Maggy Schneider Université de Liège Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) Maggy Schneider Université de Liège

Anthropologique ? S’inscrit dans un projet de modélisation des « pratiques humaines » : pratiques mathématiques ou actions humaines de nature didactique Accentue la posture non prescriptive de la TSD en cherchant à « briser l’illusion de naturalité des choix didactiques » mais parti-pris plus récent contre un enseignement « monumentaliste » des mathématiques Postule, comme la TSD, que « le mystère est dans les mathématiques », d’où le questionnement de celles-ci qui doivent être considérées comme « non transparentes »

Anthropologique ? Approche systémique qui prend en compte le triangle didactique « complet » : savoir, élève, professeur. « La singularité originaire de la didactique consiste à prendre comme objet premier à étudier […] non pas le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir mathématique qu’ils sont censés étudier ensemble » (M. Bosch et Y. Chevallard) D’où l’importance du concept de situation fondamentale qui modélise le savoir mathématique visé à travers ses « vraies raisons d’être »

La TAD : un cadre pour penser les aspects institutionnels de la TSD Situations didactiques : caractère fondamental éventuel caractère adidactique éventuel (milieu adidactique pour permettre la dévolution)

La relativité institutionnelle du caractère fondamental Caractère fondamental d’une situation : le savoir visé est une réponse optimale à la question posée. Dans la TAD, on parle des « vraies raisons d’être » des savoirs Postulat de la TSD : « Il existe pour tout savoir une famille se situations susceptibles de lui donner un sens correct»(G. Brousseau)

La relativité institutionnelle du caractère fondamental « Ce sens [ du savoir ] est correct par rapport à l’histoire de ce concept, par rapport au contexte social, par rapport à la communauté scientifique » (G. Brousseau) La réponse donnée à une question est relative à une « institution » (Y. Chevallard). Le savoir n’est pas absolu : il existe différents rapports institutionnels au même savoir qui transparais-sent à travers des pratiques diverses

Rapport institutionnel au savoir On ne s’autorise pas dans toutes les institutions des résolutions graphiques d’équations ou des calculs tels que :

Transposition et écologie Les pratiques mathématiques, les organisations praxéologiques sont propres aux institutions En particulier les institutions « scolaires » se démarquent des institutions savantes, d’où le concept de transposition didactique et les phénomènes associés gouvernés par l’écologie des savoirs La transposition est à penser à un niveau global (plus qu’un « apprêt didactique »

Rapport institutionnel au savoir D’où l’intérêt de se polariser autant sur les techniques utilisées et les discours qui les justifient que sur les concepts Et donc, de modéliser l’activité mathématique en termes de praxéologies

Rapport personnel au savoir Enseigner = acculturer les élèves à une institution = rendre leur rapport personnel au savoir conforme au rapport institutionnel (exemple de la géométrie au DI) Dans toutes les dimensions de l’activité mathématique modélisée en termes de praxéologies …

Modélisation de l’activité mathématique en termes de praxéologies Tâches ou types de tâches Techniques qui rendent les tâches faciles à faire Technologies : discours technologique qui légitime l’usage de la technique eu égard au type de tâches concerné, rend la technique intelligible et explore son champ d’opérationnalité Théories : fédèrent des technologies en un tout organisé MAIS il existe deux NIVEAUX PRAXEOLOGIQUES (autre ppt)

Exemple des équations du second degré Une technique « exotique » pour résoudre X2 + 10x = 39 Diviser 10 par 4 : 2,5 Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,52 x 4 = 25 Ajouter 39 : 25 + 39 = 64 Prendre la racine de 64 : √64 = 8 Retrancher 2 fois 2,5 : 8 - 2 x 2,5 = 3

Exemple des équations du second degré : recherche d’une intelligibilité de la méthode

Exemple des équations du second degré Intérêt de l’étude préalable de certaines équations du second degré qui ont une « bonne forme » Nécessité d’un discours qui montre que le but est de « ramener » d’autres équations à cette « bonne forme » D’où l’intelligibilité des manipulations algébriques faites pour démontrer les formules de résolution d’une équation générale du second degré

Rôle du discours technologique Justifier l’efficacité de la technique eu égard à la tâche visée Rendre la technique intelligible ce qui est indispensable si l’on veut savoir dans quelles conditions l’utiliser et savoir l’adapter le cas échéant (connaissances conditionnelles de J. Tardif)

La dynamique des praxéologies Tâches complexes a priori, rendues routinières par la technique en payant le prix de la théorie (ou du discours technologique); d’où une économie de pensée Le discours technologique ou la théorie permettent de cerner le champ d’efficacité de la technique

Des praxéologies aux ostensifs La « courbe du maçon » est-elle une parabole ?

Des praxéologies aux ostensifs Deux systèmes de points modélisés par un même ostensif algébrique : Courbe du maçon modélisé par deux ensembles paramétrés d’équations : x = m et y = mx et donc par l’équation y = x2 Modèle algébrique des paraboles d’axe Oy et de sommet (0,0) : y = ax2; directrice y = - a/4 et foyer (a/4,0)

La dynamique des praxéologies liée à l’instrumentalité des ostensifs Ostensifs : tout ce qui s’appréhende par les sens (notations, mots, gestes, …) Non - ostensifs : idées, concepts, … associés aux ostensifs

Rôle des ostensifs dans l’activité mathématique Exemple des multiples notations associées au concept de fonction :

Rôle des ostensifs dans l’activité mathématique Difficultés associées à la notation « f(x) » Valence sémiotique des ostensifs : pouvoir d’évoquer, en certaines institutions, les non-ostensifs associés

Rôle des ostensifs dans l’activité mathématique Valence instrumentale de la notation « équation » : Valence instrumentale des ostensifs : ce sont des instruments qui facilitent la mise en œuvre de techniques pour réaliser des tâches

Attention à l’illusion de « transparence » … … de certains ostensifs due à une « illusion de naturalité » L’exemple de y = ax ;-)

Situations didactiques : De la dévolution des situations adidactiques à celle de l’apprentissage Situations didactiques : caractère fondamental éventuel caractère adidactique éventuel (milieu adidactique pour permettre la dévolution)

Dévolution et école comme institution d’aide à l’étude Ecole : lieu de « retrait » du monde où l’on étudie des questions et les réponses que la société y a apporté (= les « savoirs »). On est dans un processus de transmission de savoirs Importance du temps d’étude au sein de l’école

Paradoxe de la dévolution « Le professeur a l’obligation sociale d’enseigner tout ce qui est nécessaire à propos du savoir. L’élève - surtout lorsqu’il est en échec - le lui demande. Ainsi donc, plus le professeur cède à ces demandes et dévoile ce qu’il désire, plus il dit précisément à l’élève ce qu’il doit faire, plus il risque de perdre ses chances d’obtenir et de constater objectivement l’apprentissage qu’il doit viser en réalité » (G. Brousseau) Limites de certains dispositifs d’aide individualisée, fiches méthodologiques, …

Modélisation de l’étude par les « moments » Première rencontre avec le savoir Institutionnalisation Exploration du type de tâches Elaboration d’une technique Elaboration du bloc technologico-théorique Travail de la technique Evaluation

Adidacticité multiple La première rencontre avec le savoir se diversifie : soit des situations adidactiques, soit une ‘rencontre culturelle-mimétique’ : « expliquer discursivement les raisons d’être de l’organisation mathématique rencontrée, c’est-à-dire les motifs pour lesquels, du moins, elle continue à vivre dans la culture mathématique contemporaine » (Chevallard) Importance du discours de style heuristique (Lakatos) La dévolution s’envisage aussi à d’autres moments : exploration de la technique, « étude » des exercices au delà d’une ritualisation procédurale

Un contexte didactique pour la dévolution Rentabiliser l’investissement des élèves en redorant le blason des techniques comme économie d’action et de pensée Favoriser le transfert (le choix de technique appropriée) par un discours métacognitif polarisé sur le savoir, qui valide et rend intelligible les techniques au delà de la conformité aux « règles » : voir ppt « Compétences et problèmes », « Problèmes d’optimisation »

En résumé La TAD comme outil d’analyse de programmes scolaires, de manuels, de cours donnés y compris lors de stages