Atelier Les Conjectures Mathématique au secondaire Journée pédagogique commission 5 novembre 2010 Atelier Les Conjectures Cette présentation illustre les nouvelles fonctionnalités de PowerPoint, qui sont optimisées pour un affichage sous forme de diaporama. Ces diapositives visent à vous donner des idées pour créer des présentations captivantes dans PowerPoint 2010. Pour obtenir d’autres exemples de modèles, cliquez sur l’onglet Fichier puis, dans l’onglet Nouveau, cliquez sur Exemples de modèles. Lucie Morasse, conseillère pédagogique

Discutons-en…! ? Êtes-vous à l’aise avec les conjectures? Qu’est-ce que vous en connaissez? À quelle fréquence vous les abordez? Comment les enseignez-vous en classe? Y a-t-il des champs mathématiques où vous abordez davantage les conjectures?

Que souhaitez-vous retirer de l’atelier d’aujourd’hui? .

Horaire de l’atelier AM: Secondaires 1, 2 et 3 PM: Secondaires 4 et 5 Présentations et mot de bienvenue Partie théorique et exemplification Questions de conjectures dans les SAÉ Pause Où trouver le matériel? Cadres d’évaluation: quand? Document sur la « Progression des apprentissages » Régulation des épreuves de juin 2010 Évaluation de la rencontre

1 2 3 Déployer un raisonnement mathématique – CD2 C’est quoi? Comment? En pratique! Les conjectures dans les situations d’application

1 C’est quoi? Mathématique au secondaire

Définition selon le PFEQ Énoncé que l’on pense vrai; Relations, énoncés, opinions, conclusions, etc., implicites ou explicites, qui nécessitent d’être découvertes, expliquées, généralisées, prouvées ou réfutées à l’aide de savoirs mathématiques.

Émettre des conjectures Analyser les conditions d’une situation Organiser des éléments choisis du niveau de concepts et processus relatifs à la situation S’approprier ou énoncer des conjectures adaptées à la situation Juger la pertinence de conjectures émises et retenir les meilleures, au besoin Composante de la compétence à travailler dans la CD2. C’est l’élément à renforcer auprès des élèves en 2010-2011. La composante est au programme et elle est là pour y rester.

Que font-ils au primaire? Formuler une conjecture n’est pas un critère d’évaluation Cr.1: Analyse adéquate d’une situation d’application Cr.2: Choix des concepts et des processus Cr.3: Application adéquate des processus retenus Cr.4: Justification correcte d’actions ou d’énoncés En CD2, les élèves travaillent seulement des situations de validation et d’action

Au premier cycle du secondaire, PFEQ mentionne: Que l’élève valide une conjecture en recourant à des raisonnements généraux tels le raisonnement par induction, par déduction, par analogie et à des raisonnements plus spécifiques liés aux champs mathématiques.

Quels sont ces champs? Les proportions L’algèbre La géométrie L’arithmétique Les probabilités et les statistiques

Quels sont les types de raisonnement? Inductif: Il amène l’élève à généraliser à partir de l’observation de cas particuliers. Déductif: Il amène l’élève à tirer une conclusion à partir d’énoncés considérés comme vrais. Il englobe le raisonnement par l’absurde et la disjonction de cas. Analogique: Il amène l’élève à percevoir des similitudes entre divers objets mathématiques.

L’élève peut aussi… Recourir au raisonnement par réfutation à l’aide d’un contre-exemple qui consiste à invalider une conjecture émise sans statuer sur ce qui est vrai.

DÉPLOYER UN RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE conduit à une nécéssite une propose ou implique l'émission d'une SITUATION D'APPLICATION Raisonnements généraux spécifiques Réseaux de concepts et de processus mathématiques Raisonnement inductif Raisonnement déductif Raisonnement par analogie Raisonnement à l'aide d'un contre- exemple Raisonnement par disjonction de cas Raisonnement par l'absurde arithmétique algébrique géométrique proportionnel probabiliste statistique Validation Modes de représentation verbal numérique tabulaire symbolique graphique Conjecture Preuve pragmatique intellectuelle Conclusion DÉPLOYER UN RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE directe indirecte T (Roy, 2006)

2 Comment? Mathématique au secondaire

1 2 3 Les 3 niveaux de conjectures La conjecture est émise et on doit la démontrer. La conjecture émise n’est pas complète et on doit la compléter. Tout est à découvrir et on doit formuler une conjecture. 3

Comment reconnaître les tâches de conjecture? Les 3 niveaux Comment reconnaître les tâches de conjecture?

La conjecture est déjà émise et on demande de la démontrer « Dans un prisme, la somme du nombre de sommets et du nombre de faces est supérieure de 2 au nombre d'arêtes ». Démontre, à l’aide d’exemples, que cette conjecture est vraie.

Dans le processus de validation de cette conjecture, supposons que l'élève s'appuie sur plusieurs exemples pour tirer sa conclusion. Il émettra la conjecture (énoncé, affirmation) voulant que cette relation est vraie pour tel prisme, vraie aussi pour l'autre, etc., donc vraie pour l'ensemble des prismes. Ces affirmations (conjectures) peuvent apparaître au fur et à mesure de la démarche ou être groupées dans la conclusion. L'élève devra donc émettre d'autres conjectures et s'appuyer sur elles pour étaler son raisonnement. Cependant les traces seront-elles disponibles? Il faut habituer l'élève à laisser des traces de sa démarche.

La conjecture émise n’est pas complète et on demande de la compléter Il existe un type de solides pour lequel la somme du nombre de sommets et du nombre de faces est supérieure de 2 au nombre d'arêtes. Complète cette conjecture.

La conclusion (ou la démarche) devrait amener l'élève à reformuler une nouvelle conjecture en la précisant (identifier les solides en question). Ici le type de solides pour lequel la conjecture est vraie est à explorer. L’élève aura à énoncer les conditions (type de solides) qui font que la conjecture est vraie. Dans sa démarche, l’élève cherche des conjectures intermédiaires; il peut chercher à établir la relation entre le nombre de faces jointes et le nombre d'arêtes engendrées, entre le nombre de faces et le nombre de sommets, etc. Parfois il ne les formulera pas car il n'aboutira pas (il les a réfutées en chemin). Lorsqu'il cherche une relation intermédiaire, il conjecture sur son existence possible. La plupart des conjectures restent implicites. Il faut quand même réussir à en faire expliciter quelques-unes si on veut observer la pensée.

Tout est à découvrir, la conjecture émise n’est pas complète (niveau de complexité plus grand) et on demande de formuler la conjecture Formule une conjecture décrivant la relation qui existe entre le nombre de sommets, le nombre de faces et le nombre d'arêtes d'un solide.

L'élève doit explorer les types de solides, noter les données correspondant aux variables mentionnées, dégager les solides qui montrent une régularité dans les données, les regrouper et établir la relation. Finalement, il doit s'assurer par la suite qu'elle est valable pour tout prisme et reformuler la conjecture en tenant compte de ses découvertes et des façons de considérer tous les aspects de la situation. C’est impossible à établir pour la sphère, possible pour le prisme droit; pas possible pour le cône, la boule et le cylindre, etc.

3 En pratique! Situations de conjectures des épreuves du MELS 25

Document de travail Recueil de situations de conjectures dans les différents niveaux tirés d’exemples et d’épreuves prototypes du MELS.

La CD2 et les situations d’application Pour conclure ! Sont-elles plus claires pour vous? Vous sentez-vous mieux outillés pour les aborder dans votre enseignement? Est-ce que vous allez modifier votre façon de les enseigner ? Aimeriez-vous approfondir certains aspects de cet atelier éventuellement? Les conjectures

Informations importantes Dépôt du cadre d’évaluation par le MELS: 29 octobre Évaluations de juin 2011: sec. 4 et 5 auront des CD1 et des CD2 (prototype ou appoint) sec. 1 à 3: CD1, CD2 et CD3 (épreuves communes) Document sur la « Progression des apprentissages » Banque de SAÉ du GRMS Informations en maths: www.recitmst.qc.ca/mat2tic Formations sur l’évaluation: après les fêtes (février-mars)

Sources d’informations Littérature du MELS: PFEQ Adapté du document « Questions et réponses sur le contenu de formation » Épreuves prototypes Épreuves d’appoint Comité d’écriture des échelles de niveaux de compétences en mathématique, MELS, 2006, créé par Patrick Roy, collaborateur Adaptation: Document de Karine Roy, conseillère pédagogique à la C.S. Côte-du-Sud, 2009 29

Évaluation de la rencontre Quel message voulez-vous diffuser ?