Les mathématiques au collège : l'évaluation et le programme de 6ème Ce diaporama est plus particulièrement destiné aux enseignants ayant assisté aux journées de regroupement 2005/2006. Certaines diapositives sont issues des conférences données à Reims par Eric Roditi et Denis Butlen, professeurs à l’IUFM de Créteil. 2005-2006 Académie de Reims

SOMMAIRE Introduction Ruptures et continuités Evaluations Problèmes ouverts Synthèse

1.Introduction la rénovation des programmes de mathématiques, de technologie et de sciences de la vie et de la terre; la rénovation pour la rentrée 2006 du programme de langues vivantes et sciences physiques; la prise en compte des évaluations « diagnostic » à l'entrée en sixième (les autres évaluations); l'introduction des programmes personnalisés de réussite éducative; le déploiement de l'option et du module «  découverte professionnelle » ; la poursuite des dispositifs pédagogiques en alternance ou adaptés; le projet du nouveau diplôme national du brevet pour la session 2006; le B2i collège; Les assistants pédagogiques dans les collèges ambition réussite; Les pratiques pédagogiques en sixième et en général *

Ruptures et continuité dans le programme de mathématiques de l’école au collège

Assurer la continuité Assumer les ruptures

L’élève en difficulté en mathématiques Il ne sait pas résoudre une tâche complexe Il recherche une règle lorsqu’il a une tâche simple à exécuter (la procédure experte) Il reste au stade de l’action Il a du mal à s’exprimer (ne travaille pas avec ses copains) Il a du mal à changer de point de vue (passer de 3x4=3+3+3+3 à 3x4 comme produit de 4 lignes sur 3 colonnes) Il doute de ses connaissances Il n’a pas de méthode

Plan de présentation Quel point de rupture? Quels acquis supposés? Comment assurer la continuité? Comment assumer la rupture? Pourquoi la rupture est-elle nécessaire? Quelle indication pour le professeur d’école? Quelle indication pour le professeur de collège?

RUPTURES ET CONTINUITE Le nombre décimal La notion de fraction La multiplication des décimaux Du dessin à la figure Les procédures expertes Les traces écrites

Le nombre décimal 35,2X100= 3520 3500,2 352 35,200 3550 350,20 3,520

La notion de fraction Au cycle 3, on parle de fraction partage En sixième, on découvre la fraction quotient Au cycle 3, un tiers fois 3 égale 1 En sixième, un tiers est tel que:

En quatrième

L’élève en difficulté et l’action

Français-mathématiques 52 outils pour un travail commun en mathématiques

Issu des travaux de Roland Goigoux IUFM Auvergne

La multiplication des décimaux La multiplication d’un nombre décimal par un nombre décimal est au programme de sixième depuis 1997 ainsi que la division décimale Comprendre que multiplier n’est plus équivalent à effectuer une addition réitérée Comprendre que lorsqu’on effectue la multiplication d’un nombre n par un nombre m on n’obtient pas systématiquement un nombre plus grand que n

2004 “ La rénovation des programmes de collège ” La multiplication de deux décimaux est à mettre en place en sixième, aussi bien du point de vue du sens que du point de vue de la technique de calcul posé. Le sens de la multiplication de deux décimaux est en rupture avec celui de la multiplication de deux entiers notamment par le fait que, dans ce cas, ''une multiplication'' n'agrandit pas toujours. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée.

1904 “ Sur l’enseignement de l’arithmétique à l’école primaire ” Le maître enseignera le mécanisme de la règle. Je ne suis nullement scandalisé à l’idée que l’enfant ne se rendra pas compte du pourquoi de ce mécanisme, et la confiance qu’il accordera à son maître ne me déplaît en aucune façon. (...) en arithmétique deux points importants : reconnaître quelles opérations on doit faire, c’est­à­dire au fond bien comprendre les définitions ; puis savoir faire correctement ces opérations : le premier point est affaire d’intelligence, le second de routine, ou, pour parler mieux, d’habitude.

1904 “ Manuel du Certificat d’Aptitude Pédagogique ” On dit souvent : peu ou point de théorie. Que restera­t­il donc ? La routine, le calcul machinal de chiens savants ou des automates. Nous dirons, nous : sans doute, il faut accoutumer les enfants à opérer vite ; c’est un but matériel et pratique qu’il est désirable d’atteindre. Mais qu’on ne craigne pas non plus de les accoutumer à se rendre compte de leurs opérations. (...) des enfants du cours moyen ne peuvent-ils pas savoir utilement (...) pourquoi dans un produit, on doit reculer la virgule vers la gauche d’autant de chiffres qu’il y en a dans les deux facteurs réunis ?

J'achète 3,70 m de tissus à 9,50 F le mètre. Combien dois-je payer ? En 1980 Réussite TO: 45,5% Recours à une démarche multiplicative : 77,5% En 1993 Réussite TO: 35,2% Recours à une démarche multiplicative : 80,5%

Ils connaissent le sens de 5,3x4 en tant qu’addition réitérée A la sortie de l’école primaire, les élèves ne savent pas ce que signifie 5,3x4,2 Ils connaissent le sens de 5,3x4 en tant qu’addition réitérée Donc, pour eux, multiplier c’est augmenter Il est donc nécessaire d’expliquer le sens de l’opération avant passer à la procédure experte

Exemple de progression possible dans l’acquisition de la multiplication de deux décimaux Je veux acheter 3,500 kg de cerises à 2,40 € le kg Cycle 3 : Sixième (début) : Sixième (fin) : 3kg coûtent 7,20€ 500g coûtent 1,20€ donc le prix est de 8,40 € on multiplie 3,5 par 2u soit 7u on multiplie 3,5 par 4d soit 14d on obtient 8,40u placer la virgule (procédure experte)

Un autre exemple de présentation Par estimation de l’aire d’un rectangle

Du dessin à la figure

Du dessin à la figure premier élève

Du dessin à la figure deuxième élève

On installe la différence entre dessin et figure

Les procédures expertes Nicolas Les maracas

La figure ci-contre représente un cercle de centre O et deux de ses diamètres perpendiculaires. OIAJ et OKBL sont deux rectangles. Quel est le plus long des deux segments [IJ] ou [KL] ? Retour à figures planes • Exemple de situation permettant de mettre en œuvre réellement un raisonnement non trivial ( 2 pas successifs: diagonales de même longueur dans un rectangle, caractérisation des points d ’un cercle) • Simplicité et accessibilité des justifications • Variables didactiques : - Donnée de la figure, - donnée de la nature des 2 rectangles (on pourrait remplacer par des données relatives au parallélisme et/ou à l ’orthogonalité), - formes des deux rectangles (les positions de A et B sur le cercle sont plus ou moins suggestives du résultat) • Le vocabulaire intervient naturellement. • C ’est sans doute plus pertinent que  " Souligner en vert deux droites parallèles, en rouge deux perpendiculaires  » ou que la mise en œuvre souvent trop prématurée des théorèmes mettant en jeu 2 perpendiculaires à une même troisième ou à la parallèle à une perpendiculaire à une droite (on pourrait d ’ailleurs les faire fonctionner sur la même configuration!)

Les traces écrites Les devoirs à la maison La prise de notes Le format et la tenue des cahiers

Une compétence à continuer Le calcul mental