III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f :

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation …

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation vraie pour les coordonnées de tous les points de la courbe.

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation vraie pour les coordonnées de tous les points de la courbe. Il faut donc un point M qui …

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation vraie pour les coordonnées de tous les points de la courbe. Il faut donc un point M qui représente tous les points de la tangente.

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation vraie pour les coordonnées de tous les points de la courbe. Il faut donc un point M qui représente tous les points de la tangente. Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente, donc représentatif de tous les points de la tangente. coeff. directeur de la tangente = … A M

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation vraie pour les coordonnées de tous les points de la courbe. Il faut donc un point M qui représente tous les points de la tangente. Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente, donc représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA … coeff. directeur de la tangente = ... = xM – xA … A M a

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation vraie pour les coordonnées de tous les points de la courbe. Il faut donc un point M qui représente tous les points de la tangente. Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente, donc représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA y – f(a) coeff. directeur de la tangente = f ‘(a) = xM – xA x – a … A M

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation vraie pour les coordonnées de tous les points de la courbe. Il faut donc un point M qui représente tous les points de la tangente. Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente, donc représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA y – f(a) coeff. directeur de la tangente = f ‘(a) = xM – xA x – a f ‘(a) (x – a) = y – f(a) A M y = …

III Equations de tangentes 1°) Tangente en un point A de la courbe de f : L’équation d’une courbe est une relation vraie pour les coordonnées de tous les points de la courbe. Il faut donc un point M qui représente tous les points de la tangente. Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente, donc représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA y – f(a) coeff. directeur de la tangente = f ‘(a) = xM – xA x – a f ‘(a) (x – a) = y – f(a) A M y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a)

Exercice 4 : Soient la fonction f définie sur R – {-2} par f(x) = - 1 / (x + 2) et la fonction g définie sur R par g(x) = x² + 3x + 1 1°) Déterminez les formes des courbes. 2°) Démontrez que x3 + 5x² + 7x + 3 = (x + 1)² (x + 3) et déterminez les positions respectives des courbes. 3°) Déterminez en leurs points d’intersections les équations des tangentes. Que remarquez-vous ? 4°) Déduisez-en le tracé des formes des courbes sur le même graphe.

f(x) = - 1 / (x + 2) et g(x) = x² + 3x + 1 1°) Déterminez les formes des courbes. Connaissances de 2nd : f(x) = (0x + (-1))/(1x+2) donc f est une fonction homographique (ax+b)/(cx+d), donc sa courbe est une hyperbole. Ses axes sont les droites d’équations x = - d/c = - 2 et y = a/c = 0. f(0) = - ½ nous donne ses sens de variations.

f(x) = - 1 / (x + 2) et g(x) = x² + 3x + 1 1°) Déterminez les formes des courbes. Connaissances de 2nd : f(x) = (0x + (-1))/(1x+2) donc f est une fonction homographique (ax+b)/(cx+d), donc sa courbe est une hyperbole. Ses axes sont les droites d’équations x = - d/c = - 2 et y = a/c = 0. f(0) = - ½ nous donne ses sens de variations.

f(x) = - 1 / (x + 2) et g(x) = x² + 3x + 1 1°) Déterminez les formes des courbes. 0x + (-1) ax+b Connaissances de 2nd : f(x) = = 1x+2 cx+d donc f est une fonction homographique , donc sa courbe est une hyperbole. Ses axes sont les droites d’équations x = - d/c = - 2 et y = a/c = 0. f(0) = - ½ nous donne ses sens de variations. Connaissances de 1e : f ‘(x) = (u/v)’ = (u’v – v’u) / v² = (0(x+2)-1(-1)) / (x+2)² = 1 / (x+2)² donc f ‘(x) > 0 donc f croissante sur Df x - ∞ - 2 + ∞ f ‘(x) + + f(x)

f(x) = - 1 / (x + 2) et g(x) = x² + 3x + 1 1°) Déterminez les formes des courbes. Connaissances de 2nd : g(x) = ax² + bx + c donc g est une fonction polynôme degré 2 donc sa courbe est une parabole. Elle est orientée vers le haut car a = 1 > 0. Son axe de symétrie est la droite d’équation x = - b/(2a) = - 3/2. f(- 3/2) = - 5/4 donc le sommet est en ( - 1,5 ; - 1,25 ). f(0) = 1 renseigne sur les signes des abscisses des points d’intersections avec l’axe x.

f(x) = - 1 / (x + 2) et g(x) = x² + 3x + 1 1°) Déterminez les formes des courbes. Connaissances de 2nd : g(x) = ax² + bx + c donc g est une fonction polynôme degré 2 donc sa courbe est une parabole. Elle est orientée vers le haut car a = 1 > 0. Son axe de symétrie est la droite d’équation x = - b/(2a) = - 3/2. f(- 3/2) = - 5/4 donc le sommet est en ( - 1,5 ; - 1,25 ). f(0) = 1 renseigne sur les signes des abscisses des points d’intersections avec l’axe x. Connaissances de 1e : g ‘(x) = 2x + 3 donc g ‘(x) < 0 sur ] - ∞ ; – 3/2 [ = J donc g str. décroissante sur J. x - ∞ - 3/2 + ∞ f ‘(x) + + f(x)

(x + 1)² (x + 3) = (x² + 2x + 1) (x + 3) = x3 + 2x² + x + 3x² + 6x + 3 2°) Démontrez que x3 + 5x² + 7x + 3 = (x + 1)² (x + 3) et déterminez les positions respectives des courbes. (x + 1)² (x + 3) = (x² + 2x + 1) (x + 3) = x3 + 2x² + x + 3x² + 6x + 3 = x3 + 5x² + 7x + 3 Il fallait partir de la droite pour arriver à la gauche car il est toujours plus simple de développer que de factoriser !

f(x) – g(x) =

- 1 f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = x + 2

- 1 - 1 (x² + 3x + 1) (x+2) f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2

- 1 - 1 (x² + 3x + 1) (x+2) f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2 - 1 - (x² + 3x + 1) (x+2) = = x + 2

- 1 - 1 (x² + 3x + 1) (x+2) f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2 - 1 - (x² + 3x + 1) (x+2) - 1 - ( x3 + 3x² + x + 2x² + 6x + 2) = = x + 2 x + 2

- 1 - 1 (x² + 3x + 1) (x+2) f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2 - 1 - (x² + 3x + 1) (x+2) - 1 - x3 - 5x² - 7x - 2 = = x + 2 x + 2

- 1 - 1 (x² + 3x + 1) (x+2) f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2 - 1 - (x² + 3x + 1) (x+2) - x3 - 5x² - 7x - 3 = = x + 2 x + 2

- 1 - 1 (x² + 3x + 1) (x+2) f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2 - 1 - (x² + 3x + 1) (x+2) - [ x3 + 5x² + 7x + 3 ] = = = x + 2 x + 2

- 1 - 1 (x² + 3x + 1) (x+2) f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2 - 1 - (x² + 3x + 1) (x+2) - [ x3 + 5x² + 7x + 3 ] - (x + 1)² (x + 3) = = = x + 2 x + 2 x + 2

- 1 - 1 (x² + 3x + 1) (x+2) f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2 - 1 - (x² + 3x + 1) (x+2) - [ x3 + 5x² + 7x + 3 ] - (x + 1)² (x + 3) = = = x + 2 x + 2 x + 2 x - ∞ - 3 - 2 - 1 + ∞ - ( x + 1 )² - - - 0 - x + 3 - 0 + + + x + 2 - - + + f(x) - g(x) - 0 + - 0 -

f(x) – g(x) = - [ x² + 3x + 1 ] = - x + 2 x + 2 x + 2 - 1 - (x² + 3x + 1) (x+2) - [ x3 + 5x² + 7x + 3 ] - (x + 1)² (x + 3) = = = x + 2 x + 2 x + 2 Cg x - ∞ - 3 - 2 - 1 + ∞ - ( x + 1 )² - - - 0 - x + 3 - 0 + + + x + 2 - - + + f(x) - g(x) - 0 + - 0 - Cf … en-dessous croise au-dessus en-dessous croise en-dessous

3°) Déterminez en leurs points d’intersections les équations des tangentes. Que remarquez-vous ? Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente, donc représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA y – f(a) coefficient directeur de la tangente = f ‘(a) = xM – xA x – a y = [ f ‘(a) ]x + [ f(a) – a f ‘(a) ] Tangente à f en – 3 : y = [ f ‘(- 3) ]x + [ f(- 3) – (- 3) f ‘(- 3) ] = [ 1 ]x + [ 1 – (- 3)1 ] = x + 4 Tangente à g en – 3 : y = [ g ‘(- 3) ]x + [ g(- 3) – (- 3) g ‘(- 3) ] = [ - 1 ]x + [ 1 – (- 3)(- 1) ] = - x – 2 f ‘(-3) ≠ g ‘(-3) donc les tangentes en – 3 sont non parallèles.

= [ 1 ]x + [ (- 1) – (- 1)1 ] = x Tangente à f en - 1 : 3°) Déterminez en leurs points d’intersections les équations des tangentes. Que remarquez-vous ? Tangente à f en - 1 : y = [ f ‘(- 1) ]x + [ f(- 1) – (- 1) f ‘(- 1) ] = [ 1 ]x + [ (- 1) – (- 1)1 ] = x Tangente à g en - 1 : y = [ g ‘(- 1) ]x + [ g(- 1) – (- 1) g ‘(- 1) ] f ‘(-1) = g ‘(-1) donc les tangentes en – 1 sont parallèles confondues. On pourrait dire que en – 1 une courbe est comme une « tangente non linéaire » de l’autre courbe.

4°) Déduisez-en le tracé des formes des courbes sur le même graphe. -3 -2 -1

Exo 4 bis : Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x² - 11x + 7 et la droite d d’équation 2y + 6x – 8 = 0 En quel point A de la courbe de f la tangente T est parallèle à la droite d ? Quelle est l’équation de cette tangente ?

Exo 4 bis : 2y + 6x – 8 = 0 2y = - 6x + 8 y = - 3x + 4 donc la droite d a pour coefficient directeur - 3 T et d sont parallèles donc ont le même coefficient directeur : f ‘(a) = - 3 f(x) = x² - 11x + 7 donc f ‘(x) = 2x – 11 donc 2a – 11 = - 3 2a = 8 a = 4 Réponse : la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse 4 est parallèle à la droite d.

Quelle est l’équation de cette tangente ? Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente, donc représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA y – f(a) coefficient directeur de la tangente = f ‘(a) = xM – xA x – a y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) f(4) = 4² - 11(4) + 7 = - 21 f ‘(4) = 2(4) – 11 = - 3 ce que l’on savait déjà ! La tangente T a pour équation : y = [ f ‘(4) ]x + [ f(4) – (4) f ‘(4) ] = [ - 3 ]x + [ (- 21) – 4(- 3) ] = - 3x - 9

Quelle est l’équation de cette tangente ? Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente, donc représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA y – f(a) coefficient directeur de la tangente = f ‘(a) = xM – xA x – a y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) f(4) = 4² - 11(4) + 7 = - 21 f ‘(4) = 2(4) – 11 = - 3 ce que l’on savait déjà ! La tangente T a pour équation : y = [ f ‘(4) ]x + [ f(4) – (4) f ‘(4) ] 4 = [ - 3 ]x + [ (- 21) – 4(- 3) ] = - 3x - 9