GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 6 Risque diversifié et risque diversifiable Le MEDAF

Plan du chapitre Equilibre de marché (MEDAF) Conséquence: décomposition du rendement d’un titre Risque de marché et risque spécifique dans le MEDAF Risque de marché et risque spécifique dans un modèle factoriel Risque spécifique et risque diversifiable Valorisation d’un titre en l’absence d’opportunité d’arbitrage ( A.O.A)

Equilibre de marché I. Le MEDAF ( Modèle d’évaluation des actifs financiers) –Le prix résulte d’un équilibre offre-demande –Offre ( et demande ) concernent n titres risqués et un titre sans risque Ri, 1<i<n –Les agents j, 1<j<J, sont supposés choisir chacun un portefeuille efficient au sens de Markovitz

Choix des agents et caractérisation de la demande Chaque agent j, dispose d’une richesse initiale et a une aversion pour le risque caractérisé par Il partage sa richesse entre les deux fonds - le titre sans risque: - un portefeuille purement risqué:

Rappel: Caractérisation de l’optimum: cas où il existe un seul titre risqué Critère maximisé Maximisation (équivalente) du lagrangien Caractérisation de l’optimum

La demande agrégée dans les titres risqués est donnée par: est la part de la richesse globale dépensée pour le titre i: On dit que l’offre est égale à la demande Le portefeuille global purement risqué offert sur le marché est caractérisé par la composition:

Le portefeuille de marché est donc efficient

Le rendement du portefeuille de marché est donc donné par:

II. Risque de marché: décomposition des rendements des titres risqués On peut montrer que les rendements des titres risqués sont liés au rendement du marché, résumé par le rendement du portefeuille de marché M déduit de l’agrégation des demandes et égalé à l’offre On considère alors la régression linéaire de sur

Risque commun ( partagé) et risque spécifique On distingue, dans la régression précédente – le risque diversifié – ou risque commun- porté par le rendement du portefeuille de marché, soit qui est, en pratique, le rendement de l’indice de tous les titres échangés sur le marché – et le risque spécifique du titre i, résumé par la variable

III. Risque diversifié et risque diversifiable Le risque de marché est caractérisé par la prime de risque du marché, qui contribue au prix des titres. Il correspond au risque dit diversifié ( seul risque rémunéré par le marché) par opposition au risque diversifiable, que l’on peut annuler par diversification

La prime de risque du titre i s’en déduit On montre que l’on a « la relation beta » Le coefficient bêta mesure la part de risque de marché porté par le titre i La prime de risque du marché est aussi le prix du risque sur le marché où sont échangés les n titres, soit:

IV. Extension de l’analyse: modèles factoriels Dans la régression qui est déduite du MEDAF, il existe un seul facteur explicatif, qui est le rendement du marché. Quand on confronte ce modèle aux données, on trouve que le rendement de marché explique peu le rendement des titres (le de la régression est faible). C’est pourquoi des auteurs ont proposé d’étendre la régression précédente en introduisant d’autres facteurs Ces facteurs peuvent être liés au risque de taux ( d’intérêt), au risque de change, au risque de liquidité, au risque de conjoncture économique ( récession) etc…

Evaluation par arbitrage et relation multibeta On établit alors, sous des conditions de bon fonctionnement du marché ( absence d’opportunité d’arbitrage) que la prime de risque de chaque titre est lié à celle des facteurs selon une relation multi-bêta: Où les sont les primes de risques associés aux K facteurs (supposés orthogonalisés, c’est-à-dire sans covariance(corrélation) deux à deux ) et les sont les coefficients bêta du titre i avec les facteurs k:

Pourquoi le risque spécifique est-il diversifiable? Les variables caractérisent le risque spécifique de chaque titre i, par opposition au risque commun qu’ils partagent – c’est-à-dire le risque de marché- Elles sont supposées indépendantes (on suppose qu’une fois enlevé le risque commun porté par le marché, il n’existe plus de corrélation entre les risques associés à chaque titre) et, de plus, elles sont centrées; Loi des grands nombres: si les sont i.i.d (indépendamment et identiquement distribuées, donc de même loi de probabilité), on a le résultat de convergence:

Risque commun/diversifié et risque spécifique/diversifiable Le risque diversifié (c’est-à-dire ce qu’il reste du risque lorsqu’on a éliminé, par diversification,le risque spécifique (qui est donc diversifiable) correspond au niveau de corrélation incompressible des rendements des titres échangés sur le marché (cf. dans support de cours n°4, la valeur plancher introduite comme la covariance moyenne calculée pour n titres: