« La géométrie dynamique à l'école primaire, pourquoi faire bouger les points ? » Sophie Soury-Lavergne

Qu’est-ce que la géométrie dynamique ? lUn exemple pour commencer :

Qu’est-ce que la géométrie dynamique ? lUne technologie qui a maintenant 25 ans, Cabri-géomètre lUtilisée « massivement » dans l’enseignement secondaire, requise par les programmes lDepuis les années 2000, des usages innovants dans le primaire et des projets de recherche pour identifier les apports de la géométrie dynamique à l’enseignement et à l’apprentissage des mathématiques lEn 2006, introduction dans les concours PE

Une vidéo de classe lSoleymieux lClasse de CM1-CM2 l6 ème séance

Une « boîte noire » lLe problème proposé aux élèves est une « boîte noire », un problème propre à la géométrie dynamique lLa première analyse de la figure par les élèves porte sur des caractéristiques telles que s’agrandir, rapetisser, qui n’en permettent pas la reconstruction lLes élèves se focalisent sur la présence ou l’absence d’objets lLa reconstruction nécessite l’explicitation, pour le logiciel, de relations géométriques entre objets lLa mise en commun en classe nécessite l’explicitation du processus de construction et des objets en jeu

Le milieu, différence entre papier crayon et géométrie dynamique lEn papier-crayon, le milieu s’obtient en traçant avec le crayon un point à l’endroit justement du milieu lEn géométrie dynamique, le milieu s’obtient en choisissant l’outil « milieu » lpuis en cliquant sur le segment ou bien successivement sur les deux extrémités du segment

Les connaissances mathématiques comme outils de résolution de problème

Le bateau dans la tempête

lLe contexte donne du sens  au concept de perpendicularité et au déplacement lLe fait de pouvoir bouger le bateau crée le problème : comment construire le mat ? lLa perpendicularité  fonctionne d’abord comme un outil implicite : construction à vue d’un segment perpendiculaire  est explicitée à l’interface du logiciel : l’item droite perpendiculaire permet d’obtenir le comportement dynamique visuel attendu  peut devenir une notion dont on étudie les propriétés

Pajerond ou le rôle des rétroactions dans l’évolution des stratégies de résolution

lLe contexte « évoqué » amène la nécessité de déplacer lLe déplacement permet des rétroactions indépendantes de l’enseignant  une valeur ajoutée de la géométrie dynamique lQuelle est la connaissance mathématique en jeu ?  le cercle ?  le cercle étant donné son diamètre  le milieu d’un diamètre comme centre du cercle va être la clef du travail des élèves lLa connaissance visée est un outil clef de la solution

La patrouille, travailler l’alignement

La patrouille, comment bloquer des stratégies et en favoriser d’autres lLes variables de la situation sont :  les positions manquantes : celle du leader, celles des « centres » ou celles des « ailiers »  les outils disponibles pour résoudre avec la possibilité d’utiliser un menu spécial sans « point », les élèves ne peuvent pas simplement repérer perceptivement les positions sans « segment », les élèves sont obligés d’utiliser « milieu » en sélectionnant les deux points

Connaissances spatiales et connaissances géométriques

Interaction entre spatial et géométrique l« Connaissances spatiales » lStructuration de l’espace ldessus-dessous, derrière-devant, à droite, à gauche, entre, rectiligne, rond, en haut-en bas, étroit, allongé, grand-petit, pointu… ll’élève contrôle ses rapports usuels à l’espace avec des connaissances spatiales lles problèmes concernent l’espace sensible, sont contrôlés par la perception : « utilisation d’un plan en situation réelle » l« Connaissances spatiales » lStructuration de l’espace ldessus-dessous, derrière-devant, à droite, à gauche, entre, rectiligne, rond, en haut-en bas, étroit, allongé, grand-petit, pointu… ll’élève contrôle ses rapports usuels à l’espace avec des connaissances spatiales lles problèmes concernent l’espace sensible, sont contrôlés par la perception : « utilisation d’un plan en situation réelle » l« Connaissances géométriques » lSavoir mathématique lalignement, parallèle, perpendiculaire, milieu, cercle, triangle, rectangle, angle… ll’élève construit des connaissances géométrique en référence à un savoir lles problèmes concernent le caractère nécessaire et non contradictoire des propriétés des figures : « montrer qu’un carré est un rectangle » l« Connaissances géométriques » lSavoir mathématique lalignement, parallèle, perpendiculaire, milieu, cercle, triangle, rectangle, angle… ll’élève construit des connaissances géométrique en référence à un savoir lles problèmes concernent le caractère nécessaire et non contradictoire des propriétés des figures : « montrer qu’un carré est un rectangle » les activités géométriques contribuent à la construction de l’espace (instructions officielles) les connaissances spatiales fondent la construction des connaissances géométriques

Figure et dessins lToute résolution d’un problème de géométrie s’appuie sur une représentation graphique, appelée communément figure lLa figure est un objet théorique, c’est un ensemble d’objets géométriques liés par des relations ; lLe dessin est une représentation matérielle de cet objet théorique, une trace sur un support physique : papier, sol, écran… lLes dessins ne sont pas les seules représentations d’une figure

Différents espaces de constructions lLe site MAGESI lhttp://magesi.inrp.fr/

Géométrie dynamique et géométrie dans l’espace

Travail sur les solides usuels

Analyse d’un solide

Vrai ou faux patrons lLe travail sur les patrons de polyèdres  passage continue d’une vue plane à une vue dans l’espace, continuité entre le patron et le solide  manipulations concrètes facilitées et reproductibles lSavoirs en jeu  le nombre de faces du patron est le même que celui du polyèdre  les faces du patron sont des polygones identiques aux faces du solide  les faces adjacentes sur le patron le sont sur le solide

Au delà de la géométrie

Une collection de cahiers d’activités

Les mêmes principes à l’œuvre lManipulation directe de représentations d’objets mathématiques lComportement dynamique des objets cohérents avec les mathématiques lDes rétroactions qui aident l’élève lDes plus  une organisation en cahiers qui prend en charge la progression et les changements de stratégie des élèves

Un exemple pour le numérique

Pour la résolution de problème avec les fractions et les décimaux

Conclusion

Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ? lUn environnement pour manipuler les objets et les relations lLes manipulations jouent plusieurs rôles  elles servent à produire la solution du problème  elles permettent d’obtenir des rétroactions porteuses d’information pour la résolution  elles sont l’objet de formulations - pour décrire la construction et permettre à autrui de la refaire - pour justifier par écrit et interpréter géométriquement lAvec la géométrie dynamique, les rétroactions  apportent des informations sur la validité de la stratégie  sont indépendantes de l’enseignant  donc elles soutiennent l’autonomie de l’élève dans la prise en charge du problème

Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ? lL’articulation entre connaissances spatiales et connaissances géométriques :  connaissances spatiales pour débuter dans la recherche de solution  connaissances géométriques comme clef pour résoudre le problème  connaissances spatiales et géométriques pour valider la solution, grâce au déplacement lLa distinction « en acte » entre dessin, les Cabri- dessins, et figure géométrique

Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ? lPas seulement pour faire plus vite, plus de cas, plus « proprement », mais pour proposer de nouveaux problèmes lUn environnement pour faire des essais, des erreurs et recommencer : un ca hier de br ouillon i nformatique, pour changer la pratique des mathématiques, une pratique plus expérimentale