Théorème de Pick Enoncé du sujet : On trace un polygone dont les sommets sont des points d'une feuille de papier pointé quadrillé. ● Peut-on trouver l'aire du polygone grâce au nombre de points du quadrillage à l'intérieur et sur le bord de celui-ci ? ● Que se passe-t-il avec un autre pavage ?

SOMMAIRE - 1 Recherche d'une formule sur des exemples. - 2 Démonstration a – Cas du rectangle b – Cas du triangle rectangle c – Cas du triangle quelconque d – Cas général - 3 Autres pavages a – Pavage en trois dimensions b – Pavage isométrique

On prendra comme unité l'aire du carré formant le pavage Afin de démontrer la formule, nous avons besoin de nommer quelques nombres : Dans toute la suite de l'exposé, nous noterons : b le nombre de points sur les bords du polygone i le nombre de points à l'intérieur du polygone A l'aire du polygone Ces notations seront marquées en indice du polygone concerné. exemple : Triangle A désigne l'aire du triangle

Exemple 1 Dans ce polygone, nous pouvons compter 7 points sur les bords (b=7)et 3 points à l’intérieur ( i=3 ). L'aire est de 5,5. Il fallait ensuite essayer de relier ce résultat de 5,5 avec 7 et Recherche d'une formule sur des exemples.

Nous avons essayé avec plusieurs exemples et nous avons découvert une formule qui semblait convenir à chaque fois : En divisant b par 2 et en ajoutant i et -1 nous obtenons la bonne aire. Vérifions ici :

Exemple 2 Dans ce polygone, nous pouvons compter 12 points sur les bords (b=12) et 2 points à l’intérieur (i=2). L'aire est de 7. Il fallait ensuite essayé de relier ce résultat de 7 avec 2 et 12.

Dans ce polygone, nous pouvons compter 12 points sur les bords (b = 12) et 2 points à l’intérieur (i = 2). L'aire est de : Ce qui confirme notre formule pour l'instant non démontrée : L'aire du polygone est :

2. Démonstration On cherche à démontrer que :

2.a Pour un rectangle Ici, on peut déterminer que : On imagine un rectangle r. Soit x le nombre de points sur sa largeur et y le nombre de points sur sa longueur

● On écrit la première équation : – On développe : – On ajoute des termes tout en gardant l'égalité: – On substitue et on obtient :

Donc la formule est donc démontrée pour tous les rectangles Alignés avec le quadriage.

2.b Pour un triangle rectangle On imagine un triangle rectangle TR formé à partir d'un rectangle R. Soit k le nombre de points sur son hypoténuse excepté les sommets de TR.

Ici, on peut déterminer que : On simplifie et on obtient : On substitue :

Donc la formule est bien démontrée pour tous les triangles rectangles.

2.c Pour un triangle quelconque On imagine un triangle quelconque T dont un des cotés est confondu avec un des côtés du rectangle R duquel il est formé. Soit k 1, le nombre de points sur le second côté et k 2 sur le troisième. Soit TR1 et TR2 les deux triangles complémentaires à T du rectangle R.

Ici, on peut déterminer que : On ajoute k 1 et k 2 pour pouvoir substituer :

On peut dire de même avec un triangle dont deux des sommets sont deux sommets opposés du rectangle dont il est issu. En effet, on retrouve ce cas avec à la place du rectangle un triangle rectangle.

On substitue et on obtient et on obtient :

Donc la formule est bien démontrée pour ces triangles.

On imagine un triangle quelconque T dont aucun des cotés n'est confondu avec le rectangle dopnt il est issu. Soit k 1, le nombre de points sur le premier côté, k 2 sur le second et k 3 sur le troisième. Soit TR1, TR2 et TR3 les trois triangles complémentaires à T permettant de former un rectangle R.

On ajoute k 1 - k 1, k 2 - k 2, k 3 - k 3 et 3 – 3 pour pouvoir substituer : Ici, on peut déterminer que :

On substitue et on obtient et on obtient :

Donc, pour tous les triangles, la formule est démontrée

2.d Pour tous les polygones Pour ce faire, on va imaginer un polygone pour lequel la formule est vraie et vérifier que si l'on rajoute un point (donc un triangle), la formule est toujours vraie pour le nouveau polygone. Ainsi, la formule sera vraie pour tous les polygones.

Soit PI, le polygone initial, PF, le polygone final et T le triangle intermédiaire Soit k le nombre de points sur le côté confondu du polygone et du triangle. Ici, on peut déterminer :

On insère k : On part de :

On substitue et on obtient et on obtient :

Donc la formule est vraie pour tous les polygones

3 Autres pavages Nous avons cherché pour plusieurs autre pavages, notamment le pavage isométrique (dont la forme basique est un triangle équilatéral), le pavage hexagonal (la base est un hexagone), et le pavage en trois dimensions dont la base est un cube.

3a Pavage isométrique Le pavage isométrique est similaire au pavage cartésien (étudié précédemment), sauf que les carré sont divisés en deux pour former des triangles. L'unité est donc deux fois plus petite et l'aire est doublée. La formule devient donc :

3b Pavage hexagonal Un hexagone est un assemblage de 6 triangles. L'aire du pavage hexagonal (dont la base est un hexagone) est donc 6 fois plus petite que le pavage isométrique. On a donc :

3c Pavage en 3 dimensions Nous avons cherché pour un pavage dont la base serait un cube, mais nous avons trouvé des exemples qui montrent que avec les données que l'on a (points sur les bords et a l'intérieur), on ne peut pas calculer l'aire.