC = - 2 (Res) Log likelihood + 2d où d = nombre de paramètres du modèle définissant (Covariance parameters ) Critère de Schwartz (BIC) BIC = - 2 (Res) Log likelihood + d Log(n) On recherche minimisant le BIC. - For REML, the value of n is chosen to be total number of cases minus number fixed effect parameters and d is number of covariance parameters. - For ML, the value of n is total number of cases and d is number of fixed effect parameters plus number of covariance parameters.

50 50 Calcul des critères dAkaike et de Schwarz pour le modèle 3 Critère dAkaike AIC = - 2 (Res) Log likelihood + 2d = = Critère de Schwarz (BIC) BIC = - 2 (Res) Log likelihood + d Log(n) = Log(84) = n = 96 – 12 = 84 et d = 3 d =Nombre de paramètres de = 3

51 51 Choix du meilleur modèle

52 52 Modèle 4 Y k(i) = (Y i1k, Y i2k, Y i3k, Y i4k ) ~ N( i, ) avec : i = ( i1, i2, i3, i4 ) et Test : H 0 : L M = 0 H 1 : L M 0 Statistique : - Calcul des niveaux de signification plus précis quavec lapproche univariée, et même exact si min(rang L, rang M) 2. - Pas de données manquantes.

53 53 Transformation de Rao avec :p = rang (M), q = rang (L) m = Nombre de groupes, v = N – m r = v – (p – q + 1)/2, u = (pq –2)/4 t = si p 2 + q 2 –5 > 0, = 1 sinon. Lorsque lhypothèse H 0 est vraie, F suit approximativement une loi F(pq, rt–2u). La loi est exacte si le minimum de (p, q) est inférieur ou égal à 2.

54 54 Les données

55 55 Test de leffet « Produit »

56 56 Test de leffet « Produit » GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = "Effet Produit" produit ; produit /MMATRIX = "Moyenne" rythme1.25 rythme2.25 rythme3.25 rythme4.25 /DESIGN = produit. Syntaxe SPSS

57 57 Test de leffet « Temps »

58 58 GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = "Moyenne Produit" produit 1/3 1/3 1/3 /MMATRIX = "rythme 2 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 1 rythme3 0 rythme4 0; "rythme 3 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 1 rythme4 0; "rythme 4 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 0 rythme4 1 /DESIGN = produit.

59 59 Test de linteraction « Produit*Temps »

60 60 Test de linteraction « Produit*Temps » GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = « Effet produit" produit ; produit /MMATRIX = "rythme 2 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 1 rythme3 0 rythme4 0; "rythme 3 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 1 rythme4 0; "rythme 4 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 0 rythme4 1 /DESIGN = produit.

61 61 Comparaison GLM multivarié / MIXED - Les F de Rao conduisent à des résultats exacts car Min(rang L, rang M) 2. - Comparaisons inter-sujets : GLM multivarié = MIXED Comparaisons intra-sujets : GLM multivarié MIXED

62 62 Utilisation de la commande « Repeated Measures » de SPSS

63 63

64 64 Résultats SPSS

65 65 Résultats SPSS

66 66 Conclusion : Pour la commande MIXED Estimation de la structure de covariance entre les données. Estimation correcte des effets fixes et aléatoires. Inférence large et étroite. Possibilité de variances hétérogènes Les résultats justes (au niveau univarié) de la Proc GLM sont retrouvés avec la Proc MIXED. Comparaisons multiples inter-sujets basées sur des moyennes ajustées estimées au niveau de la population. Possibilité de données manquantes.


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