PROBABILITES 1. Des Statistiques aux Probabilités D1. Expérience aléatoire

PROBABILITES 1. Des Statistiques aux Probabilités D1. Expérience aléatoire : on en connaît toutes les possibilités, tous les résultats possibles, mais on ne peut pas prévoir lequel se produira. Ex : lancer un dé, tirer une carte, jouer au loto.

PROBABILITES 1. Des Statistiques aux Probabilités Approche statistique : On observe un grand nombre d'essais et on calcule a posteriori la fréquence obtenue pour chaque possibilité : Ces fréquences indiquent si un résultat s'est produit plus ou moins souvent.

PROBABILITES 1. Des Statistiques aux Probabilités Approche statistique : on calcule a posteriori les fréquences. Approche probabiliste : On crée un modèle de l'expérience en se donnant a priori la probabilité de chaque possibilité : Ces probabilités prévoient si un résultat se produira plus ou moins souvent.

PROBABILITES 1. Des Statistiques aux Probabilités Approche statistique : on calcule a posteriori les fréquences. Approche probabiliste : on se donne a priori les probabilités. On peut ensuite vérifier par les statistiques si les probabilités prévues sont voisines des fréquences observées. Si c'est le cas, le modèle est valable.

PROBABILITES 2. Evénements D2. Eventualité = Issue = Possibilité = Résultat (possible). D3. Univers U ou  = Ensemble des éventualités, des issues. Exemples : Lancer une pièce,  = {P ; F}. Lancer un dé cubique,  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

PROBABILITES 2. Evénements D4. Evénement : c'est une partie de l'univers . Evénément élémentaire : ne contient qu'un seul résultat. Exemple : lancer un dé cubique : A = "obtenir un résultat pair" = {2 ; 4 ; 6}; B = "obtenir moins que 3" = {1 ; 2} ; C = "obtenir 6" = {6}. D5. On dit que A est réalisé dès qu'une issue de A est obtenue. Exemple : A est réalisé si on obtient 4 (ou 2, ou 6). B est réalisé si on obtient 1 (ou 2). D6. Evénement impossible :  ; Evénement certain : .

PROBABILITES 2. Evénements D7. Evénement "A et B" : on garde les issues à la fois dans A et dans B. On le note : A  B (A inter B). Exemple : {2 ; 4 ; 6} et {1 ; 2} = {2}. D8. Evénements incompatibles : A  B =  Exemple : "pair" est incompatible avec "obtenir 5".

PROBABILITES 2. Evénements D9. Evénement "A ou B" : on réunit toutes les issues de A avec celles de B. Les issues peuvent être dans A ou dans B. On le note : A  (A union B). Exemple : {2 ; 4 ; 6} ou {1 ; 2} = {1 ; 2 ; 4 ; 6}. D10. Evénement contraire de A, noté : ; il contient toutes les issues non contenues dans A. Exemple : si A = "pair", alors = "impair".

PROBABILITES 2. Evénements T1. A et (= A  ) =  ; A ou (= A  ) = . Exemples : "pair" et "impair" ; "pair" ou "impair" D11. Partition = Partage. Exemple : {1; 3; 5}, {2; 4} et {6}.

PROBABILITES 3. Notion de Probabilité D12. La Probabilité d'un événement est le nombre réel p  [0 ; 1] (soit entre 0% et 100%) qui essaie de prévoir la fréquence avec laquelle cet événement se produira. Exemples :Lancer un dé cubique : p(6) = 1/6 ; p("pair") = 1/2 = 50%. Tirer une carte sur 32 : p(Roi) = 1/8 = 12.5%. Un dé est truqué ainsi : p(6) = 2/5, p(1) = 1/10 et p(2) =... = p(5). Une cible formée de 5 couronnes concentriques de même épaisseur : les probabilités sont proportionnelles à l'aire, soit à 1, 3, 5, 7, 9. T2. p(  ) = 0 ; p(  ) = 1 ou 100%.

PROBABILITES 3. Notion de Probabilité Notation : si on note e 1, e 2, …e n les résultats de  soit  = {e 1, e 2, …e n } on notera souvent p(e i ) = p i. T3.Si E = {e 1, e 2, …e q } alors p(E) = p 1 + p 2 + …+ p q. Exemple : Tirer une carte sur 32 ; p(figure) = 4p(roi) + 4p(dame) + 4p(valet). T4.p(  ) = p 1 + p 2 + …+ p n = 1. Exemple : Cible 5 couronnes ; calculer p(X = 5) et p(X > 10) avec : p(100) = 4%, p(50) = 12%, p(20) = 20% ; p(10) = 28%. Démontrer les probabilités données ci-dessus.

PROBABILITES 3. Notion de Probabilité T5. Réunion, si A et B sont incompatibles (A  B =  ) alors : p(A ou B) = p(A) + p(B) = p(A  B), Exemple : tirer une carte parmi 32 et obtenir un roi ou une dame. T6. Réunion, cas général : p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A et B). p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B). Exemple : avec un dé cubique, obtenir un résultat pair ou supérieur à 3. T7. Evénement contraire : p( ) = 1 – p(A). Exemple : tirer une carte parmi 32 et n'obtenir ni roi ni dame.

PROBABILITES 4. Loi de Probabilité équirépartie D13. Une loi de probabilité est la fonction de  dans [0 ; 1] qui donne la probabilité de chaque éventualité de . Exemples : donner la loi sous forme d'un tableau pour les expériences : lancer une pièce, Lancer un dé cubique, lancer le dé truqué (D12), atteindre la cible (D12).

PROBABILITES 4. Loi de Probabilité équirépartie D14. Loi équirépartie si tous les résultats ont la même probabilité de se produire (situation d'équiprobabilité). T8. S'il y a n éventualités (e i ), équiprobables, alors p i = 1/n. et p(E) = et il suffit de compter les éventualités...

PROBABILITES 5. Méthodes et Pratiques Equiprobabilité, exemples de mots clé : - tirage au hasard. - pièce équilibrée, - dé non pipé, (non truqué) - boules indiscernables au toucher. Si on lance plusieurs pièces, plusieurs dés, si on tire plusieurs boules, plusieurs cartes, etc. Penser à différencier les objets pour avoir des résultats équiprobables.

PROBABILITES 5. Méthodes et Pratiques Schématisation : Arbre. Dans une urne se trouvent quatre boules indiscernables au toucher : 2 Bleues, 1 Verte, 1 Rouge. On tire successivement deux boules au hasard. 1. Représenter la situation par un arbre. 2. Faire la liste des résultats possibles. 3. Sont-ils équiprobables ? Si oui combien y a-t-il de possibilités ? 4. Quelle est la probabilité de tirer deux boules de même couleur ? De couleurs différentes ? 5. Mêmes questions en rajoutant une boule bleue et une boule rouge.

PROBABILITES 5. Méthodes et Pratiques Schématisation : Diagramme de Venn (patatoïde) Dans une classe de 25 élèves, chacun étudie au moins une langue. 20 étudient l'anglais, 15 l'espagnol, 5 l'allemand, 12 l'anglais et l'espagnol, 2 l'anglais et l'allemand, 2 l'allemand et l'espagnol. Calculer p(A), p(D), p(E), p(A et D), p(A et E), p(A ou D), p(A ou E). Dessiner un diagramme de Venn pour représenter la situation. On rencontre un élève au hasard ; on appelle A l'événement : "il étudie l'anglais" D = "il étudie l'allemand" ; E = "il étudie l'espagnol". Retrouver p(A ou D), p(A ou E). Quelle est la probabilité qu'il étudie les trois langues ?

PROBABILITES 5. Méthodes et Pratiques Schématisation : Tableau Dans un club de vacances il y a 15 Hommes, 20 Femmes, et 25 Enfants. Chacun pratique une seule activité parmi : le Tennis, la Voile, le Poney. 25 ont choisi le Tennis (dont 10 Hommes) et 15 la Voile (dont 3 Enfants). Les adultes ne font pas de Poney. 1. Représenter la situation dans un tableau. 2. On rencontre une personne au hasard. Quelle est la probabilité, p(F et V), que ce soit une femme marine ? Une joueuse de tennis p(F et T), un enfant cavalier p(E et P) ? Un cavalier ou un marin p(P ou V) ? Que ce soit un homme ou un marin(e) p(H ou V) ?

PROBABILITES 5. Méthodes et Pratiques Schématisation : Cases. Amélie, Bastien, Clément, Damien et Eléonore s'alignent pour une photo. 1. Schématiser la situation par un arbre. 2. Ils se rangent au hasard. Pour la suite on pourra utiliser 5 cases alignées. Quelle est la probabilité p1 que filles et garçons soient alternés ? Que les filles soient côte à côte, p2 ? Que les garçons soient réunis, p3 ? Que Amélie soit entourée par Bastien et Clément, p4 ? Que Damien soit entouré par Amélie et Eléonore, p5 ? Que les filles soient séparées, p6 ?

PROBABILITES 5. Méthodes et Pratiques Arbre et principe multiplicatif. Six cartons portant chacun une lettre des mots JAURES sont placés dans un sac. On tire sucessivement quatre cartons au hasard. 1. Représenter la situation. Combien de mots différents peut-on former ? Ont-ils tous la même probabilité ? 2. Quelle est probabilité d'obtenir le mot "RUES" ? "JASE" ? On rajoute quatre cartons portants les lettres "JEAN". Répondre aux mêmes questions. Exercices : p 221 (ancien livre).

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. D1. Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel pour chaque issue d'une expérience. Remarque : plusieurs issues peuvent avoir la même valeur de la V.A. Exemple : on jette deux dés cubiques et on en fait la somme S. 7 est une valeur obtenue six fois, pour les six issues différentes. (1;6) – (2;5) – (3;4) – (4;3) – (5;2) – (6;1). D2. La loi de probabilité d'une variable aléatoire donne la probabilité d'obtenir chaque valeur de cette V.A. On la présente en général dans un tableau, mais on peut aussi dessiner un diagramme.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 1 : jeter deux dés cubiques et en faire la somme S. Faire un tableau.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 1 : jeter deux dés cubiques et en faire la somme S.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 1 : jeter deux dés cubiques et en faire la somme S.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 1 : jeter deux dés cubiques et en faire la somme S.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 2 : jeter quatre pièces et gagner 2 € par pile. G est le gain. Quelles sont les valeurs de G ? Ecrire la loi de probabilité de G. Dessiner un arbre. Exemple 3 : on prend au hasard 2 canettes dans un lot de 9 canettes de boissons. 2 de 25 cl, 3 de 33 cl, 4 de 50 cl. X est la variable aléatoire donnant le volume total reçu. Ecrire la loi de probabilité de X.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 2 : jeter quatre pièces et gagner 2 € par pile. G est le gain. Quelles sont les valeurs de G ? Ecrire la loi de probabilité de G. Dessiner un arbre. Exemple 3 : on prend au hasard 2 canettes dans un lot de 9 canettes de boissons. 2 de 25 cl, 3 de 33 cl, 4 de 50 cl. X est la variable aléatoire donnant le volume total reçu. Ecrire la loi de probabilité de X.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 2 : jeter quatre pièces et gagner 2 € par pile. G est le gain. Quelles sont les valeurs de G ? Ecrire la loi de probabilité de G. Dessiner un arbre. Exemple 3 : on prend au hasard 2 canettes dans un lot de 9 canettes de boissons. 2 de 25 cl, 3 de 33 cl, 4 de 50 cl. X est la variable aléatoire donnant le volume total reçu. Ecrire la loi de probabilité de X.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 2 : jeter quatre pièces et gagner 2 € par pile. G est le gain. Quelles sont les valeurs de G ? Ecrire la loi de probabilité de G. Dessiner un arbre. Exemple 3 : on prend au hasard 2 canettes dans un lot de 9 canettes de boissons. 2 de 25 cl, 3 de 33 cl, 4 de 50 cl. X est la variable aléatoire donnant le volume total reçu. Ecrire la loi de probabilité de X.

VARIABLES ALEATOIRES 1. Loi de probabilité d'une V.A. Exemple 3 : on prend au hasard 2 canettes dans un lot de 9 canettes de boissons. 2 de 25 cl, 3 de 33 cl, 4 de 50 cl. X est la variable aléatoire donnant le volume total reçu. Ecrire la loi de probabilité de X. On peut aussi en déduire la probabilité de recevoir plus que 75 cl. p(X > 75) = 36 / 72 = 50 % ou moins que 75 cl : p(X < 75) = 20 / 36

VARIABLES ALEATOIRES 2. Fonction de répartition d'une V.A. D3. C'est la fonction F telle que F(x) = p( ). F(x) est la probabilité d'obtenir une valeur inférieure ou égale à x. T1. p(X > x) = 1 – F(x). T2. p(x < ) = F(y) – F(x). T3. F est croissante. La fonction de répartition correspond aux fréquences cumulées croissantes.

VARIABLES ALEATOIRES 3. Caractéristiques d'une V.A. D4. L'espérance E(X) =, s'il y a q valeurs de X. Exemple : Calculer les espérances des V.A. Étudiées. E(S) = E(G) = E(X) =

VARIABLES ALEATOIRES 3. Caractéristiques d'une V.A. D4. L'espérance E(X) =, s'il y a q valeurs de X. T4. E(X + k) = E(X) + k ; E(X – k) = E(X) – k. ( k constante) T5. E(kX) = k.E(X). Pour calculer une espérance on peut ajouter ou retancher un même nombre à toutes les valeurs, ou les multiplier ou les diviser par un même nombre. Il suffit de faire ensuite l'opération contraire sur l'espérance obtenue.

VARIABLES ALEATOIRES 3. Caractéristiques d'une V.A. D5. La Variance V(X) = E(X²) – [E(X)]² D5. L'écart type est  (X) = d'où V(X) =  ²(X) T4. V(X + k) = V(X) + k ; V(X – k) = V(X) – k. ( k constante) T5. V(kX) = k².V(X) ;  (kX) = |k|  (X) Exemple : calculer la variance et l'écart type des V.A. étudiées. Exercices : p 224 ancien livre.