Exercice 2 : Déterminez les séries suivantes ( on ne donnera qu’une seule réponse possible ) satisfaisant les critères suivants : 1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. 2°) effectif 7, moyenne 8, écart-type 2,7775 ( valeurs à 10-3 près ). 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). 4°) effectif 7, moyenne 10, écart-type 2 et toutes les valeurs sont espacées du même écart. 5°) effectif 8, moyenne 10, écart-type 4,5826 et toutes les valeurs sont espacées du même écart ( valeurs à 10-3 près ).

Exercice 2 : Déterminez les séries suivantes ( on ne donnera qu’une seule réponse possible ) satisfaisant les critères suivants : 1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8.

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 xmoyen = …

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 ∑ ni xi 3 x1 + 3 x4 3 (xmoyen - E1 ) + 3 (xmoyen + E2 ) xmoyen = = = ∑ ni 6 6 3 xmoyen – 3 E1 + 3 xmoyen + 3 E2 6 xmoyen – 3 ( E1 - E2 ) = = 6 6 xmoyen = xmoyen – ½ ( E1 - E2 ) 0 = – ½ ( E1 - E2 ) E1 = E2 que je nomme E

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² σ = formule n° 1 N

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 3 ( - E1 )² + 3 ( + E2 )² σ = = N 6

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 3 ( - E1 )² + 3 ( + E2 )² σ = = N 6 3 E² + 3 E² = 6

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 3 ( - E1 )² + 3 ( + E2 )² σ = = N 6 3 E² + 3 E² 6 E² = = 6 6

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 3 ( - E1 )² + 3 ( + E2 )² σ = = N 6 3 E² + 3 E² 6 E² = = = E² 6 6

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 3 ( - E1 )² + 3 ( + E2 )² σ = = N 6 3 E² + 3 E² 6 E² = = = E² = E 6 6

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs. xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 3 ( - E1 )² + 3 ( + E2 )² σ = = N 6 3 E² + 3 E² 6 E² = = = E² = E donc E = σ = 8 6 6

1°) effectif 6, moyenne 10, écart-type 8. xmoyen E1 E2 donc x1 = x2 = x3 = xmoyen – E = 10 – 8 = 2 et x4 = x5 = x6 = xmoyen + E = 10 + 8 = 18 Réponse : 2 ; 2 ; 2 ; 18 ; 18 ; 18.

2°) effectif 7, moyenne 8, écart-type 2,7775 ( valeurs à 10-3 près ). L’exemple le plus simple est la série constituée de deux sous-séries constantes et de mêmes effectifs, et une valeur isolée. xmoyen E1 E2 ∑ ni xi 3 x1 + 3 x4 3(xmoyen - E1 ) + 3(xmoyen + E2 ) xmoyen = = = ∑ ni 7 7 3(xmoyen - E1 ) + xmoyen + 3(xmoyen + E2 ) 7 xmoyen – 3 ( E1 - E2 ) = = 7 7 xmoyen = xmoyen – (3/7) (E1 - E2) 0 = – (3/7) (E1 - E2) E1 = E2 que je nomme E

2°) effectif 7, moyenne 8, écart-type 2,7775 ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 3(- E1)² + 0² + 3 (+ E2)² σ = = N 7 6 E² 6 7 = = E donc E = σ ≈ 3,000 7 7 6

2°) effectif 7, moyenne 8, écart-type 2,7775 ( valeurs à 10-3 près ). donc x1 = x2 = x3 = xmoyen – E ≈ 8 – 3 = 5 x4= xmoyen = 8 et x5 = x6 = x7 = xmoyen + E ≈ 8 + 3 = 11 Réponse : 5 ; 5 ; 5 ; 8 ; 11 ; 11 ; 11.

∑ ni xi 5x1 + 4x5 5(xmoyen - E1) + 4(xmoyen + E2) ∑ ni 9 9 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). Exemple : xmoyen E1 E2 ∑ ni xi 5x1 + 4x5 5(xmoyen - E1) + 4(xmoyen + E2) xmoyen = = = ∑ ni 9 9 xmoyen = [ 5 xmoyen – 5 E1 + 4 xmoyen + 4 E2 ] / 9 xmoyen = xmoyen + [ – 5 E1 + 4 E2 ]/9 0 = – 5 E1 + 4 E2 E2 = (5/4) E1

Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 5 E1² + 4 ((5/4) E1)² 5 E1² + 4 (25/16) E1² = = 9 9

Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 5 E1² + 4 ((5/4) E1)² 5 E1² + (25/4) E1² = = 9 9

Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 5 E1² + 4 ((5/4) E1)² (20/4)E1² + (25/4) E1² = = 9 9

Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 5 E1² + 4 ((5/4) E1)² (45/4)E1² = = 9 9

Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 5 E1² + 4 ((5/4) E1)² (45/4)E1² = = = (5/4)E1² 9 9

Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E1 E2 Σ ni (xi - xmoyen)² 5(- E1)² + 4 (+ E2)² σ = = N 9 5 E1² + 4 ((5/4) E1)² (45/4)E1² = = = (√5/2) E1 9 9

donc x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = xmoyen – E1 ≈ 10 – 4 = 6 3°) effectif 9, moyenne 10, écart-type 4,47214 et série constituée de deux sous-séries constantes ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E1 E2 σ = (√5/2) E1 E1 = (2/√5) σ ≈ 4,000 et E2 = (5/4) E1 ≈ 5 donc x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = xmoyen – E1 ≈ 10 – 4 = 6 et x6 = x7 = x8 = x9 = xmoyen + E2 ≈ 10 + 5 = 15 Réponse : 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15.

(xmoyen - 3E) + (xmoyen - 2E) + (xmoyen - E) + xmoyen 4°) effectif 7, moyenne 10, écart-type 2 et toutes les valeurs sont espacées du même écart. xmoyen E E E E E E (xmoyen - 3E) + (xmoyen - 2E) + (xmoyen - E) + xmoyen ∑ ni xi + (xmoyen + E) + (xmoyen + 2E) + (xmoyen + 3E) xmoyen = = ∑ ni 7 7 xmoyen + 0 E xmoyen = xmoyen = xmoyen 7 L’étude de la moyenne n’a rien apporté pour la recherche de l’écart E.

4°) effectif 7, moyenne 10, écart-type 2 et toutes les valeurs sont espacées du même écart. xmoyen E E E E E E (- 3E)² + (- 2E)² + (- E)² + 0 Σ ni (xi - xmoyen)² + (+ E )² + (+ 2E)² + (+ 3E)² σ = = N 7 9E² + 4E² + E² + 0 + E² + 4E² + 9E² 28 E² = = = 4 E² = 2 E 7 7 E = ½ σ = 1

4°) effectif 7, moyenne 10, écart-type 2 et toutes les valeurs sont espacées du même écart. xmoyen E E E E E E E = ½ σ = 1 donc x1 = xmoyen – 3E = 7 x2 = xmoyen – 2E = 8 x3 = xmoyen – E = 9 x4 = xmoyen = 10 x5 = xmoyen +E = 11 x6 = xmoyen + 2E = 12 x7 = xmoyen + 3E = 13 Réponse : 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13

5°) effectif 8, moyenne 10, écart-type 4,5826 et toutes les valeurs sont espacées du même écart ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E E E E E E E ∑ ni xi xmoyen = ∑ ni (xmoyen – 3,5E) + (xmoyen - 2,5E) + (xmoyen - 1,5E) + (xmoyen - 0,5E) + (xmoyen + 0,5E) + (xmoyen + 1,5E) + (xmoyen + 2,5E) + (xmoyen + 3,5E) 8 xmoyen = = = xmoyen 8 8 L’étude de la moyenne n’a rien apporté pour la recherche de l’écart E.

5°) effectif 8, moyenne 10, écart-type 4,5826 et toutes les valeurs sont espacées du même écart ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E E E E E E E (- 3,5E)² + (- 2,5E)² + (- 1,5E)² + (- 0,5E)² Σ ni (xi - xmoyen)² + (+ 0,5E)² + (+ 1,5E )² + (+ 2,5E )² + (+ 3,5E )² σ = = N 8 49E²+25E²+9E²+E²+E²+9E²+ 25E²+49E² 4 168 E² 21E² = = = 8 32 4

5°) effectif 8, moyenne 10, écart-type 4,5826 et toutes les valeurs sont espacées du même écart ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E E E E E E E Σ ni (xi - xmoyen)² 21E² (√21) E σ = = = N 4 2 2 σ E = ≈ 2,000 √21

x1 = xmoyen – 3,5E ≈ 3 x2 = xmoyen – 2,5E ≈ 5 5°) effectif 8, moyenne 10, écart-type 4,5826 et toutes les valeurs sont espacées du même écart ( valeurs à 10-3 près ). xmoyen E E E E E E E E ≈ 2,000 donc x1 = xmoyen – 3,5E ≈ 3 x2 = xmoyen – 2,5E ≈ 5 x3 = xmoyen – 1,5E ≈ 7 x4 = xmoyen – 0,5E ≈ 9 x5 = xmoyen + 0,5E ≈ 11 x6 = xmoyen + 1,5E ≈ 13 x7 ≈ xmoyen + 2,5E = 15 x8 ≈ xmoyen + 3,5E ≈ 17 Réponse : 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17.