Mathématiques Mise à niveau L3 SPI AGE julien.marot@fresnel.fr

Mathématiques Déroulé du cours I Arithmétique et théorie des ensembles II Bases de calcul matriciel A Définitions B Matrices particulières et opérations de base TD III Notion de rang A Définition B Application ‘drapeaux’ TD sur ordi C Intérêts applicatifs IV Décompositions A Décomposition en matrices de rang 1: formes canonique et matricielle B Décomposition en valeurs singulières C Décomposition en éléments propres TD sur ordi   Mathématiques Déroulé du cours 3

Distances, échelle Log

I Arithmétique et théorie des ensembles Valeur réelle A l’échelle Diamètre Soleil 1. 10^6 km distance S-Mercure 50. 10^6 km distance S-T 150. 10^6 km 1 U.A. S-Jupiter 5 U.A. S-Saturne 10 U.A. S-Uranus 20 U.A S-Neptune 30 U.A. S-Pluton 40 U.A

Valeur réelle A l’échelle Diamètre VY Canis 1. 10^9 km 1 année lumière (L.Y.) 10 000. 10^9 km distance S-Proxima Centaure 4 L.Y. Diamètre Galaxie 100 000 L.Y. Distance S- Galaxie Andomède 3.10^6 L.Y.

Valeur réelle A l’échelle Diamètre Soleil 1. 10^6 km 1 mm distance S-Mercure 50. 10^6 km 50 mm distance S-T 150. 10^6 km 1 U.A. 150 mm S-Jupiter 5 U.A. 750 mm S-Saturne 10 U.A. 1500 mm S-Uranus 20 U.A 3000 mm S-Neptune 30 U.A. 4500 mm S-Pluton 40 U.A 6000 mm

Valeur réelle A l’échelle Diamètre VY Canis 1. 10^9 km 1 m 1 année lumière (L.Y.) 10 000. 10^9 km 10 km distance S-Proxima Centaure 4 L.Y. 40 km Diamètre Galaxie 100 000 L.Y. 10^6 km =Diamètre S ou 3 * dist T-Lune Distance S- Galaxie Andomède 3.10^6 L.Y. 30. 10^6 km

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Nombre de planètes ou étoiles dans ?? Distances dans ??

Etoiles R Doradus < Betelgeuse < VY Canis Majoris Orbites Jupiter < Saturne < Uranus < Neptune < Pluton < Ceinture de Kuiper

Fonctions périodiques

Fonctions périodiques Fonctions périodiques: la position des planètes autour du soleil Terre: Sa position autour du soleil reprend la même valeur tous les ans -> période 1 an

II Bases de calcul matriciel A Définition Définition: Une matrice de dimension n x p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes. Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice.

TD ! II Bases de calcul matriciel B Matrices particulières et opérations de base Un vecteur est une matrice de taille n x 1. Une matrice carrée est une matrice de taille n x n Exemple: application linéaire M de R2 dans R2 TD !

Définition: Le rang d'une matrice A est: III Notion de rang A Définition Définition: Le rang d'une matrice A est: -le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants; -le nombre minimal de matrices de rang 1 qui, par somme, donnent A.

Drapeaux Français et Allemand: matrices de rang ?? III Notion de rang B Exemple des drapeaux Drapeaux Français et Allemand: matrices de rang ??

III Notion de rang C Intérêts applicatifs Etudes statistiques

Comment décomposer adéquatement une matrice ? III Notion de rang C Intérêts applicatifs Débruitage d’images Problématique: Comment décomposer adéquatement une matrice ?

IV Décompositions A Décomposition en matrices de rang 1 Définition: Une matrice de rang r est égale à la somme de r matrices de rang 1. = + 2 * Rang 2 Rang 1 Rang 1

Définition: la SVD d’une matrice M: Forme canonique IV Décompositions B Décomposition en valeurs singulières Définition: la SVD d’une matrice M: Forme canonique M= s1 u1 v1’ + s2 u2 v2’ + … + sr ur vr’ Forme matricielle M= U S V’ U et V: matrices unitaires S est une matrice diagonale. ()’ dénote transpose.

Illustration: Intérêt pour les statistiques IV Décompositions B Décomposition en valeurs singulières Illustration: Intérêt pour les statistiques Largeur (W) et hauteur (L) de visages humains u1 et u2: tendances ou « directions de plus grande variation » de l’étude Obtenus par svd

Illustration: Intérêt pour la compression d’images IV Décompositions B Décomposition en valeurs singulières Illustration: Intérêt pour la compression d’images Image brute Approximation de rang croissant: 1,2, … 128 termes pour la décomposition Par Sharayanan — Self-made, from Image:Antinous

TD sur ordi ! IV Décompositions B Décomposition en valeurs singulières Illustration: Intérêt pour le débruitage d’images Image brute Premier terme de la décomposition TD sur ordi !

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