Mémoire de Projet de Fin d’Etudes UNIVERSITE HASSAN II MOHAMMEDIA-CASABLANCA FACULTE DES SCIENCES BEN M’SIK Filière SMP-PARCOURS MECANIQUE Année universitaire 2012-2013 Mémoire de Projet de Fin d’Etudes Sujet : « Simulation numérique des chocs élastiques » Présenté par les étudiants : - Mouslim Badr Encadrant : Pr ; H.LAHMAM

Plan Introduction Partie I : Simulation du choc élastique oblique entre deux points matériels sur un plan horizontal Partie II : Simulation du choc élastique en deux dimensions entre deux disques glissant sans frottement sur un plan horizontal Partie III : Simulation du choc élastique oblique entre deux points matériels sur un plan vertical Partie IV : Simulation des chocs élastiques entre une particule sur les parois internes d’un cadre rectangulaire Conclusion

Introduction

Rappel sur les chocs élastiques: Un choc élastique est un choc entre deux corps qui produit un rebond entièrement régi par l’élasticité  des zones d'impact. Cela signifie que les corps reprennent leur forme initiale, sans déformation permanente comme dans un écrasement .

Les lois de choc : La conservation de l’énergie cinétique : Conservation de la quantité de mouvement : La conservation de l’énergie cinétique :

Partie I : Simulation du choc élastique oblique entre deux points matériels sur un plan horizontal

Connaissant les vitesses et avant le choc, on peut déterminer les vitesses et après le choc en utilisant deux lois de conservation : Conservation de la quantité de mouvement : Conservation de l’énergie cinétique globale : La conservation de l’énergie cinétique totale peut s’écrire vectoriellement :

On divisant (2) par (1), on trouve : Cette dernière équation montre que les vitesses relatives des deux particules (la vitesse d’une particule par rapport à l’autre) sont égaux en normes mais de signe opposé. On obtient le système suivant :

On obtient : Soit encore :

Détermination de l’instant du choc: On a : Et On obtient: La condition du choc :

Simulation 1er cas 

2éme cas 

3éme cas 

Partie II : Choc élastique non frontal (oblique) entre de disque Choc entre deux disques réalisé dans les conditions de frottements nuls sur un support horizontal (coussin d’air )

Le PFD appliqué sur chacun des disques s’écrit : Donc on a : Où encore : Le but est de connaître les mouvements de G1 et de G2 après le choc ; c’est à dire les expressions explicites des coordonnées (x1, y1) et (x2, y2) de G1 et de G2 respectivement en fonction du temps.

Il y a conservation des vitesses tangentielles; c’est-à-dire Les deux disques échangent leurs quantités de mouvement normales par rapport au plan du choc(Le plan tangent au point d’impact).

Les disques sont en mouvement rectiligne uniforme avant le choc, l’horaire de leur vecteur position est donc donné par : Où encore : Condition du Choc : À l’instant du choc on a: Avec : En développement la norme au carré, on obtient une équation de seconde degré en tc de la forme suivante:

Avec : -le coefficient A est toujours positif strictement -le coefficient C est toujours positif strictement Cette équation admet des solutions si et seulement si : Premier cas : Dans ce cas l’équation admet deux solutions :

On a : Le produit des racines (C/A) est toujours strictement positif et leur somme toujours positive (-2B/A). Si : B > 0 Pas de choc La condition d’existence de choc est : B < 0 les disques se déplacent de la gauche vers la droite, le deuxième contact entre les disques n’est pas possible puisque après le premier contact, les trajectoires des disques sont modifiées, ainsi seul le premier contact est possible c’est la solution physique, celle correspondante a la valeur la plus petite de tc, avec le signe (-) devant la racine :

Dans ce cas on a une solution unique : Deuxième cas : Dans ce cas on a une solution unique : Une fois tc trouvé on peut alors déterminer les abscisses et les ordonnées des deux centres d’inertie G1 et G2 a l’instant du choc par les relation suivantes : Vecteur directeur de la normale au plan du choc

Vecteur directeur de la tangent au plan du choc Les vitesses tangentielles avant le choc sont données par :

Les vitesses normales avant le choc sont données par : Principe de conservation de la quantité de mouvement : La projection sur le plan de choc donne : (1)S’écrit :

Principe de conservation de l’énergie mécanique (conservation de l’énergie cinétique) : En tenant compte de la Conservation des vitesses tangentielles l’équation précédente se réduit à : Les équations trouvées ci-dessus, constituent un système de deux équations :

On obtient : Calcule de : Soit la base orthonormée du repère Fernel, et la base orthonormée du repère cartésien. D’où l’expression des vitesses en coordonnées cartésiennes : Donc on obtient :

Simulation 1er cas

2éme cas :

Comparaison : Si les rayons des deux disques sont très petits et les mêmes données  ; vitesses initiales et positions initiales et l’instant de choc on tombe dans le premier modèle (modèle simplifier) c'est-à- dire le choc élastique entre deux masses ponctuelles.

Partie III : Simulation du choc élastique oblique entre deux points matériels sur un plan vertical

-Détermination de l’instant du choc :(même manière ) -Les équations horaires de mouvement sont : -Détermination des vitesses après le choc : -Détermination de l’instant du choc :(même manière )

Simulation 1er cas :

2éme cas 

3éme cas : On prend g=0 

Partie IV : Simulation des chocs élastiques d’une particule sur les parois internes d’un cadre rectangulaire

La particule P(m) est mécaniquement isolée ; le point s’annule avec la réaction du plan horizontal. D’après le principe d’inertie elle animée d’un mouvement rectiligne uniforme : Soit encore :

On a : Si représente la durée du choc, on en déduit d’après le principe fondamental de la dynamique que la force exercée par la paroi sur la particule au cours du choc est : En application du  principe de l’action et de la réaction, la particule a donc exercé sur la paroi une force opposée égale à : Lors de ce choc élastique, la réaction de la paroi est dirigée suivant la normale a la paroi. Il en résulte que la quantité de mouvement acquise par la paroi ne peut qu’être orientée suivant la normale et que : C’est à dire qu’il y a conservation des composantes de la vitesse de la particule selon la direction tangente à la paroi.

La paroi étant fixe, elle n’acquiert pas d’énergie cinétique La paroi étant fixe, elle n’acquiert pas d’énergie cinétique. Comme le choc est élastique la particule conserve son énergie cinétique : La norme du vecteur vitesse est conservé, en tenant compte de la conservation des vitesses tangentielles on déduit que :

Simulation

Conclusion Notre projet fin d’étude à pour but la simulation numérique des chocs élastiques en deux dimensions Dans ce travail nous avons réalisé des programmes qui calcul le mouvement des corps entrant en choc Ce PFE nous a donné la capacité à émettre un regard et à essayer d’aller dans les détails quand les choses ne sont pas claires et d’ouvrir de nouvelles perspectives d’études .

Merci de votre attention