Grandeurs et mesure C. Licitri Circonscription de St Julien-Genevois Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.0 France

L’apprentissage des grandeurs joue un grand rôle dans les mathématiques pour le développement du raisonnement et le renforcement de l’esprit critique. Il construit un chemin entre les insuffisances du perceptif, l’intérêt des instruments de mesure et la puissance du raisonnement. C’est un domaine prétexte à l’interdisciplinarité (sciences, EPS, histoire, géographie …). Il nous faut profiter de cette richesse. Catherine HOUDEMENT

Grandeur

Déterminer les grandeurs liées à l'objet ci-dessous :

● Grandeurs ● Taille : longueur, largeur, hauteur ● Masse ( ≠ poids) ● Volume ● Prix ● Pas des grandeurs ● Couleur ● Forme

Définition d'une grandeur

● Une grandeur est une caractéristique d’un objet ou d'un phénomène qui est susceptible de varier. ● On peut toujours définir une relation d'ordre entre plusieurs valeurs d'une même grandeur. ● Toute grandeur peut être mesurée ou repérée.

● Les grandeurs sont dites mesurables lorsque l'on peut définir la somme de deux valeurs d'une même grandeur. ● Par contre il existe des grandeurs dont on ne sait que constater l'égalité ou émettre des relations d'ordre ; elles sont dites repérables.

On associe des nombres à certaines grandeurs pour les repérer : dates, température... Ces associations sont des repères, ce ne sont pas des mesures : - le 7 juillet ne peut pas s’ajouter au 20 juillet pour obtenir le 27 juillet, seule la durée (= intervalle de temps) se mesure ; - quand je place dans un même plat un steak à 45 degrés et des haricots verts à 30 degrés, l’ensemble ne sera pas à 75 degrés… seul se calcule l’écart des températures. Avec des élèves, on préférera le terme "relever la température" au terme "mesurer la température".

Définition de la notion de mesure

La mesure a pour but de remplacer les manipulations sur les objets par des opérations sur des nombres : - comparaison - addition - rapport -conversion

Si elle est abordée trop tôt ou trop rapidement, elle va s'ériger en obstacle à la perception de la grandeur qu'elle représente. Les élèves s'attachent alors au nombre plutôt qu'à l'unité qui leur est associée.

Construction de la notion de grandeur

✔ Les grandeurs sont définies comme des caractéristiques d'objets. ✔ On cherche donc à décrire ces objets. ✔ Pour cela on va définir des critères. ✔ Avec ces critères, on va pouvoir faire un tri !

Les méthodes pour construire les concepts : - de grandeurs et - de mesure

1- Comparaisons (directes et indirectes) sans mesurage permettant de « faire apparaître la nouvelle grandeur que l’on veut étudier ». 2- Mesurages en utilisant un « intermédiaire» choisi arbitrairement, appelé étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le mesurage). 3- Introduction d’une unité « légale » et universelle. 4- Utilisation de tout un système d’unités (les conversions) 5- Établissement de formules (ex. : calcul d’aires, de périmètres). Progression proposée D. Pernoux

Mise en œuvre dans la classe ● Différentes procédures – Expérience « sensitive » liée au corps. – Comparaison directe : superposition, juxtaposition. – Comparaison indirecte : rapport à un gabarit, à une référence (construire une grandeur somme et déterminer le rapport entier de deux grandeurs de même type). – Comparaison par rapport à un étalon : par report de l'étalon, mesurage. ➢ C'est seulement à partir de l'introduction de l'étalon que l'élève aura accès à la mesure au sens mathématique du terme.

● Compétences pour comparer : ✔ Caractériser un objet ✔ Isoler une propriété de cet objet ● Compétence pour mesurer : ✔ Couper, comparer à un étalon ✔ Dénombrer le report de l'étalon ✔ Utilisation d'une unité ✔ Calculer.

Les obstacles ● Le repérage et la perception de la grandeur ● La manipulation de la grandeur ● La perception de l'unité ● La représentation de l'unité ● Le rapport à l'étalon : approximation de la mesure ● La conservation des grandeurs – Longueur vers 7ans – Aires vers 8 ans – Des masses et des volumes entre 8 et 12 ans.

Exemples de réponses

Situations possibles 1/2 ● Perception – Expérience sensitive (utilisation de la vue, du toucher, perception du temps) pour repérer les grandeurs. – Comparaison directe : ● Superposition / juxtaposition pour les longueurs et les angles ● Mise en regard de deux objets ● Équilibre à l'aide d'une balance pour les masses (balance de Roberval, balance romaine...) ● Découpage, recollement, superposition pour les aires

Progression possible 2/2 ● Transvasement pour les contenances – Comparaison indirecte ● Utilisation d'un objet qui sert d'intermédiaire (une ficelle pour les longueurs, une aire référence...) ● Mesure et calcul – Relever d'informations à l'aide de l'étalon (nombre de reports) – Mesurage à l'aide d'un étalon. – Valeurs du mesurage exprimé à l'aide d'une unité. Lié autant que possible l'unité de référence à un objet courant pour l'élève. – Mise en œuvre de raisonnement dans des situations de mesurage (conversions – choix de l'unité) avant de se lancer dans le calcul.

Les programmes 2008 Cycle 1 ● Découvrir les formes et les grandeurs ● En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d’abord des propriétés simples (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance.

Cycle 2 ● Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix.

Cycle 3 ● Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit. ● Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle. ● Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus. ● Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier. ● Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés. ● La monnaie ● La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et, à leur donner sens. À cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées.

Le socle commun connaissances A. Les principales grandeurs (unités de mesure, formules, calculs et conversions): ● Longueur ● Aire ● Contenance ● Volume ● Masse ● Angle ● Durée ● Vitesse ● Masse volumique ● Nombre de tours par seconde B. Les mesures à l'aide d'instruments en prenant en compte l'incertitude liée au mesurage

capacités ● Raisonner logiquement, de pratiquer la déduction, de démontrer ; ● De communiquer à l'écrit comme à l'oral en utilisant un langage mathématique adapté ; ● D'utiliser et de construire des tableaux, des diagrammes, des graphiques et de savoir passer d'un mode d'expression à un autre ; ● D'utiliser des outils (tables, formules,...) ; ● De saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématiques, l'analyser en posant les données et en émettant des hypothèses, s'engager dans un raisonnement ou un calcul en vue de sa résolution...

Attitudes ● L'étude des mathématiques permet aux élèves d'appréhender l'existence de lois logiques et développe : ● la rigueur et la précision ● le respect de la vérité rationnellement établie ● le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver.

● Pour cette animation, je me suis appuyé sur les travaux de : – J-L Gueguen, CPC Pontivy – Annick Rival, CPC Bourgoin-Jallieu 1 – Frédéric Kapala, formateur IUFM de Franche-Comté – C. Maurin, professeur IUFM d'Aix-Marseille – D. Pernoux, professeur IUFM d'Alsace ● Sur les documents officiels suivants : – Programmes 2008 – Socle commun de connaissances et de compétences