Chapitre 1: Les fonctions polynômes MHF4U

1.1: Les fonctions puissance

Les fonctions puissances Voici deux fonctions puissance: 𝐴 𝑟 =𝜋𝑟2 𝑉 𝑟 = 4 3 𝜋𝑟3 Quelle est la formule générale d’une fonction puissance?

Les fonctions puissances Voici deux fonctions puissance: 𝐴 𝑟 =𝜋𝑟2 𝑉 𝑟 = 4 3 𝜋𝑟3 Quelle est la formule générale d’une fonction puissance? 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥𝑛

Pour quoi parle-t-on des fonctions puissance? Fonctions polynomiales Fonctions puissance …

Les fonctions polynôme * Une expression polynomiale est une expression de la forme: Conditions: n est un nombre naturel x est une variable Les coefficients a0, a1, …, an sont des nombres réels Le degré de la fonction est n, qui est l’exposant de la plus grande puissance de x;

Les fonctions polynôme * Conditions (suite) an, le coefficient du terme qui a le plus grand exposant de x, est appelé coefficient dominant. a0, le terme qui ne comporte aucune variable, est appelé terme constant.

Les fonctions polynôme * S’écrivent généralement en ordre décroissant des puissances de x. Ex. f(x) = x2 + x + 4 au lieu de f(x) = 4 + x + x2 Il peut manquer certaines puissances. Ex. f(x) = 4x3 + 2x -1 est une fonction polynomiale même s’il manque… quelle puissance? Une fonction constante f(x) = a0 est une fonction polynomiale. Ex. f(x) = 3 peut se réécrire f(x) = 3x0

Exemple #1 (manuel p.7) Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des polynômes? Si c’est un polynôme, trouve son degré et son coefficient dominant. G(x) = sin x F(x) = -2x4 Y = x3 - 5x2 + 6x - 8 G(x) = 3x

Exemple #1 (manuel p.7) Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des polynômes? Si c’est un polynôme, trouve son degré et son coefficient dominant. G(x) = sin x F(x) = -2x4 Y = x3 - 5x2 + 6x - 8 G(x) = 3x

Notation des intervalles * Des ensembles de nombres réels peuvent se représenter de plusieurs façons: Inégalité, -3< x ≤ 5; Droite numérique: Notation à intervalles, ]-3,5] Crochet vers extérieur = non compris (incluant ∞) Crochet vers intérieur = compris -3 5

Exemple #2 (p.8) Pour chaque représentation graphique suivante (voir le tableau), détermine: Domaine et image Comportement à l’infini Symétrie?

Exemple #2 (réponses) A) Domaine: ]-∞, ∞[ Image: ]-∞, ∞[ Lorsque x → -∞, y → ∞ Lorsque x → ∞, y → -∞ Symétrie centrale par rapport à (0,0)

Exemple #3 (p.9) Associe chacune des fonctions ci-dessous à son comportement à l’infini en inscrivant son équation sur la ligne appropriée du tableau. Indique les raisons de tes choix. Voir manuel.

Les fonctions puissance * Degré pair: symétrie axiale par rapport à l’axe des y Degré impair: symétrie centrale par rapport à l’origine, (0,0) Symétrie centrale

Les fonctions polynomiales * paires impaires

Exemple #4 (p.10) Un grand ballon sphérique gonflé à l’hélium est utilisé pour la publicité d’un nouveau produit. Le volume de l’hélium dans le ballon est représenté par la fonction V(r) = 4/3Πr3, où V est le volume (en mètres cubes), r est le rayon (en mètres) et r ∈ [0,5] Représente graphiquement la fonction V(r). Détermine le domaine et l’image dans ce cas particulier. Décris les similarités et les différences entre le graphique de V(r) et celui de y = x3.

Votre travail: P.11 #3 à 6

1.2: Les caractéristiques des fonctions polynômes

Explore #1 P.15 #1 b-c-d, #2b, #3

Caractéristiques des graphiques de fonctions polynômes de degré impair * Coefficient dominant positif Coefficient dominant négatif Graphique du quadrant III au I (ex. y = x). Graphique du quadrant II au IV (ex. y = -x). Nombre d’abscisses à l’origine pour fonction de degré n: [1,n] Domaine: 𝑥∈ℝ Image: 𝑦∈ℝ Aucun minimum ni maximum Peuvent avoir symétrie centrale

Caractéristiques des graphiques de fonctions polynômes de degré pair * Coefficient dominant positif Coefficient dominant négatif Graphique du quadrant II au I (ex. y = x2). Image: 𝑥∈ℝ 𝑦≥𝑎 , où a est le minimum Au moins 1 minimum Graphique du quadrant III au IV (ex. y = -x2). Image: 𝑥∈ℝ 𝑦≤𝑎 , où a est le maximum Au moins 1 maximum Nombre d’abscisses à l’origine pour fonction de degré n: [1,n] Domaine: 𝑥∈ℝ Peuvent avoir symétrie axiale

Caractéristiques des graphiques de fonctions polynômes * Au plus n-1 minimums et maximums locaux.

Exemple #1 (p.19) Mix & match!

Différences finies * Pour une fonction polynôme de degré n, où n est un entier positif, les nes différences: Sont égales (ou constantes) Sont de même signe que le coefficient dominant Ont une valeur égale à a[n · (n-1) · (n-2)… · 2 · 1], où a est le coefficient dominant.

Exemple 2: Déterminer les types de fonctions polynômes à l’aide des différences finies Chaque table de valeurs représente une fonction polynôme. Utilise les différences finies pour déterminer: Le degré de la fonction polynôme Le signe du coefficient dominant La valeur du coefficient dominant x y -3 -36 -2 -12 -1 1 2 4 3 18 48

À ton tour! Chaque table de valeurs représente une fonction polynôme. Utilise les différences finies pour déterminer: Le degré de la fonction polynôme Le signe du coefficient dominant La valeur du coefficient dominant x y -2 -54 -1 -8 1 6 2 22 3 36 4 12 5 -110

Votre travail P.26 #1, 4, 8, 9a)

1.3: Équations et représentations graphiques des fonctions polynômes

Exploration #1 À l’aide du graphique de la fonction y=x(x-3)(x+2)(x+1), déterminer: Le degré de la fonction polynôme Le signe du coefficient dominant Les abscisses à l’origine L’ordonnée à l’origine Manuel p.30 #1 c)-d)

Exploration #1 À l’aide du graphique de la fonction y=x(x-3)(x+2)(x+1), déterminer: Le degré de la fonction polynôme Le signe du coefficient dominant Les abscisses à l’origine L’ordonnée à l’origine Manuel p.30 #1 c)-d)

Exploration #1 Verso: Identifie les abscisses et ordonnées à l’origine Réflexion: Quels sont les liens entre le nombre d’abscisses à l’origine, les facteurs répétés de l’équation et le signe de f(x)?

Exploration #1 Verso: Identifie les abscisses et ordonnées à l’origine Réflexion: Quels sont les liens entre le nombre d’abscisses à l’origine, les facteurs répétés de l’équation et le signe de f(x)? Réponse: Si un facteur est répété, le signe ne change pas.

Les zéros d’une fonction polynôme * Zéros d’une fonction f(x) = abscisses à l’origine. Ex. f(x) = (x+2)(x-1) a des zéros à x=-2 et x=1. Si un facteur (x-a) est répété n fois, alors x=a est un zéro d’ordre n. Ex. si f(x) = (x+2)(x-1)2 a un zéro d’ordre 2 à x=1.

Les zéros d’une fonction polynôme * La fonction… Change de signe (+ → - ou - → +) aux zéros d’ordre impair. Ne change pas de signe aux zéros d’ordre pair. Zéro d’ordre 2: ne change pas de signe Zéro d’ordre 1: change de signe F(x) = (x-2)2(x+3)

Exemple #1 (p.33)

Exemple #2 (p.34) * Suivre les étapes suivantes: Remplir ce tableau. Placer les coordonnées à l’origine. De gauche à droite, suivre les + et -. Degré Coefficient dominant Comportement à l’infini Zéros et abscisses à l’origine Ordonnée à l’origine

Votre travail P.33 #1, 2 a-c, 3a, 9

Explore #2 (p.36)

Les fonctions paires impaires * Fonction paire: Chaque terme de l’équation a un exposant pair. F(x) = F(-x) Symétrie p/r axe des y. Fonction impaire: Chaque terme de l’équation a un exposant impair. F(x) = -F(x) Symétrie centrale p/r origine.

Exemple #3 (p.37)

Votre travail P.39 #3a-b et #5

1.4: Les transformations

Quels sont les rôles d’a, k, c et d dans la fonction suivante? Y = a ( k ( x – c ) )n + d

Explore #1

Rôle des paramètres * Transformation Notation Exemples Translation verticale Y = xn + k Y = x3 + 3 (trois unités vers le haut) Translation horizontale Y = xn – h Y = (x – 2)3 (2 unités vers la droite) Compression / étirement vertical Y = a(xn) Y = 6x3 (étirement vertical de 6) Compression / étirement horizontal Y = (kx)n Y = (0.2x)3 (étirement horizontal de 5)

1.5 La pente d’une sécante et le taux de variation moyen

A B Entre 19h et 20h, Joey a résolu 5 problèmes de maths, et ensuite 7 dans la prochaine heure. Il a donc résolu une moyenne de 6 problèmes par heure. Monica a fait le trajet de New-York à Toronto à une vitesse d’environ 100 km/h. Quand elle a dépassé la station-service, Phoebe a regardé son compteur et a constaté qu’elle roulait à 51.5 km/h. Le taux d’intérêt du compte d’épargne de Chandler change à tous les jours, mais aujourd’hui il est à 0,8%.

Taux de variation moyen Taux de variation instantané Entre 19h et 20h, Joey a résolu 5 problèmes de maths, et ensuite 7 dans la prochaine heure. Il a donc résolu une moyenne de 6 problèmes par heure. Monica a fait le trajet de New-York à Toronto à une vitesse d’environ 100 km/h. Quand elle a dépassé la station-service, Phoebe a regardé son compteur et a constaté qu’elle roulait à 51.5 km/h. Le taux d’intérêt du compte d’épargne de Chandler change à tous les jours, mais aujourd’hui il est à 0,8%.

2 façons de calculer le taux de variation moyen entre 2 points Table de valeurs Équation

Exemple #1 Voir image p.56 Quel était le solde du compte bancaire: Au début de l’année? À la fin de l’année? Que t’indique le graphique par rapport au taux de variation moyen: Du mois 0 au mois 5 Du mois 5 au mois 8 Du mois 8 au mois 12 Calcule le taux de variation moyen pour chaque intervalle en b).

Exemple #2 Calcule le taux de variation moyen dans les 3 premières et les 3 dernières minutes du tableau suivant. T(min) P 800 1 799 2 782 3 737 4 652 5 515 6 314 7 37

Exemple #3 Le lancer d’un ballon de football peut être modélisé par la fonction ℎ 𝑡 =−4,9 𝑡 2 +14𝑡+1, où h représente la hauteur en mètres après t secondes. Calcule le taux de variation moyen de la hauteur de ballon pour chacun des intervalles suivants: [0, 0,5] [2, 2,5]

Votre travail P.62 #3, 4, 5, 6

1.6: Pente d’une tangente et taux de variation instantané

Explore https://www.geogebra.org/m/DPjPKdRu

3 méthodes pour trouver la pente de la tangente Graphique Tableau des valeurs Équation

Exemple #1: avec graphique Le graphique montre la distance approximative parcourue par une parachutiste durant les 5 premières secondes suivant son saut d’un hélicoptère. Quelle est la vitesse de descente 2 secondes après son saut?

Exemple #2: avec table des valeurs La table de valeurs (p.68) présente la distance parcourue par la parachutiste à des intervalles de 0,5 s. Estime la vitesse de sa descente lorsque t = 2 s. T(s) d(m) 0,5 1,25 1,0 5,00 1,5 11,25 2,0 20,00 2,5 31,25 3,0 45,00 3,5 61,25 4,0 80,00

Exemple #3: Avec équation On peut utiliser la fonction d(t) = 5t2 pour modéliser la distance approximative parcourue par la parachutiste. Utilise l’équation pour estimer sa vitesse de descente.

Exercices P.71-72 #1 à 5