Les fractions et les nombres décimaux au Cycle 3 L’évaluation nationale CM2 2011 La place des fractions et nombres des décimaux et dans les programmes 2008 Rappel de quelques connaissances théoriques Les nombres - Les fractions Pour l’élève, les compétences nécessaires en numération La démarche d’enseignement, quelques situations Points de vigilance pour le formateur Eric Miclo et Dominique Richert

LES NOMBRES DÉCIMAUX ET FRACTIONNAIRES DANS L’ÉVALUATION NATIONALE CM2 9 items font appel aux nombres décimaux 5 sur la connaissance des nombres décimaux 4 faisant appel aux nombres décimaux dans des opérations . 8 items font appel à des connaissances abordées en CM1 1 item fait appel à des connaissances abordées en CM2

LES NOMBRES DÉCIMAUX ET FRACTIONNAIRES DANS L’ÉVALUATION NATIONALE CM2 Écrire et nommer les nombres entiers, décimaux et lesfractions. Ecrivez vingt huit unités et sept centièmes (laisser 10 secondes) ; Écrivez trente-cinq centièmes (laisser 10 secondes) ; Écrivez trois dixièmes (laisser 10 secondes). » Item 65 Réussi à 47,1%

LES NOMBRES DÉCIMAUX ET FRACTIONNAIRES DANS L’ÉVALUATION NATIONALE CM2 Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Item 66 Entoure la fraction égale à 6,02 Item 67 Entoure le nombre à virgule égale à 3/10 Item 68 Ecris ¼ sous la forme d’un nombre à virgule Item 66 réussi à 64,8% Item 67 réussi à 56,9% Item 68 réussi à 27,7%

LES NOMBRES DÉCIMAUX ET FRACTIONNAIRES DANS L’ÉVALUATION NATIONALE CM2 Comparer, ranger, encadrer des nombres. Item 69 réussi à 50,3%

LES NOMBRES DÉCIMAUX ET FRACTIONNAIRES DANS L’ÉVALUATION NATIONALE CM2 Poser et effectuer une addition, une soustraction ou une multiplication sur des nombres entiers ou décimaux 208+13,75 56,73-7,02 46,3x 9 Item 81 62,9% Item 82 73,5% Item 84 55,2% Poser et effectuer une division d’un nombre entier ou décimal par un nombre entier 238:4 Item 86 43,2%

LES NOMBRES DÉCIMAUX ET FRACTIONNAIRES DANS L’ÉVALUATION NATIONALE CM2 8 items font appel à des connaissances abordées en CM1 items 65-66-67-68-69-81-82-84 1 item fait appel à des connaissances abordées en CM2 Item 86

LES NOMBRES DÉCIMAUX ET FRACTIONNAIRES DANS L’ÉVALUATION NATIONALE CM2 Les évaluations révèlent que la connaissance des nombres décimaux comportent de nombreuses lacunes sur leur signification, leur spécificité , la relation entre les différentes écritures. Malgré la présence d’activités probablement répétées , mais le concept n’est pas acquis items 65 - 68 - 69 . On peut faire l’hypothèse que l’enseignement se fait «  à la surface » en laissant peu de place aux activités permettant une construction précise de ce concept de fractions , fractions décimales et nombres à virgules

I. Les programmes 1. Principes. « MATHÉMATIQUES La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l’élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d’apprendre à résoudre des problèmes. Il renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d’études au collège. » (Programmes 2008 B.O. n° 3 du 19 juin 2008 - page 21)

I. Les programmes 2. Programmes. « Les nombres décimaux et les fractions : fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ; - nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près. » (Programmes 2008 B.O. n° 3 du 19 juin 2008 - page 22)

I. Les programmes 2. La place des décimaux dans les repères de progressivité (Programmes 2008 B.O. n° 3 du 19 juin 2008 - page 38) CE2 CM1 CM2 Fractions - Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. - Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. - Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur. Nombres décimaux - Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème). - Savoir : . les repérer, les placer sur une droite graduée, . les comparer, les ranger, . les encadrer par deux nombres entiers consécutifs, . passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. - Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000ème). . les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence, . produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001... - Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près. Palier 2 du socle commun Écrire ,nommer , comparer et utiliser les nombres entiers et décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples

I. Les programmes 2. La place des décimaux dans les repères de progressivité CE2 CM1 CM2 Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. - Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. - Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Effectuer un calcul posé - Addition et soustraction de deux nombres décimaux. - Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier. - Division euclidienne de deux entiers. - Division décimale de deux entiers. - Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs. Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. Effectuer un calcul posé - Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux. - Division d’un nombre décimal par un nombre entier. - Utiliser sa calculatrice à bon escient. Palier 2 du socle commun Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division , le diviseur est un nombre entier)

II. Des éléments théoriques 1. Les familles de nombres. • Les entiers naturels (ensemble noté ℕ) : Les entiers naturels sont le 0, le 1 et tous les nombres égaux à une somme de 1. Exemples : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... • Les entiers relatifs (ensemble noté ℤ) : Les entiers relatifs sont les entiers naturels (qui sont positifs) et leurs opposés (qui sont négatifs). Exemples : ..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

II. Des éléments théoriques 1. Les familles de nombres. • Les nombres décimaux (ensemble noté ⅅ) : Les nombres décimaux sont les nombres égaux au quotient d’un entier relatif par une puissance de 10 (c’est à dire 1, 10, 100, 1000, 10000, etc.). Exemples particuliers : ¼, ⅖, ⅝, 25673,0000026, 0,5362748922048756 Mais pas : ⅓, ⅔ • Les nombres rationnels (ensemble noté ℚ) : Les nombres rationnels sont les nombres qui sont égaux au quotient de deux nombres entiers relatifs, c’est à dire à des fractions. Exemples particuliers : ⅓, ⅔

II. Des éléments théoriques 1. Les familles de nombres. • Les nombres réels (ensemble noté ℝ) : Les nombres réels peuvent être soit des nombres rationnels, soit des nombres irrationnels. Ces derniers présentent un développement décimal infini et non périodique. Exemples particuliers : π, √2 • Les nombres complexes (ensemble noté ℂ) : Il existe un élément i de ℂ tel que i2 = -1. Tout élément de ℂ s'écrit de manière unique z = a + ib, a et b étant des nombres réels. Exemple particulier : c tel que c2 = -7 (c = i√7)

II. Des éléments théoriques 2. Les ensembles. ℂ i ℝ π √2 Le cycle 1 & 2 et l première année du C3 aborde le nombre de la famile des entiers naturels. Des fonctionnements spécifiaque à la numération des entiers sont ainsi installes, répétées et entraînées dans les années de ces cycles . (exemple dès le c1 on construit le successeur, le prédécesseur d’un nombre , au c2 on apprend à intercaler des nombres. ℚ 2 3 7 19 17 ⅅ 3 5 2083 100 7 4 -9 ℤ -76 -3097651 ℕ 1 8975 30 12 Tout entier naturel est donc également un entier relatif et un nombre décimal. Ainsi, par exemple, le nombre 4 est aussi un nombre décimal.

II. Des éléments théoriques 3. Nature des nombres et écriture des nombres. La nature des nombres ne dépend pas de leur écriture. Il est fondamental de ne pas laisser croire les élèves que cela soit le cas. L’enseignant doit avoir une connaissance fine de la chose enseignée et prendre des précautions de langage afin d’éviter de créer une quelconque confusion. Ainsi, le nombre 756 est un nombre entier mais aussi un nombre décimal. Il peut se présenter sous différentes écritures, par exemples : en lettres : sept cent cinquante-six en chiffres romains : DCCLVI additive : 342 + 126 + 288 à virgule : 756,00 fractionnaire : factorisée : 22 x (89 + 102) Les enseignants font encore la confusion « nombre à virgule » c’est un « nombre décimal ». Le lien entre l’apparition de l’écriture à virgule et la fraction décimale n’est pas ou très peu étudiée. 7560 10

Les fractions Au cycle 3, les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l’insuffisance des entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. Seules quelques fractions usuelles (exprimées en demis, quarts, tiers et fractions décimales) sont utilisées par les élèves, et travaillées dans le but d'introduire les nombres décimaux par le biais des fractions décimales.

LA SIGNIFICATION DE L’ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 3/4 : une grandeur unité a été partagé en 4 parties égales et l’on a pris trois part (3X1/4 de l’unité) 3/4 : on a pris trois fois la grandeur unité que l’on a partagé en 4 parts égales 3/4 : on considère 3 objets parmis 4 objets, il s’agit de prendre 3/4 de la collection (3 parmi 4) 3/4 : le quotient décimal de la division de 3 par 4 3/4 : le nombre compris entre 0 et 1 qui s’écrit 0,75 Voir commentaires évaluation pour ¼ est égal à 0,25.

Encadrer des Fractions M Établir la relation entre la fraction associée à un point de la droite et la longueur du segment Permettre la décomposition d’une fraction sous forme de somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1.

comparer les fractions On peut amener l’élève à avoir quelques raisonnements simples pour comparer les fractions notamment par l’observation des numérateurs, dénominateurs et la prise de conscience de l’unité. 5/3 et 7/3 comparaison des numérateurs 2/3 et 2/5 compréhension du dénominateur «  une part est plus petite » 3/4 et 7/3 une fraction est inférieure à 1

La fraction décimale Une fraction est dite décimale lorsque son dénominateur est une puissance de 10. 3/100 37/10 Certaines fractions non décimales sont égales à des fractions décimales 3/2 est égale à 15/10 1/4 est égale à 25/100 5/3 et 7/17 ne sont pas égales à des fractions décimales Importance de faire pratiquer les points d’appui : table 2 et table de 5 et les relations entre les nombres (5,10

III. Des compétences nécessaires 1. Connaître le système positionnel en base 10. Les élèves doivent avoir compris le système de numération en base 10, en particulier qu’il s’agit d’un système numérique de position. Il est également nécessaire qu’ils aient compris le système d’équivalence entre les chiffres en fonction de leur position dans un nombre. Par exemple 10 dizaines équivalent à 1 centaine, pour des nombres entiers naturels d’au moins 4 chiffres. Un préalable que les élèves construisent au c2

III. Des compétences nécessaires 2. Connaissances et compétences sur l’ordre des nombres. Sur une droite graduée, les élèves doivent : - savoir ce qu’est une graduation régulière (avec le choix d’une unité). - être capables d’y placer un nombre entier et quelques fractions simples. Se reporter : rappel “fractions” Un type de compétence qui est très peu réactivé et entraînée en classe. Voir fraction

III. Des compétences nécessaires 2. Connaissances et compétences sur les fractions. Sur les fractions, les élèves doivent : - connaître la notion de fraction, l’écriture fractionnaire et le vocabulaire afférent (numérateur, dénominateur, demi, tiers, quart, dixième, centième, millième, ...). - savoir reconnaître des fractions égales (exemple et ) et trouver une fraction égale à une fraction donnée y compris dans le cas des entiers naturels. - savoir décomposer une fraction en une somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1 (exemple = 2 + ). Le lexique « mathématique » prend ici toute son importance : l’enseignant doit en faire un usage précis et explicité et sera attentif au transfert et à l’usage qu’en feront les élèves pour décrire leur activité mathématique. 1 4 3 12 9

IV. Des situations pour introduire les décimaux 1. Des situations « évidentes » pour aborder les nombres décimaux. La première idée qui vient souvent à l’esprit consiste à travailler avec des nombres décimaux que les enfants connaissent déjà, comme, par exemple la monnaie ou les mesures de longueurs. On peut penser qu’ainsi les élèves auront moins de difficulté à comprendre les nombres décimaux du fait de leurs connaissances liées à la vie courante. C’est ici la rencontre des nombres à virgules lié à l’écriture des nombres complexes c’est-à-dire issue de deux systèmes d’unités différents qui est présenté ici.

IV. Des situations pour introduire les décimaux 2. Analyse des concepts construits à partir de ces situations. Rappel de la terminologie employée dans la vie courante : • l’expression « deux mètres cinquante » (ou « trois euros soixante »), signifie-elle : - 2 mètres et cinquante mètres/décimètres/centimètres..., - 2,50 mètres, - 2,5 mètres, - ... ? • l’expression « deux mètres cinq » signifie-elle : - 2 mètres et cinq mètres /décimètres/centimètres..., - 2,05 mètres, Certains élèves risquent de ne pas comprendre les implicites.

IV. Des situations pour introduire les décimaux 2. Analyse des concepts construits à partir de ces situations. Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • un nombre décimal correspond à deux nombres entiers séparés par une virgule. Exemples : - 2 mètres 50 = 2,50 m (3 € 60 = 3,60 €) - 2 mètres 5 = 2,5 m (3 € 5 = 3,5 €) Conséquences : Des erreurs classiques de comparaisons entre les nombres décimaux : - 2,50 > 2,7 parce que 2 mètres 50 est plus long que 2 mètres 7. Voir fiche écriture des nombres complexes TFM Commentaires Un des objectifs de l’école primaire (pour les prix, longueurs, les masses, les contenances et les durées) est d’aider les élèves à faire le lien entre l’écriture " complexe " d’une mesure qui utilise plusieurs unités (souvent deux) et l’écriture à l’aide d’un nombre décimal qui n’utilise qu’une seule unité. Il est nécessaire d’établir ce lien entre valeur positionnelle des chiffres dans l’écriture décimale et relations entre unités de mesure pour comprendre l’égalité entre les deux écritures. Là encore, le travail de justification (aidé par l’expression orale des relations et par des " réalisations concrètes ") permet d’éclairer les phénomènes beaucoup mieux que ne le fait la simple manipulation de tableaux de conversion, souvent utilisée comme un " truc magique ". Avis de Brissiaud Pour enseigner les décimaux, utiliser d’abord des unités de mesure non conventionnelles pour favoriser l’appropriation de l’idée de fractionnement et éviter la confusion avec les entiers. Dans un système conventionnel de mesure (ex. le mètre), le 1/10, le 1/100, etc. de l’unité ont des noms spécifiés (le décimètre, le centimètre...) et fonctionnent donc, eux-mêmes, comme unités entières à l’intérieur de ce qu’on appelle un système de « nombres complexes ». En faisant disparaître toute idée de fractionnement, l’idée de décimal disparaîtrait aussi. Enseigner l’écriture à virgule comme un simple changement de notation.

IV. Des situations pour introduire les décimaux 2. Analyse des concepts construits à partir de ces situations. Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • un nombre décimal est un nombre qui s’écrit à l’aide d’une virgule. Conséquences : Une telle construction de concept posera des problèmes de compréhension sur l’inclusion des ensembles. C’est à dire par exemple qu’un entier est aussi un nombre décimal.

IV. Des situations pour introduire les décimaux 2. Analyse des concepts construits à partir de ces situations. Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • un nombre décimal ne possède, au maximum, que 2 chiffres après la virgule. Dans les mesures de longueurs comme pour la monnaie, on n’utilise que rarement plus de 2 chiffres après la virgule (ils ne sont généralement pas significatifs, surtout pour ce qui concerne la monnaie). Conséquences : Les élèves ne reconnaissent pas des nombres tels que 6,785 comme un nombre décimal.

IV. Des situations pour introduire les décimaux 2. Analyse des concepts construits à partir de ces situations. Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • il est impossible « d’intercaler » un nombre décimal entre deux nombres décimaux « proches ». Exemples : - on ne peut trouver un nombre décimal à intercaler entre 7,56 € et 7,57 €. Conséquences : On ne lève pas une des grandes difficultés concernant les décimaux qui est de comprendre qu’entre deux décimaux on peut toujours en intercaler un autre. En fait, il est possible d’intercaler une infinité de décimaux entre deux nombres. Les élèves ne peuvent concevoir cela à partir de leur connaissance des entiers naturels : entre deux entiers naturels il n’est pas possible d’intercaler un autre entier naturel. Voir fiche intercaler

IV. Des situations pour introduire les décimaux 2. Analyse des concepts construits à partir de ces situations. Concepts erronés que les élèves risquent de construire : • Par ailleurs, ces situations ne permettent pas de mettre en évidence : - la valeur des chiffres en fonction du rang qu’ils occupent dans l’écriture du nombre, - les relations de valeur entre chiffres de rangs différents. L’utilisation de situations tirées de la vie courante (mesures de longueurs, ou monnaie) pour aborder les nombres décimaux s’avère être une fausse bonne idée.

IV. Des situations pour introduire les décimaux 3. Remarques. Le fait qu’il soit préférable de ne pas aborder les nombres décimaux à partir d’expressions de mesure ne signifie pas qu’il ne faille pas faire le lien. Cependant, il est préférable de faire ce lien, entre écritures décimales et expressions de mesure avec plusieurs unités, plus tard dans la progression. Cela permettra aux élèves de comprendre que 5,07 m c’est 5 m 7 cm parce que le « 7 » de 5,07 m représente 7 centièmes d’unité (7 centièmes de m soit 7 cm). Il sera possible de se baser sur cette compréhension pour qu’ils intègrent que 2,5 h est une autre écriture de 2h 30 min car le « 5 » de 2,5 h représente 5 dixièmes d’heure, donc 1 demi-heure (soit 30 min).

IV. Des situations pour introduire les décimaux 4. Quelques principes pour des situations plus pertinentes. Les écritures à virgule prennent du sens en étant mises en relation avec les sommes de fractions décimales. Exemple d’égalités qui peuvent être utilisées : = + = 95 + = 95 + 0,6 = 95,6 La compréhension de la signification des chiffres après la virgule se fait directement en référence à un partage égalitaire. Exemple un partage en dix parties égales d’une unité donnée : 956 10 950 6

IV. Des situations pour introduire les décimaux 4. Quelques principes pour des situations plus pertinentes. Il s’agit de faire comprendre que la valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du même chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du même chiffre immédiatement à sa droite. Cela est vrai aussi bien pour la partie entière (à gauche de la virgule) que pour la partie décimale (à droite de la virgule). 57,34 = = + + + = 50 + 7 + 0,3 + 0,04 Cette façon d’introduire les décimaux est vraiment adaptée pour expliquer les propriétés de l’ensemble ⅅ. 5734 100 5000 700 30 4

IV. Des situations pour introduire les décimaux 5. Un exemple de situation plus pertinente. Introduire les écritures à virgule de nombres décimaux Cette activité est empruntée à l’ouvrage Cap Maths pour le CM1 (éditions Hatier, 2003). Elle est proposée après que les élèves ont travaillé sur les fractions décimales et sur des décompositions du type . Au cours de cette activité, l’écriture à virgule est présentée directement et les élèves sont invités à en comprendre la signification, par association avec les décompositions sous forme de sommes de fractions décimales et en s’appuyant sur la représentation par des aires de surface. (Roland Charnay - site TFM - http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/aTFM.asp)

IV. Des situations pour introduire les décimaux 5. Un exemple de situation plus pertinente.

IV. Des situations pour introduire les décimaux 5. Un exemple de situation plus pertinente. 1) Décomposition en somme de fractions décimales Les élèves doivent d’abord, comme dans une séance précédente, construire des surfaces dont l’aire est donnée, sans utiliser plus de 9 surfaces de chacun des types précédents :

IV. Des situations pour introduire les décimaux 5. Un exemple de situation plus pertinente. 2) Recherche d’écritures  à virgule L’enseignant indique ensuite aux élèves qu’il y a environ 400 ans, les mathématiciens ont inventé une autre façon d’écrire ces fractions décimales, en utilisant une virgule. Il leur fournit deux exemples à propos des surfaces que les élèves viennent de réaliser : Puis, il précise la tâche : « Essayez de comprendre comment est fabriquée l’écriture à virgule des deux premières fractions. Cela doit vous servir pour trouver l’écriture à virgule des deux autres fractions et pour expliquer comment est fabriquée une écriture à virgule. Votre explication doit être rédigée par écrit. » () Renvoi aux activités présente dans ermel ,cap math par exemple

IV. Des situations pour introduire les décimaux 5. Un exemple de situation plus pertinente. La mise en commun est essentiellement destinée à mettre en évidence la signification de l’écriture décimale, le vocabulaire associé et la relation avec la représentation par les surfaces : Ces deux décompositions déterminent les deux lectures possibles des écritures décimales : - quatre unités, trois dixièmes et deux millièmes - quatre unités et trois cent deux millièmes. Dans le contexte d’apprentissage, la lecture quatre virgule trois cent deux est à éviter, dans la mesure où elle masque la signification de l’écriture. ()

IV. Des situations pour introduire les décimaux 5. Un exemple de situation plus pertinente. 3) Synthèse et tableau de numération Une affiche peut être réalisée avec les quatre fractions étudiées. Elle est conçue pour mette en relation chaque écriture à virgule, les deux décompositions qui lui sont associées, la représentation par une surface et les deux lectures possibles. Elle servira de référence aux élèves. Sur cette affiche, un tableau du type suivant peut également servir de référence pour chercher à comprendre une écriture à virgule (le tableau est donné et les élèves sont invités à y écrire les nombres travaillés) : Importance de la présence d’un affichage référent sur lequel l’enseigant et les élèves pourront s’appuyer fréquemment. Voir fiche numération

. Les progressions dans les programmes 2008 L’étude des fractions simples Le cas des fractions décimales L’importance d’une progression Les nombres décimaux

L’observation en classe Compétences/ Ce que l’élève doit savoir Ce que l’enseignant doit connaître Ce que le formateur observe et peut conseiller Comprendre qu’un nombre décimal est une forme d’écriture fractionnaire La progression conseillée Fractions (dont simples) Fractions décimales Nombres décimaux (écriture à virgule) Orienter vers la démarche qui favorise le concept de nombre décimal Eviter les exemples non-judicieux (monnaie, mesure) Vérifier que le manuel utilisé tient compte de cette progression Préciser les points théoriques les cas échéants (voir fiches) Lecture des nombres décimaux Lire un nombre décimal Valeur positionnelle des chiffres Faire la différence entre d’un nombre à virgule et d’un nombre décimal Fonctionnement du tableau de numération Inciter à une lecture mettant en avant la partie entière et la partie décimale. « 6,12 » se lit « 6 entiers et 12 centièmes ». Dans le contexte d’apprentissage, la lecture «6 virgule douze» est à éviter, dans la mesure où elle masque la signification de l’écriture. Présence du tableau de numération (affichage et cahier de leçons) Ordre et rangement des décimaux Ranger, ordonner les décimaux Les problèmes d’intercalation n’ont pas le même type de solution dans les naturels ou les décimaux : entre deux naturels il y a un nombre fini de naturels entre deux décimaux, il y a une infinité de décimaux Proposer des situations ou les nombres décimaux sont abordés du point de vue de la densité des décimaux. L’idée qu’un « successeur » d’un décimal n’a pas de sens. Comparaison Comparer les décimaux Les règles de comparaison des décimaux sont différentes de celles des nombres naturels. Du côté de l’apprentissage insister sur le fait que ce qui a été appris au C2 en matière de comparaison et d’ordre sur les entiers naturels est différent pour les décimaux et qu’il est difficile d’empêcher les élèves de traiter les décimaux comme les entiers. Aborder l’apprentissage en prenant en compte explicitement les différences fondamentales. Opérations sur les décimaux Conception erronées de l’écriture à virgule Elle est traitée comme un couple d’entiers sur lesquels il s’agit d’opérer séparément. Connaître les opérations, les effectuer, éclaircir les connaissances Multiple les différents exercices en puisant dans les banques d’exercices des manuels Liaison entre division euclidienne et division à résultat décimal dans le cas des entiers. Adapter chacune des opérations (Celles qui sont maîtrisées comme celles qui sont encore en cours doivent être reprises et adaptées aux nouveaux nombres) Gérer et justifier la place de la virgule. Traiter le cas où les parties décimales n’ont pas la même « longueur» Installer puis entraîner l’algorithme de la multiplication d’un décimal par un entier. Commentaires et ajouts