AMPERES Apprentissages Mathématiques et Parcours d'Études et de Recherches pour l'Enseignement Secondaire « Triangles » Trois contributions : équipes de Clermont-Ferrand, Marseille et Bordeaux.

Contribution de Clermont-Ferrand Un essai en classe de 5e

Vers un autre type de processus d'étude et d’enseignement Ce que nous donne à voir l'enseignement actuel des mathématiques est le plus souvent une étude non motivée d'objets mathématiques. Comme le dit Y. Chevallard l'enseignement "tend à prendre la forme d'une visite guidée de savoirs qu'on visite à la hâte, à l'instar de vestiges monumentaux autrefois vivants mais dont les raisons d'être, les fonctions vitales ont cessées d'être comprises"

. Partir de questions problématiques et n'introduire l'étude d'objets que parce que celle-ci peut contribuer à l'élaboration de réponses, éventuellement partielles, aux questions posées.

Une partie de programme étant donné, comment en rendre l'étude dynamique? Comment répondre à une telle question de façon quelque peu générique?

Raisons d’être de l’étude des triangles? La place accordée à l'étude de cette figure emblématique qu'est le triangle, au Collège et au Lycée est, à titre de seul exemple, significative. De multiples propriétés en sont démontrées de multiples manières. Mais qui parmi les professeurs de mathématiques peut encore donner les raisons justifiant d’accorder une telle importance à la géométrie du triangle dans le secondaire ? En quoi cela informe t-il l'élève sur le monde actuel, à venir ou passé? Ainsi certains contenus de programme semblent perdurer parce que dans la tradition, l’héritage scolaire, les enseigner apparaît « bel et bon » sans plus d'interrogation sur la pertinence de cet enseignement. Sur ce seul cas, et il y en a bien d’autres, on a perdu de vue les questions fondamentales que les propriétés de cet objet permettent de résoudre.

Une première réponse est de rechercher des questions à fort pouvoir générateur d'étude et de recherche et qui ait un rapport avec le thème! Rechercher des QFPGE en remontant aux niveaux des secteurs et domaines Et non pas en cherchant des sujets

Niveaux de détermination : exemple en 5e Discipline Domaine Secteur Thème Sujet Les mathématiques La géométrie Figures planes Les triangles Construction de triangles et inégalité triangulaire

Questions à fort pouvoir générateur d’études et de recherches dans le domaine de la géométrie Déterminations des grandeurs géométriques : longueurs, aires, volumes. Comment déterminer…? Constructions géométriques Comment construire…? Se repérer sur une droite, dans un plan… Comment repérer un point…?

Raisons d’être des triangles Détermination de longueurs et distances (inaccessibles) Mesure des aires

Recherche des raisons d’être La lecture du programme peut nous conduire à penser que le thème spécifié par le programme est à classer dans le secteur des constructions géométriques "Construire un triangle connaissant…". Certes, il conviendra que techniquement les élèves sachent réaliser de telles constructions, sachent aussi (inégalité triangulaire) à quelles conditions la construction avec la donnée de trois longueurs pour les côtés est possible, mais ce sont là des tâches bien insignifiantes si on ne sait pas pourquoi on peut être amené à réaliser de telles constructions. On est donc amené à se poser la question du pourquoi de ces constructions, se demander "quelles en sont les raisons d'être?"

Recherche de raisons d’être Une des raisons d'être de l'étude des triangles apparaissait dans d'anciens programmes traitant des cas d'égalité des triangles : ces derniers permettaient de déterminer la longueur d'un segment en montrant que celui-ci avait même longueur qu'un autre. Le principe consiste à utiliser des triangles "égaux", c'est à dire superposables. On peut ainsi pour déterminer la longueur d'un segment être amené à construire un triangle qui soit superposable à un autre! Cette technique d'usage de triangles superposables conduit alors à se demander à quelles conditions des triangles sont superposables!

Vers une dynamique d’étude On obtient ainsi une première esquisse d'une dynamique d'étude : une première question à résoudre : comment déterminer une longueur que l'on ne peut mesurer directement? (une distance inaccessible). Répondre à cette question à l'aide de triangles superposables. Se demander alors, ce sera la deuxième question motivée par la réponse à la première, "Quelles données suffisent à caractériser un triangle?" : Cette deuxième question, formulée classiquement étant ici comprise dans le sens" Quelles données sur un triangle suffisent pour pouvoir en construire un autre qui lui soit superposable?".

Une dynamique d’étude Cette dernière question, l'étude engagée, conduit elle-même à des questions que nous qualifierons de cruciales, questions qui vont permettre de traiter des cas d'isométries, et ajoutons nous, aussi de cas où il n'y a pas isométrie. Ce que nous cherchons à faire, de manière générique, est que ce soit la dynamique de l’étude qui amène à se poser de telles questions. Ce qui signifie qu’elles doivent être fondées en raison, celle-ci étant trouvée dans le savoir et son organisation et donc dans son étude, même si c’est le professeur qui est amené à les poser. On peut alors espérer que ces questions soient naturellement acceptées par les élèves et que leur dévolution s’opère sans problème parce qu’ils les acceptent de manière nécessaire à ce moment de l’étude.

Une question préalable. A M Déterminer la longueur du segment [AM] On peut opérer des mesures dans la partie rosée, mais on n’a pas le droit de franchir la partie bleutée. On peut avec un appareil de visée, viser la direction du point M en se plaçant en A.

Des questions pour traiter « construction de triangles et inégalité triangulaire » 1 – Sur une feuille posée sur le bureau, j’ai dessiné un triangle dont les côtés mesurent 9,5 cm - 8 cm et 6,5 cm. Sans te déplacer, peux-tu trouver combien mesurent les angles de ce triangle ? 2 – Sur une deuxième feuille posée sur le bureau, j’ai dessiné un triangle dont les angles mesurent 59°, 74° et 47°. Sans te déplacer, peux-tu trouver combien mesurent les côtés de ce triangle ? 3 – Est-ce que 2 données suffisent pour déterminer un triangle ? Est-ce que 3 données suffisent pour déterminer un triangle ? Est-ce que 4 données suffisent pour déterminer un triangle ?

La question se règle rapidement, les calques circulent dans la classe pour contrôler. 1 – Sur une feuille posée sur le bureau, j’ai dessiné un triangle dont les côtés mesurent 9,5 cm - 8 cm et 6,5 cm. Sans te déplacer, peux-tu trouver combien mesurent les angles de ce triangle ?

Sur une deuxième feuille posée sur le bureau, j’ai dessiné un triangle dont les angles mesurent 59°, 74° et 47°. Sans te déplacer, peux-tu trouver combien mesurent les côtés de ce triangle ? Les élèves dessinent plusieurs triangles de même forme. Ils remarquent que l’on pose le rapporteur seulement 2 fois pour construire de triangle.

Un cahier d’élève

3 – Est-ce que 2 données suffisent pour déterminer un triangle ?

Est-ce que 3 données suffisent pour déterminer un triangle ? 3 côtés On utilise le triangle de la première question : il existe ! L’inégalité triangulaire n’apparaît pas. On y reviendra après … 3angles Déjà vu avec la question 2. Nous notons qu’un triangle ne peut pas avoir deux angles obtus.

Est-ce que 3 données suffisent pour déterminer un triangle ? 2 côtés, un angle Faites l’étude A vos instruments !

Est-ce que 3 données suffisent pour déterminer un triangle ? 2 côtés, un angle Lorsque deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, chacun à chacun, ils sont égaux. (Ligel 1963)

Une remarque : cas de deux côtés et un angle

Et si pour les côtés on choisit trois nombres au hasard ? Les élèves font des essais au brouillon et le cas un « grand » côté et deux « petits » arrive très rapidement.

Et pour les angles, peut-on choisir trois nombres au hasard ?  Comment démontrer que la somme des angles est égale à 180° ? Quelles propriétés connaissez-vous au sujet des angles ?  Valeur des angles particuliers  Angles adjacents  Angles complémentaires  Bissectrice d’un angle  Angles supplémentaires  Angles alternes-internes et correspondants