Géométrie et communication graphique Cours 2: intersection d’éléments Edouard Rivière-Lorphèvre Edouard.riviere@umons.ac.be

Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Notion de coupe La représentation sur des épures de Monge permet de représenter l’extérieur des pièces Si une pièce présente des détails internes: emploi de coupe Principe des vues coupées : plan de coupe.

Intersection de plans: méthode générale Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection de plans: méthode générale L’intersection de deux plans non parallèles donne une droite Pour définir cette droite, il est nécessaire d’en déterminer deux points 1 2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Méthode générale L’intersection de deux plans définis par leurs traces est obtenues à partir de l’intersection de leurs traces ‘de même nom’ Cette méthode est bien évidemment applicable à condition d’avoir Un point d’intersection entre les traces H Un point d’intersection entre les traces F Ces deux points dans le cadre de l’épure Dans le cas contraire, il faudra des constructions annexes comme expliqué plus loin E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Méthode générale Intersection des traces frontales = trace frontale de la droite d’intersection Intersection des traces horizontales= trace horizontale de la droite d’intersection E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Méthode générale Épure vierge p 244 df dh Jf If Jh Ih Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Méthode générale df Intersection des traces frontales = trace frontale de la droite d’intersection Intersection des traces horizontales= trace horizontale de la droite d’intersection dh Jf If Jh Ih Épure vierge p 244 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec des plans particuliers Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec des plans particuliers Construction utiles pour différents problèmes Intersection avec un plan vertical (de bout) Intersection avec un plan frontal (horizontal) Intersection avec un plan de profil Intersection avec un plan bissecteur E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan vertical Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan vertical E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan vertical Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan vertical E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan vertical Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan vertical Méthode classique applicable Projection horizontale de l’intersection ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan horizontal Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan horizontal Soit un plan quelconque p Soit un plan horizontal H’ Quelle est la particularité de la droite d’intersection de ces deux plans ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan horizontal Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan horizontal Quelle est la particularité? d appartient à H’ donc d // H d est donc une droite horizontale De plus H et H’ sont // leurs intersections par un même plan (p) sont parallèles entre elles Donc d // à la trace horizontale de p  Dans un plan quelconque, il existe une infinité d’horizontales qui sont toutes parallèles à la trace horizontale de ce plan E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan horizontal Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan horizontal E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan horizontal Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan horizontal Dans un plan quelconque, il existe une infinité d’horizontales qui sont toutes parallèles à la trace horizontale de ce plan de frontales frontale E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan frontal Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan frontal E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan frontal Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan frontal E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec le second bissecteur Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec le second bissecteur gf Choisir une droite du plan Tracer une projection frontale Rechercher ses traces Tracer la projection horizontale Rechercher l’intersection avec le second bissecteur Jf gh hf If Jh Ih B2hf whf Épure vierge p 246 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec le premier bissecteur Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec le premier bissecteur gf Choisir une droite du plan Tracer une projection frontale Rechercher ses traces Tracer la projection horizontale Rechercher l’intersection avec le premier bissecteur Intersection du symétrique d’une des projections avec l’autre projection Jf wf gh P1f hf If Jh Ih wh P1h Épure vierge p 245 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection de deux plans verticaux Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection de deux plans verticaux Et ensuite ? If Ih E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection de deux plans verticaux Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection de deux plans verticaux Comment caractériser la droite d’intersection de deux plans verticaux ? Représentation 3D de la scène E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection de deux plans verticaux Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection de deux plans verticaux Un plan vertical est ┴ à H L’intersection de deux plans ┴ à un même troisième est à ce plan La droite est donc … verticale E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection de deux plans verticaux Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection de deux plans verticaux E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cas particuliers Méthode générale applicable à condition d’avoir Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Cas particuliers Méthode générale applicable à condition d’avoir Un point d’intersection entre les traces H Un point d’intersection entre les traces F Ces deux point dans le cadre de l’épure Cas particuliers à traiter Deux traces ‘de même nom’ parallèles Traces des deux plans // LT Point d’intersection des traces confondus Intersection des traces hors de l’épure E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Traces horizontales // Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Traces horizontales // E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Traces horizontales // Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Traces horizontales // La trace horizontale de p est // au plan r (car elle est // à la trace horizontale de r) Donc l’intersection de p avec r est elle-même parallèle à la trace horizontale de r (si une droite est // à un plan, l’intersection d’un plan passant par cette droite avec le plan initial est // à cette droite) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Traces horizontales // Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Traces horizontales // E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Traces horizontales // Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Traces horizontales // La droite d’intersection est parallèle aux traces horizontales des deux plans Il s’agit donc d’une droite horizontale dh Jf df Jh E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Points d’intersection des traces confondus Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Points d’intersection des traces confondus Intersection des traces horizontales = intersection des traces frontales Un seul point de l’intersection connu : point K E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Points d’intersection des traces confondus Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Points d’intersection des traces confondus Emploi d’un plan auxiliaire Épure vierge p 249 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Points d’intersection des traces confondus Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Points d’intersection des traces confondus d1f d1h Pf wf Ph wh d2f d2h E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

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Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Traces // LT Les deux plans sont parallèles à la ligne de terre, donc leur intersection est également parallèle à cette ligne de terre Il suffit donc de trouver un point de l’intersection pour la définir Deux méthode possibles Emploi d’un plan auxiliaire s Emploi de la vue de profil E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Traces // LT, plan auxiliaire Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Traces // LT, plan auxiliaire Choisir s pour pouvoir utiliser la méthode classique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Traces // LT, plan auxiliaire Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Traces // LT, plan auxiliaire Épure vierge p 247 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Traces // LT, vue de profil Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Traces // LT, vue de profil Épure vierge p 248 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Point d’intersection des traces hors de l’épure Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Point d’intersection des traces hors de l’épure Emploi de plans auxiliaires pour trouver deux points de la droite d’intersection Plan s1 i1=intersection de s1 et p i2=intersection de s1 et r P1 = Intersection de i1 et de i2 (donc de p et r) Plan s2 i3=intersection de s2 et p i4=intersection de s2 et r P2 = Intersection de i3 et de i4 (donc de p et r) La droite d’intersection est celle qui relie P1 et P2 Choix des plans auxiliaires libre, moins de tracés si choix de plans particuliers (vertical, de bout) Problème traité aux séances d’exercice E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Droite de plus grande pente Approche intuitive: pente d’une droite par rapport à l’horizontale = différence de hauteur par rapport au déplacement horizontal Dh2 Dh1 Dd Dd E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Droite de plus grande pente Utilité pratique: Configuration du terrain (ruissellement d’eau, …) Optimisation mathématique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Droite de plus grande pente Sur une droite quelconque: E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Droite de plus grande pente tan 𝛼 = 𝐵 ℎ 𝐵 𝐴 ℎ 𝐵 ℎ |BhB| constant tan a maximum si |AhBh| minimum Or |AhBh| minimum si AhBh ┴ tph E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Droite de plus grande pente On peut donc en déduire le théorème suivant: Une droite de plus grande pente d’un plan est perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan Il en existe une infinité, toutes // entre elles BA perpendiculaire à la trace horizontale, que peut-on dire de AhBh ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Droite de plus grande pente La projection d’un angle droite est un angle droit si un de ses côtés est parallèle au plan de projection BA ┴ AC et BA ┴ AA’ BA ┴ r (une droite est ┴ à un plan si elle est ┴ à deux droites sécantes de ce plan) BA // B’A’ B’A’ ┴ r  B’A’ ┴ A’C’ (si une droite est ┴ à un plan, elle est ┴ à toute droite de ce plan) r p E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Droite de plus grande pente Une droite de plus grande pente d’un plan est telle que sa projection horizontale est perpendiculaire à la projection horizontale de la trace horizontale de ce plan Pour trouver une droite de plus grande pente: Tracer une perpendiculaire dh à la trace horizontale du plan (angle droit vu en vraie grandeur) L’intersection de dh avec la trace horizontale donne Ih L’intersection de dh avec la ligne de terre donne Jh If et Jf Sont obtenues par des lignes de rappel E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Recherche de la droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Recherche de la droite de plus grande pente df dh Pour trouver une droite de plus grande pente: Tracer une perpendiculaire dh à la trace horizontale du plan L’intersection de dh avec la trace horizontale donne Ih L’intersection de dh avec la ligne de terre donne Jh If et Jf Sont obtenues par des lignes de rappel Jf If Jh Ih !! P doit appartenir au plan !! Épure vierge p 242 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Recherche de la droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Recherche de la droite de plus grande pente E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Recherche de la droite de plus grande pente Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Recherche de la droite de plus grande pente En complément des droites de plus grande pente par rapport à l’horizontale (approche physique), on peut également déterminer les droites de plus grande pente par rapport au plan frontal Épure vierge p 243 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’une droite avec un plan Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection d’une droite avec un plan E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’une droite avec un plan Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection d’une droite avec un plan Idée générale de la méthode Trouver un plan qui contient la droite Rechercher l’intersection de ce plan avec le plan initial L’intersection de la droite initiale avec l’intersection des deux plans donne le point recherché E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’une droite avec un plan Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection d’une droite avec un plan Choix d’un plan r contenant d (ex: vertical) Intersection w de r avec le plan initial p Intersection de w avec la droite d donne le point de percée de d dans p E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’une droite avec un plan Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection d’une droite avec un plan =rh h rf f wf =wh Choix d’un plan r contenant d (ex: vertical) Intersection w de r avec le plan initial p Jf Pf If rf h Jh= Intersection de w avec la droite d donne le point de percée de d dans p Ph Ih E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’un plan projetant avec une droite Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection d’un plan projetant avec une droite Plan projetant = plan ┴ à un des plans de projection Plan auxiliaire pas nécessaire car on connait une des projections du point Ex: plan frontal E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’un plan projetant avec une droite Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection d’un plan projetant avec une droite Plan projetant = plan ┴ à un des plans de projection Plan auxiliaire pas nécessaire car on connait une des projections du point Exemple d’un plan de bout E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’un plan projetant avec une droite Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection d’un plan projetant avec une droite 1: Nommer les traces 2: Intersection E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’un plan frontal avec une droite Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection d’un plan frontal avec une droite E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan passant par la ligne de terre Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan passant par la ligne de terre Comme indiqué précédemment, un plan de profil doit être défini par un élément supplémentaire que ses traces h et f (trace de profil ou point du plan) Passage par la vue de profil pour définir l’intersection E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan passant par la ligne de terre Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan passant par la ligne de terre Af df Ah dh E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan parallèle à la ligne de terre Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan parallèle à la ligne de terre Les deux méthodes vues jusqu’ici sont applicable: Emploi d’un plan auxiliaire Rabattement dans un plan de profil E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan parallèle à la ligne de terre Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan parallèle à la ligne de terre E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec un plan parallèle à la ligne de terre Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection avec un plan parallèle à la ligne de terre E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection de trois plans Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection de trois plans Cas général: un point Cas particuliers E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection de trois plans Intersection plan | plan particulier | méthodes particulières | intersection plan – droite | intersection trois plans Intersection de trois plans Principe général simple: Intersection de p avec r donne a Intersection de s avec r donne b Intersection de p avec s donne c Intersection de deux des droites donne le point recherché E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

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