Activité sur l’inégalité triangulaire. Un jeu de dés !

On désire construire un triangle ABC ayant pour côté AB = 6 cm. Les longueurs des côtés BC et AC sont données par le lancer de deux dés. 1er dé : 2éme dé : on obtient BC = 5 cm on obtient AC = 3 cm

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Traçons d ’abord le segment [AB]. 1 2 4 3 6 5 10 7 9 8 11 12 13 15 14

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. N ’oublions pas de nommer les extrémités. A B 6 cm

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Il faut placer maintenant le point C. A B 6 cm

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Il faut placer maintenant le point C. Il est à 3 cm de A. A B 6 cm 1 2 4 3 6 5 10 7 9 8 11 12 13 15 14

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Il faut placer maintenant le point C. Il est à 3 cm de A. A B 6 cm 1 2 4 3 6 5 10 7 9 8 11 12 13 15 14

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Il faut placer maintenant le point C. Il est à 3 cm de A. A B 6 cm 1 2 4 3 6 5 10 7 9 8 11 12 13 15 14

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Il faut placer maintenant le point C. Il est à 5 cm de B. A B 6 cm 1 2 4 3 6 5 10 7 9 8 11 12 13 15 14

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Il faut placer maintenant le point C. Il est à 5 cm de B. A B 6 cm 1 2 4 3 6 5 10 7 9 8 11 12 13 15 14

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Il faut placer maintenant le point C. Il est à 5 cm de B. A B 6 cm

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. Il faut placer maintenant le point C. L ’intersection des arcs de cercle nous donne le point C : il y a deux points possibles. A B 6 cm

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. On choisit l’un d’eux et on termine le tracé. C 3 cm 5 cm A B 6 cm

Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm. On choisit l’un d ’eux et on termine le tracé. On obtient ainsi un triangle ABC avec les dimensions données par les deux dés. C Remarquons ici que AC+BC = 8 et AB = 6, donc AB < AC+BC. 3 cm 5 cm A B 6 cm

Considérons toujours un segment [AB] de 6 cm et essayons la constructions avec 2 autres lancers. 1er dé : 2éme dé : on obtient BC = 2 cm on obtient AC = 4 cm

Retraçons le segment [AB] Cherchons à placer le point C. A B 6 cm

Retraçons le segment [AB] Cherchons à placer le point C. AC = 4 cm : il est sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm. A B 6 cm

Retraçons le segment [AB] Cherchons à placer le point C. AC = 4 cm : il est sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm. BC = 2 cm : il est sur le cercle de centre B et de rayon 2 cm. A B 6 cm

Retraçons le segment [AB] Cherchons à placer le point C. Le point C doit se trouver sur les deux cercles : il n’y a qu’une seule possibilités. Le point C se trouve sur le segment [AB]. C A B On remarque que 6 = 4 + 2 6 cm On a l ’égalité : AB = AC+CB

Considérons toujours un segment [AB] de 6 cm et essayons un troisième lancer. 1er dé : 2éme dé : on obtient BC = 2 cm on obtient AC = 3 cm

Retraçons le segment [AB] Cherchons à placer le point C. A B 6 cm

Retraçons le segment [AB] Cherchons à placer le point C. AC = 3 cm : il est sur le cercle de centre A et de rayon 3 cm. A B 6 cm

Retraçons le segment [AB] Cherchons à placer le point C. AC = 3 cm : il est sur le cercle de centre A et de rayon 3 cm. BC = 2 cm : il est sur le cercle de centre B et de rayon 2 cm. A B 6 cm

Retraçons le segment [AB] Cherchons à placer le point C. Le point C doit se trouver sur les deux cercles : il n’y a aucun point commun aux deux cercles. On ne peut pas placer le point C. A B On remarque que 6 > 3 + 2 6 cm On a l ’inégalité : AB >AC+CB

Nous voyons que la possibilité de construire le point C dépend des dimensions initiales et est liée à la comparaison ici de la plus grande dimension à la somme des deux autres. Avec la même technique recherche tous les lancers possibles où : 1) on obtient un triangle ; 2) on obtient trois points alignés ; 3) il est impossible de placer le point C.