Manipuler et expérimenter en mathématiques Thierry Dias Deuxième partie Résolution de problèmes en cycle 2 Sylvie COUSTIER CPAIEN -Oullins 2012

TRI Trier les problèmes selon un critère défini Ecrire le critère de regroupement en haut de chaque colonne du tableau constitué Critère de réussite: faire apparaître les différents « types » de problèmes

Critères retenus Organisation gestion de données Logique espace / géométrie Logique suite numérique Partage Tri de données utiles/inutiles Échanges / grandeurs et mesures Déduction Une étape / deux étapes 1 question / question intermédiaire Durée Sans donnée numérique Additif simple Choix des données numériques Cycle 2 / Cycle 3 Géométrie / calcul d’aire

« Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à chercher, que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu’il n’est pas possible de mettre en jeu la mémoire seule ». Equipe Ermel- INRP

une culture scientifique à l'école Construire des capacités méthodes savoir faire Construire des capacités méthodes techniques procédures savoir être une culture scientifique à l'école savoirs Développer des attitudes recherche raisonnement pensée critique Acquérir des connaissances concepts objets relations 5

Des catégories de problèmes… Première classification : à partir des formes d’énoncés Deuxième classification : à partir des notion mathématiques Troisième classification : à partir des objectifs pédagogiques Quatrième classification: à partir des procédures utilisées . Types de problèmes et fonctions différentes 6

A partir des formes d’énoncés Situation à vivre + Enoncé oral Enoncé écrit, situation imaginée Texte et document réel : publicité, extrait de tarif… Texte et image(s) : photo, dessin… Texte littéral et texte visuel: tableau, diagramme, carte, schéma… Texte Présence ou absence de question(s), place de celle(s)-ci dans l’énoncé Mais aussi plusieurs contextes : -Un contexte dit de « vie courante » -Des situations relevant de d’autres disciplines : biologie, géographie… -Un contexte purement mathématiques (ex : combien de nombres différents peut-on écrire avec les chiffres 5, 0, 2 et 7?) Quelles données, quelles questions? -Toutes les informations utiles, et seulement elles, sont données. -La question est posée au début de l’énoncé : les élèves peuvent ici anticiper l’importance des informations et les sélectionner. -Les données ne sont pas suffisantes : l’élève doit les chercher ailleurs ou les demander à l’enseignant. -Il n’y a pas de question : l’élève doit déterminer des questions auxquelles on peut répondre. -Les données sont surabondantes : l’élève devra sélectionner celles qui seront utiles à la résolution. 7

A partir des notions des différents domaines des mathématiques NUMERATION Types de nombres TECHNIQUE OPERATOIRE Opérations utilisées GRANDEURS ET MESURES Domaine et unité de mesure GEOMETRIE Différents objets géométriques OBS. ET GESTION DE DONNEES Différents outils de traitement de données Exemples : Géométrie Ou 2 problèmes de domaines différents mais même procédure de résolution Ressource catégories vergnaud 8

A partir des objectifs pédagogiques Place de la séance de RESOLUTION DE PROBLEME(S) dans la séquence d’enseignement Séance de relevé des savoirs et de mise en questionnement: problème ouvert (recherche) Séance de formalisation: problème pour apprendre (échanges sur les procédures) Séance(s) de mémorisation et d’entrainement des savoirs et des procédures: problèmes d’application (différenciation) Cela permet, entre autres, au maître, d’évaluer les élèves. C’est un problème destiné à permettre l’appropriation par les élèves d’une notion nouvelle. Il peut prendre la forme d’une situation problème. Son intention est ici de mettre les élèves en situation de chercher la réponse à un problème inédit. 9

Séance d’évaluation: problèmes d’application A partir des objectifs pédagogiques Place de la séance de RESOLUTION DE PROBLEME(S) dans la séquence d’enseignement Séance d’évaluation: problèmes d’application Séance de remédiation: problèmes d’application et/ou de réinvestissement (différenciation)

INSTITUTIONALISATION agir dire ACTION recherche FORMULATION Expérimenter Manipuler Représenter Mettre en mots Faire des hypothèses Anticiper sur l’effet de la procédure mise en commun VALIDATION entraînement Argumenter Prouver Justifier En classe (propositions) - Problèmes intégrée dans les progressions de certains manuels - Pratique de Rallye Mathématiques - Un défi par semaine Pourquoi? Mettre l’accent sur des objectifs méthodologiques : Essayer (apprendre à prendre des risques et accepter l’incertitude liée à cette prise de risque) Organiser sa démarche Mettre en œuvre une solution personnelle En mesurer l’efficacité Argumenter à propos de sa solution Prendre conscience de ses connaissances mêmes modestes Prendre en compte et valoriser les différences entre les élèves : permettre les échanges et le débat Engager les élèves à prendre des initiatives… INSTITUTIONALISATION prouver Stabiliser les savoirs S’entrainer Mémoriser retenir 11

APPRENDRE CHERCHER Situation problème Problème d’application directe Selon la situation d’apprentissage, un même problème peut avoir différentes fonctions. 30/03/2017 APPRENDRE CHERCHER Situation problème Problème d’application directe Problème de réinvestissement - transfert Problème ouvert construire une nouvelle connaissance ou découvrir un nouvel aspect d’une connaissance antérieure S’entrainer à maîtriser le sens d’une connaissance nouvelle Problème complexe Utilisation de plusieurs connaissances construites dans différents contexte Développer des capacités à chercher: différentes solutions, pas de solution Résolution experte inconnue des élèves Éviter que pour une même situation, on ait deux objectifs différents Conseil de Ermel pour les situations-problèmes Exemple de pb ouvert : poules coqs nombre de pâtes, têtes, combien de poules, de coqs Solution experte : système d’équations à deux inconnues 12 12

CE2: Situation Problème « J'ai 250 œufs. Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger ? » CE1: Problème Ouvert Les élèves ne connaissent pas la technique de la division. Ils sont face à un défi intellectuel qu'ils doivent relever. Ils vont utiliser différentes procédures personnelles: dessin, calculs partiels… CE2: Situation Problème Ils ne connaissent pas encore la technique de la division. Ils vont analyser les procédures utilisées et leurs limites pour identifier la procédure experte: introduction de la technique opératoire de la division. CM2 : Problème d'application La division a été étudiée. Les élèves sont censés reconnaître un problème de division et utiliser la technique opératoire pour le résoudre. Classeur d’équipe 13

PROGRESSIVITE DES APPRENTISSAGES MATERNELLE / Début de CP: Situation vécue, non écrite Au cours du CP idem ci-dessus +… De la situation vécue à la situation représentée et introduction d’un énoncé écrit Au CE1 idem ci-dessus +… De la situation représentée avec énoncé au problème évoqué (énoncé écrit seul)

ENSEIGNER DES STRATEGIES DE RESOLUTION Mise en commun Inventorier les procédures de résolution Débattre de leur validité Les comparer, les confronter Garder trace des procédures efficaces Conséquences : La diversité est possible La différenciation est réelle Le partage entre pairs est efficace Les progrès sont ressentis par l’élève

RÉSOUDRE UN PROBLÈME: Les étapes cognitives Appropriation (Dévolution) Elaboration d’une stratégie Phase de structuration Représentation du problème Mise en œuvre de la stratégie « Écrits privés », traces intermédiaires Phase d’opérationnalisation Jean Julo 3 idées retenues : Une situation initiale, comportant certaines données et un but à atteindre L’obligation d’élaborer une suite d’actions et d’entrer dans une démarche de recherche en mobilisant une activité intellectuelle L’aboutissement à un résultat final initialement inconnu, à une solution qui n’est pas immédiatement disponible   Résoudre un problème c’est donc : Entrer dans une dynamique de recherche Inventer et développer des stratégies On est dans une Démarche d’investigation en Mathématiques : … Phase de formalisation 16 Transcription du résultat 16

RÉSOLUTION UN PROBLÈME Lecture de l’énoncé Recherche d’une procédure Instanciation de la procédure Procédure : toute suite (ordonnée) d’opérations définie pour un dispositif et une tâche donnés, dont l’exécution a pour objectif de faire passer d’un état initial à un état final. J’ai 137 billes. J’en ai 42 de plus que mon frère. Combien de billes a mon frère? Pb1 : Calculer le nombre de billes de mon frère en soustrayant les billes que j’ai en plus de mon frère. Instanciation : Elle consiste à appliquer la procédure aux données du problème. Cette étape qui peut sembler évidente, ne l’est pas toujours… Pb1 : 137 - 42 = Exécution : Elle consiste à effectuer cette procédure. Pb1 : 137 - 42 = 95 Communication de la réponse : Elle sera fonction du destinataire : les autres élèves, le maître… Exécution de la procédure Communication de la réponse 17

Résultats obtenus à un problème proposé à l’entrée en 6ème Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€. Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ? Cet exercice obtient 59,3% de réussite. 18

Maîtrise insuffisante de la langue ? Analyse Maîtrise insuffisante de la langue ? mots du lexique de la vie courante, situation simple Mauvaise connaissance des nombres ? nombres familiers depuis le CP Mauvaise maîtrise des méthodes de calcul ? possibilité d’utiliser des procédures personnelles représentant plusieurs niveaux d’abstraction Pour la majorité des élèves, la difficulté se trouve non pas dans l’absence ou l’insuffisance des connaissances mais bien dans l’utilisation des connaissances. Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€. Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ? 19

Un problème a toujours une solution. Qu’est-ce qu’un problème ? Comment faire pour le résoudre ? Quand on interroge les élèves en difficulté on obtient les réponses suivantes Un problème a toujours une solution. Un problème fait toujours intervenir des nombres. Un problème se présente toujours sous la forme d’un énoncé qui se termine par une question. Il n’y a qu’une façon de résoudre un problème. C’est le résultat qui compte. Pour résoudre le problème, il faut utiliser les dernières notions étudiées en classe. Certains élèves répondent au problème (ceux qui réussissent) et d’autres répondent au maître.   La réussite ou l’échec dépendent : -des connaissances : en lecture, mathématiques, celles qu’on a sur le monde -des croyances que l’on a sur ce qui est attendu, ce qui est permis, ce qui marche souvent, celui qui pose la question. Pour trouver la solution, il faut déjà savoir. Seul le maître est capable de dire si le résultat est juste. 20

Quelques pistes pour « apprendre à résoudre » Pour s’approprier le problème Pour élaborer ou rechercher une procédure Pour exécuter la procédure et valider sa solution S’approprier le problème: les obstacles? Rechercher: obstacles à l’entrée dans la recherche?

Aide pour s’approprier le problème Varier les supports de présentation Situation réelle Situation représentée : dessin, schéma, document Situation communiquée oralement Situation communiquée par un énoncé écrit Varier les problèmes Avec des nombres mais sans calcul Sans nombres : géométrie, logique Numériques avec essais successifs Sans solution - Absurdes Situations inhabituelles S’approprier le problème: les obstacles? Pregnance du contrat didactique : Prenons l’exemple de l’âge du capitaine : « Dans un bateau, il y a 25 chèvres et 12 moutons. Quel est l’âge du capitaine? » Un fort pourcentage d’élève répond : 37 ans. C’est un problème mathématique proposé par le maître. Ce dernier veut que je fasse des opérations. Tout problème a une situation… Ici ces règles du contrat didactique sont des obstacles à la résolution de problèmes. Exemples : Avec des nombres mais sans calcul Pierre habite sur une île reliée au continent par un pont. Depuis qu’il s’est levé ce matin, il a traversé 127 fois. Est-il sur l’île ou sur le continent ?   Permet de lutter contre la conception selon laquelle il faut absolument faire un calcul Sans nombres : géométriques ou logiques Combien peut-on former de triangles en joignant ces points ? . . . Permet de faire évoluer la conception selon laquelle un problème contient toujours des nombres Numériques  Sur une cible à trois zones, on lance des fléchettes. On marque 5 points dans la zone A, 3 dans la zone B, 2 dans la zone C. J’ai fait 13 points en lançant 4 fléchettes. Dans quelles zones ai-je lancé les fléchettes ? Ce problème ne se résout pas par combinaison des nombres du texte mais il s’agit de faire des hypothèses sur des réponses possibles et de les tester. Des problèmes sans solution On dispose de pièces de 50c, de 20c, de 5c. Peut-on constituer une somme de 5 euros avec exactement 20 pièces ? Permet de lutter contre la conception qu’un problème a toujours un résultat Des problèmes absurdes Un serpent qui n’a pas de pattes n’est pas attaché à une corde. Une poule qui a deux pattes est attachée par deux cordes. Un chat qui a quatre pattes est attaché par quatre cordes. Combien de pattes aura un chien attaché par six cordes ? Permet de se rendre compte de l’incohérence ou de l’absurdité de la réponse « logique » Des problèmes avec des situations inhabituelles Le chou, la chèvre et le loup Permet de « vivre » la situation 22

 l’élève doit se représenter la situation Lecture de l’énoncé Les obstacles Les aides  l’élève doit se représenter la situation Aider les élèves à se représenter le contexte Choisir des énoncés en rapport avec la vie de la classe et la «vie quotidienne» Proposer des énoncés à l’oral Faire raconter l’énoncé avec ses propres mots Faire mimer l’énoncé - Proposer d’utiliser du matériel pour simuler la situation - Inciter à s’appuyer sur l’illustration (représenter par le dessin, le schéma) 23

Aider l’élève à se représenter ce qu’on cherche Les obstacles Les aides  l’élève doit se représenter la tâche Aider l’élève à se représenter ce qu’on cherche - Identifier la catégorie* à laquelle appartient le problème : reconnaitre la structure du problème - faire un schéma des données du problème - comparer ce nouvel énoncé à celui du problème de référence (affiche ou fiche outil) EXEMPLE: Vergnaud Schéma pas de pb pour moi 24

Aider l’élève à s’approprier le vocabulaire des mathématiques Les obstacles Les aides  connaitre les termes spécifiques  distinguer le sens courant et le sens en mathématiques Aider l’élève à s’approprier le vocabulaire des mathématiques - Réalisation de référentiel: construire un dictionnaire mathématiques Ex: classification des mots utilisés en mathématiques (exemple un changement : diminuer, ajouter, partager…) - Polysémie des mots (langage courant / mathématique) ex : la différence = soustraire/distinguer - Utilisation de synonymes Ex : «136 –73  j’enlève 73 à 136 ou je cherche la différence entre 136 et 73 ou ce qu’il faut ajouter à 76 pour avoir 136» -Travailler la maitrise des petits mots comme : l’un, l’une, chacun, chaque, plus que, moins que, de plus, de moins… MAITRISE DE LA LANGUE ET MATHS Maths en mots – Bregeon - BORDAS 25

LA FORME ET LA PLACE DE LA QUESTION Les obstacles Les aides  La question est le plus souvent posée à la fin de l’énoncé  La forme injonctive (impératif ou infinitif) n’est pas toujours reconnue comme une question ou une tâche à effectuer Aider les élèves à identifier le questionnement -Formuler la question en début d’énoncé permet à l’élève d’anticiper ce qu’il faut faire et de sélectionner plus facilement les données. - Lire l’énoncé sans lire la question : demander à l’élève de dessiner ou d’écrire ce qu’il a compris de l’énoncé, demander d’écrire la question que l’élève a en tête. -Reconnaitre la forme interrogative: reformuler la question avec inversion du sujet. -Rédiger une question pour chaque catégorie de problèmes. Stratégies de lecture énoncés de mathématiques Lecture et maths Pas de problème pour moi 26

LES DONNEES DU PROBLEME Les obstacles Les aides  Les données doivent être accessibles Distinguer les données utiles et inutiles  Connaitre les techniques et automatismes pour traiter les données Aider les élèves à s’approprier les données - Simplifier les données numériques : utiliser des nombres plus petits, des nombres entiers - Pratiquer des séances de calcul mental ; calcul automatisé et calcul réfléchi - Utiliser des données avec des relations maitrisées : les doubles, les multiples, l’angle droit… - Choisir les unités maitrisées - Réduire / augmenter le nombre de données Relation à Denis Butlen: Le nombre au cycle 2 27 27

-Trouver la / les question(s) intermédiaire(s) LES ETAPES DU PROBLEME Les obstacles Les aides  Les étapes correspondent à l’ordre des informations contenues dans l’énoncé.  Elles peuvent être explicites (présence d’une question) ou implicites Identifier les informations explicites et les informations implicites : -Trouver la / les question(s) intermédiaire(s) - Définir les étapes de la résolution Relation à Denis Butlen 28 28

Difficultés pour élaborer ou rechercher une procédure Des blocages psychologiques Une richesse variable des réseaux de connaissances stockés en mémoire Favoriser la diversité des procédures Exploiter cette diversité La non maîtrise de certaines techniques opératoires Entrainer: calcul mental, calculs écrits Rechercher: obstacles à l’entrée dans la recherche? Des blocages psychologiques : je suis nul en mathématiques Piste d’aide Faire prendre conscience aux élèves qu’ils sont capables de faire quelque chose en mathématiques en leur proposant notamment des problèmes ouverts à résoudre individuellement ou en groupe La faible richesse des réseaux de connaissances stockés en mémoire à long terme Favoriser la diversité des procédures par la pratique de la résolution de problèmes ouverts individuellement ou en groupe Exploiter cette diversité : Aider les élèves à mémoriser des pbs de référence.(par procédures par exemple)  affichages/tri Aider à progresser vers les résolutions expertes : s’appuyer sur l’analyse des procédures lors des mises en commun de problèmes ouverts La non maîtrise de certaines techniques opératoires Autoriser la calculatrice. Préciser les opérations à réaliser sans les effectuer. La non maîtrise des procédures Classer les problèmes par procédures, relever des exemples de résolutions Aider à progresser vers les résolutions expertes: comparaisons, justifications 29

Difficultés à exécuter la procédure de résolution Difficultés pour exécuter la procédure et valider sa solution Difficultés à exécuter la procédure de résolution Remédiations Entrainement Difficultés à contrôler la représentation du problème, la procédure de résolution ou le résultat Valider par la cohérence du résultat: ordre de grandeur, unité Quels obstacles à la mise en œuvre d’une procédure? Entrainements Difficultés pour valider son travail? Cohérence: unité, ordre de grandeur Difficultés à exécuter la procédure de résolution Piste d’aide Un travail régulier toute l’année sur les techniques de calcul (posé, mental réfléchi) Rencontrer plusieurs fois des problèmes de « même type » Difficultés à contrôler la représentation du problème, la procédure de résolution ou le résultat Demander aux élèves de prendre position par rapport à leur résultat en écrivant s’ils sont sûrs de leur production et pourquoi (justifier sa réponse) Travail de groupe (réponse unique), exemple du rallye  interactions verbales vers l’argumentation 30

Roland CHARNAY La résolution de problèmes vise des enjeux d’apprentissages différents en fonction de la nature de la tâche proposée à l’élève

CONCLUSIONS Concevoir le parcours de résolution de problème de l’élève: en équipe  Etablir une progressivité dans les problèmes proposés, les procédures et les représentations S’attacher à des outils communs de classements de référence par les procédures : affiches évolutives, qui peuvent passer de classes en classes, outil individuel élève dans l’école (portfolio de problèmes résolus) Penser les séances d’entrainement : calcul mental, rituels : énigmes, jeux, séries de petits problèmes simples.

OUVERTURES Mise en place d’un labo maths de classe, d’école… Résolution de problèmes dans tous les domaines d’enseignement : vie de classe, EPS, sciences, géographie, histoire, étude de la langue

ça demande beaucoup de matériel ? Expérimenter, manipuler ?? matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques, jeux, Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves… supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou ébauches de schémas), agrandissements outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle, ficelle instruments : instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, files numériques, tables d’addition, de multiplication, ordinateur 34

Exemple 1 : à la bonne place (éval. Ce2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient 367 582 309 300 400 500 600 300 309 400 367 500 582 600 Ce qui est attendu, ce qui est permis 35

DEUX EXEMPLES 150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il d’équipes ? 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?

Exemples monnaie

Dans un restaurant, on propose : Deux entrées Trois plats principaux Deux desserts Combien de menus «entrée+plat+dessert» peut-on composer?

LES DEUX CERCLES SONT BLEUS LE TRIANGLE EST VERT IL Y A UNE FORME ROUGE A GAUCHE D’UNE FORME BLEUE