LES EMPRUNTS ET LES PLACEMENTS

INTRODUCTION Supposons que vous avez la possibilité d’investir 250 $ aujourd’hui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines années (temps 1 à 5). 60 $ 1 2 3 4 5 250 $ Capital investi

1 2 3 4 5 250 $ 60 $ Est-ce avantageux ? Pouvons-nous additionner les cinq revenus de 60 $ et les comparer au 250 $ d’aujourd’hui ? 250 $ aujourd’hui =, > ou < à la somme des 60 $ des 5 prochaines années ?

MÉCANISME D’ACTUALISATION Qu’est-ce qui faut faire pour comparer ? Ramener les 60 $ des années 1 à 5 en $ d’aujourd’hui. Hypothèse : taux de 6% l’an. ? 1 2 3 4 5 250 $ 60 $ MÉCANISME D’ACTUALISATION

MÉCANISME DE CAPITALISATION Transformer tous les montants en cause en $ de l’année 5. ? 1 2 3 4 5 250 $ 60 $ MÉCANISME DE CAPITALISATION

L’INTÉRÊT Pour le prêteur: Pour l’emprunteur C’est le prix du temps. C’est le sacrifice de ne pas profiter d’un montant certain et immédiat en retour d’un montant incertain et ultérieur. Pour l’emprunteur C’est le prix de ne pas attendre pour bénéficier d’une opportunité immédiate. C’est le prix du temps.

L’INTÉRÊT SIMPLE L’intérêt est simple s’il est toujours calculé sur le montant placé ou emprunté initialement Donc les intérêts encaissés ou déboursés sont les mêmes.

DÉMONSTRATION Vous déposez 100 $ dans un compte à intérêt simple annuel de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumulé à la fin de la troisième année. L’intérêt simple n’est versé qu’au terme de la transaction et il est toujours calculé sur le capital initial de 100 $ de sorte qu’il est toujours égal à chaque période.

SCHÉMATISATION Après 3 ans Total des intérêts = Remise du capital = 1 2 3 100 $ 5 $ Capital investi Après 3 ans Total des intérêts = Remise du capital = Capital accumulé =

DÉMONSTRATION Lorsqu’il n’y a que quelques périodes, c’est simple, mais qu’en est-il s’il y a plusieurs périodes.

FORMULE S = PV * I * N FV - PV FV = PV + [(PV * I) * (N)] FV = Ans Principal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé N PV S FV FV = PV + [(PV * I) * (N)] FV = PV + PV * I * N FV = PV * (1 + IN) S = PV * I * N FV - PV

APPLICATIONS DE L’INTÉRÊT SIMPLE Les certificats de dépôt Les certificats de dépôt sont des prêts qu’effectuent les investisseurs aux institutions financières. Ces certificats sont émis à leur valeur nominale et rapportent de l’intérêt. Leur échéance peut varier entre 30 jours et 5 ans. Le taux d’intérêt offert sur un certificat de dépôt dépend principalement de la durée du placement. Habituellement, plus les fonds sont placés pour une longue période, plus le taux d’intérêt offert par les institutions financières est élevé.

EXEMPLE 1 Vous désirez placer 1 000 $ dans un certificat de dépôt qui rapporte un intérêt simple de 10 % par année. La durée de ce placement est de trois ans. Quel sera le montant annuel d’intérêt ? Calculez le montant total qui vous sera versé au cours de la durée de ce placement. S = PV * I * N = = FV = PV * (1 + IN) = = =

APPLICATIONS DE L’INTÉRÊT SIMPLE Le prêt à intérêt simple Le prêt à intérêt simple est équivalent aux certificats de dépôt à l’exception qu’il peut être effectué d’un particulier à un autre particulier. L’échéance est variable.

EXEMPLE 2 Suite à un prêt de 3 000 $ consenti pour une période de 219 jours, un de vos amis vous a remis la somme de 3 216 $. Calculez le taux d’intérêt annuel sur ce prêt. FV = PV * (1 + IN) = 3 000 * (1 + I * 219 / 365) = 3 000 + 3 000 I * 0,60 = 1 800 I = 1 800 I = I = I

EXEMPLE 3 Calculez le montant accumulé d’un dépôt de 25 000 $ placé pendant 7 ans à un taux d’intérêt simple de 8 %. FV = PV * (1 + IN) = = =

EXEMPLE 4 Calculez l’intérêt simple d’un dépôt de 10 000 $ placé à 9 % pendant 4 ans et demi. S = PV * I * N = =

EXEMPLE 5 Vous empruntez à votre père 5 000 $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. L’emprunt est à un taux d’intérêt simple de 6 % par année. Combien aurez-vous remboursé au total dans 6 ans ? FV = PV * (1 + IN) = = =

EXEMPLE 6 Un ami vous a prêté 1 000 $ pour un an à intérêt simple et vous devez lui remettre 1 080 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ? FV = PV * (1 + IN) = 1 000 * (1 + I * 1) = 1 000 + 1 000 I = 1 000 I = 1 000 I = I = I

EXEMPLE 7 Un autre ami vous a prêté 1 000 $ pour trois ans à intérêt simple et vous devez lui remettre 1 270 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ? FV = PV * (1 + IN) = 1 000 * (1 + I * 3) = 1 000 + 3 000 I = 3 000 I = 3 000 I = I = I

EXERCICES Exercices 1 à 9

L’INTÉRÊT COMPOSÉ La notion d’intérêt composé signifie que l’intérêt gagné pendant une période, pour porter à son tour intérêt au cours de la période suivante. Nous sommes alors en présence de . Donc les intérêts touchés vont en de période en période. La plupart des transactions financières, dont notamment, les prêts , les prêts , les contrats de , le crédit à la consommation (carte de crédit) sont tous des exemples faisant appel au concept de l’intérêt composé.

DÉMONSTRATION Vous déposez 100 $ dans un compte à intérêt composé annuellement de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumulé à la fin de la troisième année. Pour la première année, de différence. À partir de la année, les montant sont différents.

SCHÉMATISATION Total des intérêts = Remise du capital Capital accumulé 1 2 3 100 $ 5 $ 5.25 $ 5,51 $ Total des intérêts = Remise du capital Capital accumulé Après 3 ans

DÉMONSTRATION Lorsqu’il n’y a que quelques périodes, c’est simple, mais qu’en est-il s’il y a plusieurs périodes.

FORMULE 10 + 10 * 0,10 Ans Principal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = N PV S FV 1 10 (10 * 0,10) = 10 + 10 * 0,10

FORMULE Ans Principal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = N PV S FV 1 10 (10 * 0,10) 10 * (1 + 0,10) 2 10 * (1 + 0,10) 1 1 [10 * (1 + 0,10) ] * 0,10 1 [10 * (1 + 0,10) ] * (1 + 0,10) = 10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 *0,10 (10 + 10 * 0,10) * (1 + 0,10) = 10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 *0,10

FORMULE FV Année 1 = 10 * (1 + 0,10) = PV * (1 + I)1 FV Année 2 = Ans Principal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = N PV S FV 1 10 (10 * 0,10) 10 * (1 + 0,10) 2 [10 * (1 + 0,10) ] * 0,10 ] * (1 + 0,10) 3 10 * (1 + 0,10) 2 [10 * (1 + 0,10) ] * 0,10 ] * (1 + 0,10) = … N N-1 OU FV Année 1 = 10 * (1 + 0,10) = PV * (1 + I)1 FV Année 2 = 10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) = PV * (1 + I)2 FV Année 3 = 10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) = PV * (1 + I)3 FV Année N = PV * (1 + I)N

EXEMPLE 1 Un industriel vient de négocier un taux d’intérêt de 9 % composé annuellement pour un placement de 100 000 $ dans une institution financière pour une période de quatre ans. Quel sera le montant d’intérêt gagné pour chacune des périodes et quel montant cette transaction permettra-t-elle d’accumuler au bout de ces quatre ans ? Année Solde au début Intérêt encaissé Montant accumulé 1 100 000 100 000 * 0,09 = 9 000 109 000 2 109 000 109 000 * 0,09 = 9 810 118 810 118 810 * 0,09 = 10 693 3 118 810 129 503 129 503 * 0,09 = 11 655 4 129 503 141 158 FV = PV * (1 + I) N = = =

EXEMPLE 2 Calculez le montant accumulé d’un dépôt de 25 000 $ placé pendant 7 ans à un taux d’intérêt composé de 8%. FV = PV * (1 + I) N = = =

EXEMPLE 3 Calculez l’intérêt d’un dépôt de 10 000 $ placé à 9 % pendant 4 ans et demi à intérêt composé. FV = PV * (1 + I) N = 4,5 = = S = FV - PV = =

EXEMPLE 4 Vous empruntez à votre père 5 000 $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. L’emprunt est à un taux d’intérêt composé de 6 % par année. Combien aurez-vous remboursé au total dans 6 ans ? FV = PV * (1 + I) N = = =

EXEMPLE 5 Un ami vous a prêté 1 000 $ pour un an à intérêt composé et vous devez lui remettre 1 080 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ? FV = PV * (1 + I) N = 1 000 * (1 + I)1 = (1 + I)1 = 1 + I = I = I

EXEMPLE 6 Un autre ami vous a prêté 1 000 $ pour trois ans à intérêt composé et vous devez lui remettre 1 270 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ? FV = PV * (1 + I) N = 1 000 * (1 + I)3 = (1 + I)3 = ) 1 ( 3 I + = (1 + I) I =

EXERCICES 10 à 23

FRÉQUENCE DE CAPITALISATION DES TAUX La fréquence de indique la base sur laquelle les sont ajoutés. Annuelle Les intérêts sont ajoutés fois par année. Semestriellement Trimestriellement Les intérêts sont ajoutés fois par année. Mensuellement Les intérêts sont ajoutés fois par année.

EXEMPLE Imaginez que vous venez de gagner à la loto un montant de 500 000 $. Vous désirez placer cet argent pour 10 ans. Trois banques vous offrent les possibilités suivantes: Banque A: Un taux de 12,00 % à capitalisation annuelle. Banque B: Un taux de 11,75 % à capitalisation mensuelle. Banque C: Un taux de 11,50 % à capitalisation quotidienne. Quelle offre allez-vous choisir ? Pour faire ce choix, il faut à manipuler trois types de taux d’intérêt.

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Le taux d’intérêt . C’est le taux d’intérêt nommé, c’est-à-dire le taux qu’on affiche. C’est le taux d’intérêt . Dans notre exemple: Banque A: Banque B: Banque C: Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces taux ?

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Le taux d’intérêt . C’est le taux d’intérêt qu’on applique à chaque . Si la période de capitalisation est , le taux d’intérêt périodique sera un taux . On obtient le taux d’intérêt périodique en divisant le taux par le nombre de périodes de composition du taux dans une .

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT i = I / m i = Le taux d’intérêt . I = Le taux d’intérêt I = i * m. m = Le que le taux est capitalisé dans une . N = L’échéance en , d’une transaction. n = Le nombre total de ou de n = N * m.

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Dans notre exemple: Banque A: i = I / m = Banque B: i = I / m = Banque C: i = I / m = Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces taux ? Par contre, nous pouvons calculer la valeur du placement à une date donnée afin de déterminer quel est le choix logique.

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Supposons qu’on veuille calculer la valeur capitalisée de 500 000 $ après 2 ans pour chacune des 3 banques : On sait déjà que: FV = PV * (1 + I)N Toutefois, cette formule n’est valide que dans le cas d’une capitalisation . Il faut donc la transformer de la façon suivante: FVn = Comme I/m = i et que N*m = n, la formule est représentée de la façon suivante:

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Dans notre exemple: Banque A: FVn = PV * (1 + i)n FV2*1 = 500 000 * (1 + 0,12/1)2*1 FV2 = Banque B: FVn = PV * (1 + i)n FV2*12 = 500 000 * (1 + 0,1175/12)2*12 FV24 = Banque C: FVn = PV * (1 + i)n FV2*365 = 500 000 * (1 + 0,1150/365)2*365 FV730 = Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces résultats ?

EXERCICES 24 à 38

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Le taux d’intérêt . C’est le rapport de l’intérêt (valeur future moins la valeur présente) dans une année sur le capital (valeur présente). ie =

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Dans notre exemple: Banque A: ir = (FVn – PV) / PV FV1*1 = ([500 000 * (1 + 0,12/1)1*1] – 500 000) / 500 000 FV1 = Banque B: ir = (FVn – PV) / PV FV1*12 = ([500 000 * (1 + 0,1175/12)1*12] – 500 000) / 500 000 FV12 = Banque C: ir = (FVn – PV) / PV FV1*365 = ([500 000 * (1 + 0,1150/365)1*365 ] – 500 000) / 500 000 FV365 = Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces résultats ?

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Le taux d’intérêt effectif : Une formule simple Prenons 1 $ capitalisé 12 fois par an à un taux de 10 % pendant un an. i= I / m n = N * m FVn = PV * (1 + i)n FVn = FVn = FVn =

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT ie = (FVn – PV) / PV ie = ie = Cela correspond à 1 $ capitalisé 1 fois par an à une taux de 10,47 % i= I / m n = N * m FVn = ie = ie =

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT Le taux d’intérêt effectif : Une formule simple ie = (1 + i)m - 1 Dans notre exemple: Banque A: ie = (1 + i)m - 1 ie = Banque B: ie = (1 + i)m - 1 Banque C: ie = (1 + i)m - 1 Le taux effectif est le seul taux qu’on puisse comparer d’une institution à l’autre.

EXERCICES 39 à 40

LES ANNUITÉS On appelle annuité toute série de faits à des intervalles de temps égaux, même si ces intervalles sont des ou des .

LES SORTES D’ANNUITÉS Les annuités .

LES ANNUITÉS SIMPLES Nous avons une annuité simple lorsque la fréquence de la (m) est la même ou coïncide avec la fréquence des (v). À titre d’exemple, le prêt et le prêt sont des annuités simples puisque les versements sont et la capitalisation des intérêts est également mensuelle.

LES ANNUITÉS GÉNÉRALES Nous avons une annuité générale lorsque la fréquence de la (m) est différente de la fréquence des (v). À titre d’exemple, le prêt est une annuité générale puisque les versements sont habituellement ou hebdomadaire alors que la capitalisation des intérêts est semestrielle.

LES ANNUITÉS DE FIN ET DE DÉBUT DE PÉRIODE Les annuités simples et générales seront dites de fin ou de début de période selon le où le premier versement est effectué. Dans le cas d’un prêt automobile ou d’un prêt hypothécaire, le premier versement est habituellement payable un mois après avoir contracté l’emprunt. C’est une annuité de fin de période. Dans le cas d’un contrat de location-achat et de divers comptes de placements tels que les REÉR, le premier versement est dû ou payable . C’est une annuité de .

La valeur accumulée d’une annuité simple de fin de période - Démonstration Vous décidez de verser à la fin de chaque année pendant 5 ans, un montant de 100 $ dans un REÉR. Si les versements portent intérêt à 7 % composé annuellement, quel sera le montant que vous accumulerez dans 5 ans ?

La valeur accumulée d’une annuité simple de fin de période 1 2 3 4 5 100 $ ? 100 * (1 + 0,07)4 = 100 * (1 + 0,07)3 = 100 * (1 + 0,07)2 = 100 * (1 + 0,07)1 = 100 * (1 + 0,07)0 = =

FORMULE FV = PMT * (1 + i)n – 1 i FV = FV =

EXEMPLE 1 FV = PMT * (1 + i)n – 1 i FV = FV = Vous déposez à compter de la fin du mois et ce mensuellement un montant de 350 $ dans un compte d’épargne au taux de 6 % pendant 5 ans. Combien aurez-vous accumulé dans votre compte après avoir fait votre dernier versement ? FV = PMT * (1 + i)n – 1 i FV = FV =

La valeur présente d’une annuité simple de fin de période - Démonstration Vous désirez connaître le capital requis aujourd’hui pour recevoir une rente annuel de 100 $ à la fin de chacune des cinq prochaines années si le taux de rendement sur le capital est de 7 % composé annuellement.

La valeur présente d’une annuité simple de fin de période ? ? ? ? ? 100 $ 100 $ 100 $ 100 $ 100 $ 1 2 3 4 5 100 * (1 + 0,07)-1 = 100 * (1 + 0,07)-2 = 100 * (1 + 0,07)-3 = 100 * (1 + 0,07)-4 = 100 * (1 + 0,07)-5 = =

FORMULE PV = PMT * 1 - (1 + i)-n i PV = PV =

EXEMPLE 2 PV = PMT * 1 - (1 + i)-n i Quelques mois après avoir trouvé votre premier emploi, vous décidez d’acheter une voiture d’occasion dont le prix est 12 000 $. N’ayant que 1 500 $ d’économies, vous sollicitez un prêt pour la somme manquante. Le taux d’intérêt exigé sur ce type d’emprunt est de 12 % capitalisé mensuellement et la durée maximale du prêt est de 4 ans. Sachant que les versements sont effectués à la fin de chaque mois, calculez la mensualité que vous aurez à débourser pour satisfaire les conditions de ce prêt. PV = PMT * 1 - (1 + i)-n i

Le solde à rembourser d’un emprunt - Démonstration Vous avez emprunté la somme de 2 000 $ à un de vos amis. Vous deviez rembourser cette somme au moyen de 10 paiements semestriels de fin de période à un taux de 10 %. Après avoir effectué le sixième versement, vous désirez connaître le solde de votre dette. Trouvons d’abord la semestrialité (PMT). PV = PMT * 1 - (1 + i)-n i

Le solde à rembourser d’un emprunt - Démonstration Nous pouvons maintenant calculer le solde de la dette. Visualisons la situation comme suit: Versements déjà effectués 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 000 $ Localisation du solde de la dette

Le solde à rembourser d’un emprunt - Démonstration Le solde d’un emprunt correspond à la valeur présente des versements restant à effectuer. 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 000 $ Solde de la dette à la fin de la 6ième période

Le solde à rembourser d’un emprunt - Démonstration 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 259,01 $ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 000 $ Solde de la dette à la fin de la 6ième période PV = PMT * 1 - (1 + i)-n i

EXERCICES 41 à