Calcul d’aires planes Aire = ?
Rappel de l’intégrale de Riemann Détermination d’une grandeur ou d’une quantité Q Certaines grandeurs ou quantités ne peuvent pas être calculés globalement par des formules usuelles. Ces grandeurs ou quantités peuvent être l’aire d’une région plane, le volume d’un solide, la longueur d’une courbe, le travail effectué par une force variable, … Nous découpons alors la quantité Q à évaluer en n petites quantités élémentaires ΔQi que nous sommes capables d’évaluer par une expression de la forme ΔQi=f(ci)·Δx où f est une fonction continue sur un intervalle fermé. Pour obtenir la quantité Q, nous calculons la limite de la sommation des ΔQi lorsque n tend vers l’infini. Nous obtenons une limite de sommes de Riemann que nous pouvons évaluer par le théorème fondamental.
Rappel du calcul d’une aire géométrique b Lorsque f (x) est positive Lorsque f (x) est négative Lorsque f (x) est quelconque A2 a b A1 A2 a c b
Exemple Calculons l’aire de la région comprise entre la courbe f(x) = x3-x2-6x et l’axe des x points d’intersection avec l’axe des x: f(-1) = 4 >0 et f(1) = -6 < 0, on doit donc calculer
Généralisation Au lieu de l’aire sous une courbe, on peut s’intéresser à l’aire de la surface comprise entre deux courbes x y f (x) g(x) Deux façons de procéder sont alors possibles selon le découpage choisi
Calculs d’aire avec des rectangles verticaux Aire du rectangle d’approximation aire = (hauteur)(base) y Rectangle représentatif f (ci) f (x) hauteur Valeur exacte de l’aire totale entre les deux courbes g(x) g(ci) ci Δxk a b x
Exemple f (x) = x et g(x) = 2 x2 Calculer l’aire de la région fermée comprise entre les courbes f (x) = x et g(x) = 2 x2 Les bornes d’intégration correspondent aux points d’intersection des deux courbes x g f
Calculs d’aires avec rectangles horizontaux Aire du rectangle d’approximation aire = (hauteur)(base) hauteur f (ci) g(ci) ci a b x2= f (y) x1= g(y) x y Δy Valeur exacte de l’aire totale entre les deux courbes
Exemple Calculer l’aire de la région du premier quadrant comprise entre les courbes On a x1(y) = y2 et x2(y)= y + 2 y