Caractérisation vectorielle du centre de gravité d’un triangle
Soit G le centre de gravité du triangle ABC On veut démontrer que : C B A B’ G C’ A’ (Voir avec Géoplan2)
On trace le symétrique D de G par rapport à A’. B’ A’ C’ C B A G D On trace le symétrique D de G par rapport à A’. On peut démontrer que le quadriletère GCDB est un parallélogramme. Pour les vecteurs, cela signifie que : De plus, G est le milieu de [AD], donc :
Démontrons que GCDB est un parallélogramme : On sait que D est le symétrique de G par rapport à A’ donc A’ est le milieu de [GD]. D’autre part, on sait que A’ est le milieu de [CB]. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Ainsi GCDB est un parallélogramme. Retour
On trace le symétrique D de G par rapport à A’. B’ A’ C’ C B A G D On trace le symétrique D de G par rapport à A’. On peut démontrer que le quadriletère GCDB est un parallélogramme. Pour les vecteurs, cela signifie que : De plus, G est le milieu de [AD], donc :
On sait que et que donc on obtient : Mais qu’en est-il de la réciproque ?
Réciproquement, si un point T vérifie Utilisons la relation de Chasles pour exprimer le vecteur TG : 0 car G est le centre de gravité ! D'où T = G Ansi, si un point T vérifie Alors T est le centre de gravité du triangle ABC.
Introduisons A’ milieu de [BC] : Retrouvons la position du centre de gravité à l'aide d'un calcul vectoriel Introduisons A’ milieu de [BC] : B’ A’ C’ C B A G Le centre de gravité du triangle est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet.
Conclusion B’ A’ C’ C B A G 1) Si G est le centre de gravité du triangle ABC, alors : 2) Réciproquement, si un point vérifie Alors, c’est le centre de gravité du triangle ABC. 3) G est situé au deux tiers de la médiane en partant du sommet. Ce qui peut s’écrire :