Analyse des Correspondances Multiples Extension de l’A.F.C. permettant de décrire des tableaux binaires ou tableaux disjonctifs complets (c-a-d représentant des données qualitatives). L’A.C.M. est une A.F.C. appliquée non pas à un tableau de contingence mais à un tableau de Burt.

Exemples de questions Dans quelle région habitez-vous ? 1 - Paris 2 - Banlieue 3 - Province Etes-vous du sexe ? 1 - Masculin 2 - Féminin Quel âge avez-vous ? 1 - Moins de 18 ans 2 - Entre 18 et 34 ans 3 - Entre 35 et 54 ans ans ou plus Découpage en classes d’une variable quanti. Au total :s = 3 questions comprenant p = 3+2+4=9 modalités concernant n individus

Tableau disjonctif complet p = 9 Z (n,p) = n individus s = 3 R(n,s)R(n,s) = n individus Codage condensé Tableau disjonctif complet Remarque : dans ce tableau, les sommes des lignes et des colonnes n’ont pas de sens… Codage binaire

p = 9 Z(n,p)Z(n,p) = n individus   Codage condensé Remarque : dans le tableau « Codage condensé », les sommes des lignes et des colonnes n’ont pas de sens… Tableau disjonctif complet

p = 9 Z(n,p)Z(n,p) = n individus   Codage condensé Remarque : dans le tableau « Codage condensé », les sommes des lignes et des colonnes n’ont pas de sens… Tableau disjonctif complet

B(p,p)B(p,p) = Z’Z = Tableau de Burt A partir du tableau disjonctif complet Z, on construit le tableau symétrique B d’ordre (p,p) qui rassemble les croisements deux à deux de toutes les variables. B est une juxtaposition de tableaux de contingence

Principes de l’A.C.M Tableau disjonctif complet Nuage des individus Nuage des modalités

Exemple d’A.C.M. Exemple d’A.C.M. (Tenenhaus) TaillePoidsVélocitéIntelligenceAffectionAgressivité Fonction Co Ch Ut Beauceron Basset Berger Allemand Boxer Bull-Dog Bull-Mastiff Caniche Chihuahua Cocker Colley Dalmatien Doberman Dogue Allemand Epagneul Breton Epagneul Français Fox-Hound Fox-Terrier Grand Bleu Labrador Lévrier Mastiff Pékinois Pointer Saint-Bernard Setter Teckel Terre-Neuve

TABLEAU DE BURT | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Tl- | | Tl+ | | Tl++| | Pd- | | | Pd+ | | | Pd++| | | Vl- | | | | Vl+ | | | | Vl++| | | | In- | | | | | In+ | | | | | In++| | | | | Aff-| | | | | 13 0 | Aff+| | | | | 0 14 | Agr-| | | | | 5 9 | 14 0 | Agr+| | | | | 8 5 | 0 13 | | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Exemple d’A.C.M. Tableau de Burt Nombre de « grands chiens » ?

TABLEAU DE BURT | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Tl- | | Tl+ | | Tl++| | Pd- | | | Pd+ | | | Pd++| | | Vl- | | | | Vl+ | | | | Vl++| | | | In- | | | | | In+ | | | | | In++| | | | | Aff-| | | | | 13 0 | Aff+| | | | | 0 14 | Agr-| | | | | 5 9 | 14 0 | Agr+| | | | | 8 5 | 0 13 | | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Exemple d’A.C.M. Tableau de Burt Nombre de « grands chiens » ? Nombre de « grands chiens intelligents » ?

TABLEAU DE BURT | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Tl- | | Tl+ | | Tl++| | Pd- | | | Pd+ | | | Pd++| | | Vl- | | | | Vl+ | | | | Vl++| | | | In- | | | | | In+ | | | | | In++| | | | | Aff-| | | | | 13 0 | Aff+| | | | | 0 14 | Agr-| | | | | 5 9 | 14 0 | Agr+| | | | | 8 5 | 0 13 | | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Exemple d’A.C.M. Tableau de Burt Nombre de « grands chiens » ? Nombre de « grands chiens intelligents » ?

Exemple d’A.C.M. Valeurs propres et axes factoriels Nombre maximum de valeurs propres = p-s (nb de modalités - nb de questions) Somme des valeurs propres (Inertie totale) = (p/s) = 10 (16 / 6) - 1 =

Exemple d’A.C.M. Valeurs propres et axes factoriels VALEURS PROPRES APERCU DE LA PRECISION DES CALCULS : SOMME DES VALEURS PROPRES HISTOGRAMME DES 10 PREMIERES VALEURS PROPRES | NUMERO | VALEUR | POURCENT.| POURCENT.| | | PROPRE | | CUMULE | | 1 | | | | | 2 | | | | | 3 | | | | | 4 | | 9.45 | | | 5 | | 9.01 | | | 6 | | 7.40 | | | 7 | | 4.89 | | | 8 | | 2.74 | | | 9 | | 1.41 | | | 10 | | 0.46 | |

Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités (9.88=6.25 %)) LibelléPRel.Dist.Axe 1Axe 2Axe 1Axe 2Axe 1Axe 2 Taille Taille Taille Poids Poids Poids Vélocité Vélocité Vélocité Intelligence Intelligence Intelligence Affection Affection Agressivité Agressivité Intelligence Affection Agressivité Taille CoordonnéesContributionCosinus² Vélocité Poids

Exemple d’A.C.M. Tableau de Burt Poids relatif : Distance à l’origine : p= 9 Z (n,p) = n individus  sn n j . 1.  j n n

Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités (9.88=6.25 %)) LibelléPRel.Dist.Axe 1Axe 2Axe 1Axe 2Axe 1Axe 2 Taille Taille Taille Poids Poids Poids Vélocité Vélocité Vélocité Intelligence Intelligence Intelligence Affection Affection Agressivité Agressivité Intelligence Affection Agressivité Taille CoordonnéesContributionCosinus² Vélocité Poids

Exemple d’A.C.M. Représentation graphique des modalités Facteur % Taille- Taille+ Taille++ Poids- Poids+ Poids++ Vélocité- Vélocité+ Vélocité++ Intelligence- Intelligence+ Intelligence++ Affection- Affection+ Agressivité- Agressivité+ Facteur %

Exemple d’A.C.M. Représentation graphique des modalités Facteur % Taille- Taille+ Taille++ Poids- Poids+ Poids++ Vélocité- Vélocité+ Vélocité++ Intelligence- Intelligence+ Intelligence++ Affection- Affection+ Agressivité- Agressivité+ Facteur %

Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités ContributionsCosinus ²Cos ² cumulés IDEN - LIBELLEP. RELDISTO à 21 à 31 à 4 1. Taille Tl- - Taille Tl+ - Taille Tl++ - Taille CONTRIBUTION CUMULEE Poids Pd- - Poids Pd+ - Poids Pd++ - Poids CONTRIBUTION CUMULEE Vélocité Vl- - Vélocité Vl+ - Vélocité Vl++ - Vélocité CONTRIBUTION CUMULEE Intelligence In- - Intelligence In+ - Intelligence In++ - Intelligence CONTRIBUTION CUMULEE Affection Aff- - Affection Aff+ - Affection CONTRIBUTION CUMULEE Agressivité Agr- - Agressivité Agr+ - Agressivité CONTRIBUTION CUMULEE

Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités une modalité d’effectif nul Remarque 1 : la part d’inertie due à une modalité de réponse est d’autant plus grande que l’effectif dans cette modalité est plus faible. Le maximum (1/s) serait atteint par une modalité d’effectif nul… Au moment du codage, on évite les modalités à faibles effectifs susceptibles de perturber les directions des premiers axes factoriels.

questions à deux modalités Remarque 2 : la part d’inertie due à une question est fonction croissante du nombre de modalités de réponses. La part minimale (1/s) correspond aux questions à deux modalités… Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités Au moment du codage, on cherche à équilibrer le système de questions (découpage des variables en modalités) si on veut faire jouer le même rôle à toutes les questions.

Exemple d’A.C.M. - Exemple d’A.C.M. - Valeurs test

Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des individus ContributionsCosinus ²Cos ² cumulés P. RELDIST à 21 à 31 à 4 Beauceron Basset Berger Allemand Boxer Bull-Dog Bull-Mastiff Caniche Chihuahua Cocker Colley Dalmatien Doberman Dogue Allemand Epagneul Breton Epagneul Français Fox-Hound Fox-Terrier Grand Bleu de Gascogne Labrador Lévrier Mastiff Pékinois Pointer Saint-Bernard Setter Teckel Terre-Neuve

Exemple d’A.C.M. Représentation graphique des modalités Facteur % Facteur % Beauceron Basset Berger Allemand Boxer Bull-Dog Bull-Mastiff Caniche Chihuahua Cocker Colley Dalmatien Doberman Dogue Allemand Epagneul Breton Epagneul Français Fox-Hound Fox-Terrier Grand Bleu de Gascogne Labrador Lévrier Mastiff Pékinois Pointer Saint-Bernard Setter Teckel Terre-Neuve Chasse Utilitaire Compagnie