Fonction Logarithme Népérien John Napier, dit Neper

Au cours du XVIe et XVIIe les calculs étaient devenus d ’une effroyable compléxité : l’astronomie, la navigation, le commerce faisait intervenir des grands nombres, des calculs trigonométriques, des calculs de puissances et de racines n-ièmes. L’idée directrice, pour simplifier les calculs, fut de remplacer des multiplications par des additions à l ’aide d ’une table de correspondances. John Napier, plus connu sous le nom de Neper, né en 1550 et mort en 1617, fut un théologien et mathématicien écossais. Il établit quelques formules de trigonométrie sphérique, popularisa l'usage du point pour la notation anglo-saxonne des nombres décimaux mais surtout mis au point la première table de ...logarithmes. Il s'attacha à définir le logarithme d'un sinus en s'appuyant sur des considérations mécaniques de points en mouvement et sur le lien entre les progressions arithmétique et géométrique. Sa description du nouvel outil parue en 1614 dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio , fut lue par Henry Briggs qui poursuivit son œuvre. Les tables de logarithmes ont été utilisées jusqu’à la fin des années 1960, avant l’arrivée des calculatrices !

Activité 1 : Où l’on retrouve la méthode d ’Euler ... Pour ceux qui apprécient cette méthode … la voici encore ! Rappelons que la méthode d’Euler permet de découvrir une fonction en ne connaissant que certains renseignements relatifs à la dérivée. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors sa courbe représentative C admet une tangente en chacun de ses points A0 (x0 ; f (x0)) qui permet d’obtenir des valeurs approchées de f (x) au voisinage de x0 . On a, pour h voisin de 0 : Soit h un réel strictement positif “ assez petit ”. On pose y0 = f (x0) . En partant d’un point A0 (x0 ; f (x0)) pour lequel f ‘ (x0) est non nul, on pose :  x1 = x0 + h et on construit le point M1 (x1 ; y1) sur la tangente T0 à la courbe C en A0 . On a alors : y1 = y0 + f ‘ (x0) h .  x2 = x1 + h et on construit le point M2 (x2 ; y2) sur la parallèle T ’1 à la tangente T1 à la courbe C en A1 (x1 ; f (x1)) . On a alors : y2 = y1 + f ‘ (x1) h .  et ainsi de suite … On construit une suite de points Mn (xn ; yn) . En joignant les points A0 , M1 , M2 , … , on obtient la courbe représentative d’une fonction g qui est affine par morceaux.

Nous avons découvert la fonction exponentielle comme solution de l’équation différentielle y ‘ = y qui vérifie y (0) = 1. Intéressons nous maintenant à la primitive sur l’ensemble des réels positifs non nuls de la fonction inverse qui s’annule en 1 … A l’aide de la méthode d’Euler, on peut justifier l’existence d’une telle fonction. Soyons fou … Appelons logarithme népérien et notons ln cette fonction. Elle est donc la primitive sur R+* de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0.

Activité 2 : La quadrature de l ’hyperbole ... D’après le diaporama de Monsieur De Rieux. Nous allons nous intéresser aux aires de 2 portions de plans situées sous l’hyperbole. a et b sont deux réels strictement positifs. Pour faciliter la compréhension, on a choisi un coefficient égal à 4 ; mais il en va se même pour les autres réels positifs. a b 4 a 4 b

On peut approcher ces deux aires par des aires de rectangles. a b 4 a 4 b Or ces deux rectangles ont même aire. En effet :

la moyenne géométrique : On va maintenant remplacer chaque rectangle par 2 rectangles de même aire. a c b 4 a 4 c 4 b Il faut choisir pour c la moyenne géométrique : Les aires des rectangles sous l’hyperbole situés au dessus de [a ; c] et de [c , b] sont égales à :

Les quatre rectangles ainsi obtenus ont donc tous la même aire. En effet : On a donc bien obtenu 2 rectangles de même aire au dessus de [a ; b]. On démontre de la même façon que les 2 rectangles au dessus de [4 a ; 4 b] sont d’aires égales entre elles, mais aussi égales à l’aire des rectangles précédents. Les quatre rectangles ainsi obtenus ont donc tous la même aire.

A l’aide de ces 4 rectangles, on approche les aires sous la courbe avec plus de précision. On peut ensuite répéter le procédé au dessus de chaque nouvel intervalle, et ainsi de suite… Ainsi, on peut conjecturer que l’aire de la portion de plan sous l’hyperbole située au dessus de [a ; b] est égale à l’aire de la portion de plan sous l’hyperbole située au dessus de [4a ; 4b] . On peut généraliser pour l’aire de la portion de plan sous l’hyperbole située au dessus de [ka ; kb] , où k est un réel strictement positif. a b ka kb Deux aires égales !

ln (a b) = ln (a) + ln (b) Soyons fou … Notons ln (ab) l’aire de la portion de plan sous l’hyperbole située au dessus de [1 ; ab]. 1 a a b On a ln (ab) qui est la somme des aires de portions de plan situées au dessus de [1 ; a] et de [a ; ab] . Or cette dernière aire est égale à celle située au dessus de [1 ; b] . Ainsi : ln (a b) = ln (a) + ln (b)

f (1) = 0 Activité 3 : Où l’on réutilise les primitives ... A la fin de l’activité 1, nous avons défini la fonction logarithme népérien, notée ln, la primitive sur ]0 ; +[ de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0. Pour x  ]0 ; +[ f (1) = 0

Montrons d’abord que cette fonction vérifie bien la propriété trouvée à la fin de l’activité 2. ln (a b) = ln (a) + ln (b) Pour tout a et b strictement positifs : Nous devons donc montrer que : pour tout a et b strictement positifs : f (a b) = f (a) + f (b). Pour tout a > 0, la fonction h : x  f (a x) est dérivable sur ]0 ; +[ comme composée de fonctions dérivables et on a : Les fonctions h et f sont donc deux primitives de la même fonction sur ]0 ; +[ Ainsi : h (x) = f (x) + k. Or comme h (1) = f (a) = f (1) + k , et que f (1) = 0, on obtient k = f (a) et ainsi pour tout x  ]0 ; +[ : h (x) = f (a x) = f (x) + f (a). La propriété est donc prouvée.

A l’aide de cette propriété, nous pourrons montrer d’autres égalités : Pour tout a et b strictement positifs, pour tout entier n non nul :

Activité 4 : Mais quel est le lien avec l’exponentielle ... Rappel : La fonction racine carrée est la fonction réciproque de la fonction carrée sur [0 ; +[ . [0 ; +[ x  x2 x  x On a, pour tout réel x positif : Et graphiquement, la courbe de la fonction racine carrée est la symétrique par rapport à l’axe y = x de la courbe de la fonction carrée sur [0 ; +[ .

f (1) = 0 Soit f la fonction logarithme népérien. Pour x  ]0 ; +[ La fonction h = f o exp : x  f ( exp (x) ) est dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables et on a : Ainsi : h (x) = x + k. Or comme h (0) = f (e0) = f (1) = 0 , on a k = 0 et h (x) = x. Pour tout réel x :

R La fonction logarithme népérien est donc la fonction réciproque de la fonction exponentielle. R ]0 ; +[ exp ln

y = exp (x) y = ln (x)

ln (a b) = ln (a) + ln (b) f (1) = 0 C’est déjà pas mal Résumé : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive sur ]0 ; +[ de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0. Pour x  ]0 ; +[ f (1) = 0 ln (a b) = ln (a) + ln (b) Pour tout a et b strictement positifs : C’est déjà pas mal pour aujourd’hui !

Logarithme et Exponentielle sont dans un bar. Pour finir ce diaporama, un peu d’humour ... Logarithme et Exponentielle sont dans un bar. Ils commandent chacun une bière. Lequel paie ? Exponentielle parce que Logarithme népérien !!!