Des nouveaux programmes de l ’école primaire, et de leur influence sur l ’enseignement des mathématiques au collège...

La résolution de problèmes Au centre de l ’activité mathématique : La résolution de problèmes

Plusieurs fonctions pour la résolution de problèmes Problèmes dont la résolution vise la construction d’une nouvelle connaissance Problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances Problèmes plus complexes que les précédents dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances. Problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher : en général, pour résoudre ces problèmes, les élèves ne connaissent pas encore de solution experte. “ problèmes pour chercher ”

Caractéristiques du “ problème pour chercher ” Les situations peuvent être issues de domaines variés. Elles sont présentées sous des formes variées. Les élèves doivent pouvoir s’approprier facilement la situation et se représenter la tâche pour s’y engager avec leurs connaissances antérieures. La difficulté doit se situer non dans la compréhension de la situation, mais dans les moyens de répondre à la question posée. Le problème peut se situer dans les domaines numérique, géométrique, logique, dans celui de la mesure ou dans plusieurs de ces domaines.

Le problème doit être “ consistant ”, c’est-à-dire présenter une certaine “résistance”. Il ne doit pas donner lieu à une réponse qui résulte d’un traitement immédiatement reconnu... Donner un problème de recherche, c’est lancer un défi. Il est important que les élèves “ fassent leur ” le problème et qu’ils aient envie de relever le défi. La validation de la solution doit être le plus possible à la charge des élèves.

“ Voici un jeu de cartes. Sur chaque carte est dessiné soit un carré,soit un triangle ”. La maîtresse montre les cartes. “ Je vais passer avec mon jeu de cartes et chaque groupe choisira trois cartes, sans les regarder, et les mettra dans cette boîte ”. La maîtresse demande à la classe le nombre de cartes qu’il y a dans la boîte. “ On est six groupes et trois cartes par groupe. Il y a donc 18 cartes ” répondent les élèves les plus rapides. Elle annonce : “ J’ai compté le nombre total de côtés sur les cartes que vous avez choisies et j’en trouve 60 (et elle écrit : “ 60 côtés ” au tableau). Vous devez trouver le nombre de cartes portant des carrés et le nombre de cartes portant des triangles ”.

POURQUOI ? Développement de la capacité de l’élève à faire face à des situations inédites. Ce type d’activité contribue à l’éducation civique des élèves. Valorisation des comportements et des méthodes essentiels pour la construction des savoirs : prendre des initiatives, être critique vis-à-vis de son travail, s’organiser, être méthodique, communiquer Dans la résolution de ces problèmes, l’élève prend conscience de la puissance de ses connaissances, même si celles-ci sont modestes. Les phases d’échanges et de débats développent les capacités argumentatives

Les modalités de mise en œuvre du “ problème pour chercher ” Présentation du problème Temps de recherche personnelle puis en groupe Les modalités de mise en œuvre du “ problème pour chercher ” Mise en commun, débat et validation Synthèse Rôle de l ’enseignant Prolongements

Le Calcul L’évolution des outils de calcul dans la société conduit à repenser les objectifs de son enseignement A l’école comme au collège les programmes distinguent trois types de calcul : mental, instrumenté et posé

l’objectif essentiel réside dans la compréhension des techniques utilisées calculer des sommes et des différences de décimaux Le calcul posé des produits de deux entiers naturels ou d’un décimal par un entier, des quotients et restes dans le cas de la division euclidienne

La division : L’exemple suivant montre ce qui peut être attendu en fin d’école primaire. La technique « dépouillée » de la division n’est pas une compétence visée, ni à l’école primaire, ni au collège

Le produit de deux décimaux, comme le calcul d’un quotient décimal, ne figure pas au programme du cycle 3. Cet apprentissage relève de la classe de Sixième : technique de calcul et sens (reconnaissance des situations où interviennent le produit de deux décimaux ou un quotient décimal).

calcul de "l'aire du rectangle", par exemple en ayant recours à des changements d’unités ou à des procédures personnelles Cependant, à l’école élémentaire, les élèves ont pu être confrontés à des problèmes du type recherche du "prix de 3,5 kg de fromage à 12,60 € le kg" où ils peuvent utiliser des procédures personnelles recherche de la valeur obtenue en partageant équitablement 50 € entre 8 personnes : après avoir donné 6 € à chacun, le reste peut être converti en centimes pour poursuivre le partage

Au cycle 3, la calculatrice doit devenir un outil de calcul banalisé Au cycle 3, la calculatrice doit devenir un outil de calcul banalisé. La meilleure solution consiste donc à la mettre à la disposition des élèves dès le début de l’année scolaire, au même titre que tous les autres instruments utilisés par les élèves, après avoir consacré une séance à une familiarisation Le calcul instrumenté

La calculatrice sera utilisée Comme outil de calcul Comme instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalités Comme support à l’exploration de phénomènes numériques Comme source de problèmes et d’exercices

Il faudra bien sûr, travailler sur le fonctionnement même de cet instrument, sur ses capacités, ses modes d ’utilisation. Si son utilisation pour résoudre des problèmes ne fait pas l’objet d’un apprentissage explicite, elle peut même être à la source de nouvelles difficultés.

des phénomènes numériques La calculatrice, outil pour explorer des phénomènes numériques Les suites de nombres Sur les nombres entiers, on peut, par exemple, avancer ou reculer de 101 en 101 (en partant par exemple de 2 409) Les multiples d’un nombre De la même manière, on peut poser des problèmes ou vérifier une hypothèse - 1 304 est un multiple de 4 ? - produire une suite de 4 en 4, à partir d’un multiple connu - essayer d’atteindre 1 304 par des produits dont le premier opérateur est toujours 4 Les grands nombres Que se passe-t-il si on coupe plusieurs fois de suite une feuille de papier en deux ? Combien de morceaux obtient-on ? Combien de fois faut-il couper pour avoir plus de 10 000 morceaux ?

support d’exercices ou de problèmes La calculatrice, support d’exercices ou de problèmes Calculs dépassant la capacité d’affichage de la calculatrice Calculer avec la calculatrice 74 400 000 + 53 000 789 Calculer avec la calculatrice 123 456 x 789 ou 231 456 x 789 Concours de calcul calculer vite 350 + 50 mentalement, à la main ou à la calculatrice, 13,6 x 10 ; 4,5 + 5,5 etc…. calculer à la calculatrice le plus vite possible le quotient et le reste de 149 divisé par 7

Décimaux : passer d’un nombre à un autre Un premier nombre est affiché sur l’écran de la calculatrice (par exemple, 4,785). Sans éteindre la calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il s’agit d’obtenir l’affichage de 4,805 en une seule opération. Trouver un quotient et un reste avec une calculatrice ordinaire Comment, avec une calculatrice qui ne possède pas de touche “ division euclidienne ”, obtenir la solution du problème suivant :“ le confiseur range 2 748 chocolats dans des boîtes de 45 chocolats Combien de boîtes pleines obtient-il et combien reste-t-il de chocolats non rangés ? ” Résoudre un problème, en réfléchissant… et en expérimentant Avec la calculatrice, on ne peut utiliser que les touches [+], [x], [=] et 2. On affiche au départ le nombre 18. Sans effacer ni éteindre, comment peut-on atteindre le nombre 330, en utilisant le moins possible de calculs ? Multiplication sans [x] Il s’agit, sans utiliser la touche [x] et un minimum d’opérations sur la calculatrice, de calculer les produits suivants : 387 x 204 et 387 x 199.

Au cycle des approfondissements Calculatrice à disposition Contrôler organiser Calculatrice outil d ’investigation PROBLEME anticiper Interpréter Calculatrice pour ceux qui ont des difficultés noter

“ Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2 Une bonne maîtrise de celui-ci est indispensable pour les besoins de la vie quotidienne (que ce soit pour obtenir un résultat exact ou pour évaluer un ordre de grandeur). Le calcul Mental Elle est nécessaire également à une bonne compréhension de certaines notions mathématiques une pratique régulière du calcul mental réfléchi permet de familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher (en situation) certaines propriétés des opérations

Le propre du “ calcul automatisé ” qu’il s’agisse de l’emploi d’une calculette ou d’un algorithme appliqué avec papier et crayon, est de délaisser l’intuition des nombres, l’ordre de grandeur ; il met en œuvre un algorithme uniforme sur des chiffres et c’est précisément le nœud de son efficacité. 127 + 16 Le calcul mental nécessite, au contraire, une intuition des nombres (qui s’affine avec l’entraînement) ainsi qu’une part d’initiative et de choix. Il opère sur des nombres et permet d’enraciner l’ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité).

Le calcul mental a une fonction sociale il est d’abord un calcul d’usage. Il s’agit de mettre en place des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante, en l’absence de supports ou d’instruments. Même si l’usage de la calculette est de plus en plus répandu, il demeure nécessaire de savoir calculer sans elle, ou, à tout le moins, de pouvoir effectuer un calcul approché.

distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…) ce qu’il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi) : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s’appuyant sur ce qui est connu

Cinq pistes peuvent être distinguées Le calcul mental a également une fonction pédagogique. Dans les apprentissages mathématiques, il joue un rôle important pour la compréhension et la maîtrise des notions enseignées. Cinq pistes peuvent être distinguées

le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes le calcul mental permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels la pratique du calcul réfléchi s’appuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes le calcul réfléchi nécessite l’élaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement des élèves les premiers maniements des notions mathématiques sont le plus souvent fondés sur le recours au calcul mental. pour l’essentiel, les compétences des élèves se construisent dans un domaine numérique où domine le calcul mental ;

Il convient de faire fonctionner les notions et les outils mathématiques étudiés au cours des années précédentes dans de nouvelles situations, autrement qu’en reprise ayant un caractère de révision. En sixième, particulièrement, les élèves doivent avoir conscience que leurs connaissances évoluent par rapport à celles acquises à l ’école primaire.

La pratique de l ’argumentation pour convaincre autrui de la validité d’une réponse, d’une solution ou d’une proposition ou pour comprendre un “phénomène ” mathématique a commencé dès l’école primaire et se poursuit au collège pour faire accéder l ’élève à cette forme particulière de preuve qu’est la démonstration. Si, pour cet objectif, le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et de démontrer ne doit pas s’y cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique, puis sur le calcul littéral offre également des occasions de démontrer.

Ne doit pas occulter la recherche Essentiel la recherche et la production d’une preuve 2 étapes Ne doit pas occulter la recherche la mise en forme de cette preuve Pas trop d ’exigences

L ’apprentissage d ’un langage Passer du Faire au « Faire faire » (Camarade, ordinateur...) Pas d ’introduction d ’emblée, mais selon les besoins Les notations sont à considérer comme des conquêtes de l’enseignement et non comme des points de départ

Ecrits de Recherche Ecrits de Référence Les écrits Ecrits destinés à être communiqués et discutés

Travailler en spirale ... Plus que jamais, intéresser ! Des situations riches, des problèmes Toute acquisition doit être reprise, consolidée, enrichie ... Travailler en spirale ...