Étude des recettes dune société en fonction du temps

Problématique Pour un certain produit, à chaque instant t, correspond une recette r correspondant à ses ventes. r(t) = t 3 – 30t 2 – 150t où t est en mois et r la recette en milliers deuros par mois. Question : quelles sont ses recettes lorsque t varie de 10 à 20 mois.

Voici la représentation de la courbe r (t) = t 3 – 30t 2 – 150t où t est en mois et r la recette en milliers deuros par mois.

Problématique On suppose que la recette r est une fonction continue du temps t. Comment calculer les recettes de lentreprise sur la période de 10 à 20 mois ?

Simplification du problème…

Les variations de r(t) étant « compliquées » on va raisonner dans un cas plus simple 1.On va étudier le cas où r(t) serait constante. 2.On va étudier le cas où r(t) serait constante sur plusieurs intervalles; on parle de fonction « en escalier » 3.On va en déduire une solution générale du problème.

CAS 1 : Si r(t) est constante

Si r(t) est constante Si r(t) est constante égale à 8,5 alors la recette sur la période10 ième – 20 ième mois, soit pendant 10 mois, sera de 8,5 × 10 = 85 milliers deuros géométriquement cela représente laire dun rectangle...

Si r(t) est constante géométriquement cela représente laire dun rectangle...

CAS 2 : Si r(t) est « en escalier »

Si r(t) est « en escalier » Si r(t) est constante sur des intervalles: égale à 8,5 sur lintervalle [10;16] puis égale à 6 sur lintervalle [16;20]. la recette sur la période10 ième – 20 ième mois, soit pendant 10 mois, sera de 8,5 × × 4 = = 75 milliers deuros géométriquement cela représente laire de deux rectangles...

Si r(t) est « en escalier » géométriquement cela représente laire de rectangles...

Premier bilan…

Si r(t) est constante ou en escalier la recette représente laire sous la courbe géométriquement cela représente laire de deux rectangles... géométriquement cela représente laire dun rectangle...

CAS 3 : cas général On est amené à chercher comment calculer laire sous la courbe dans le cas général.

CAS 3 : cas général On est amené à chercher comment calculer laire sous la courbe dans le cas général. On peut encadrer cette aire par des fonctions constantes 5 × 10 A 8,5 × A 85

CAS 3 : cas général On est amené à chercher comment calculer laire sous la courbe dans le cas général. On peut encadrer cette aire par des fonctions « en escalier » 6 × × 4 A 8,5 × × 4 56 A 75

Deuxième bilan… On a obtenu les encadrements suivants : 50 A 85 puis 56 A 75

On admet On admet que les découpages de plus en plus « fins » donnent deux suites convergentes. Leur limite commune est laire sous la courbe.

Calcul daire Le calcul d « aire sous la courbe » sappelle le calcul intégral. Ce calcul est en lien avec le calcul de primitives…