TER EVENEMENTS RARES EN FINANCE PLAN MOTIVATION EXEMPLE SUR LE MOUVEMENT BROWNIEN APPLICATION A LA VALUE AT RISK (VaR)

MOTIVATION La simulation d'évènements rares est devenue très importante : les systèmes de télécommunications en finance afin de déterminer une valeur en risque de marché Value at Risk (VaR) On s'intéresse à simuler efficacement des VAR par la méthode des particules en interaction Comparaison aux autres méthodes existantes : Crude Monte-Carlo Importance Sampling

UN EXEMPLE SUR LE MOUVEMENT BROWNIEN >>>>> La méthode crude Monte-Carlo: on estime

CONCLUSION CRUDE MONTE-CARLO ➢ Approximation de la loi normale (10e-7 ref John Hull) Algorithme pas très efficace, coûteux en temps d'exécution Cependant il y'a pas de réglage à faire (changement de probabilité)

IMPORTANCE SAMPLING Changement de probabilité Wt -> Wt+λt

Définition d'une nouvelle mesure Courbe de l'erreur relative d'estimation en fonction de λ et x Le choix de λ optimal est pour λ=a ce qui est en cohérence avec l'article de Garnier et de Del Moral.

Conclusion Importance Sampling Algorithme efficace meilleur algorithme (sur les 3) si on connait la loi de la variable à estimer

METHODE DES PARTICULES EN INTERACTIONS

RESULTATS Pour N=10000,a=3 et λ=3 et le nombre de subdivision étant égal à 4 on obtient: Observons la variance en fonction de λ et du nombre de subdivision pour a=3 Nombre de subdivision λ

CONCLUSION SUR LA METHODE DES PARTICULES EN INTERACTIONS ✔ Mieux que la méthode Crude Monte-Carlo ✔ Intéressant si on ne connait pas la loi de la variable à simuler ✗ Moins bien que L'importance Sampling ✗ Il y'a pas de changement de probabilité à effectuer ✗ Les choix de λ et du nombre de subdividion sont délicats ✗ Algorithme coûteux en temps et en espace mémoire

APPLICATION A LA VALEUR EN RISQUE DE MARCHE (VaR ) Description du portefeuille

COMPARAISON DES TROIS METHODES Crude Monte-Carlo : VaR entre 50 et 63 (N=10000) Importance Sampling : VaR entre 56.2 et 59.7 Particules en interactions : VaR entre 85 et 94 !!!!! IS

Courbes P(Loss >a) -- crude MC -- IS -- IP

Conclusion Bilan mitigé sur la méthode des particules en interactions : ✔ Semble être pertinente pour des probabilités extrêmement faibles (10e-4 à 10e-5). Choix des paramètres très délicats (algorithme coûteux). Problème de convergence.