Les triangles semblables

Les triangles semblables 2 triangles sont semblables lorsque: Ils ont les mêmes angles. Leurs côtés correspondants sont dans un même rapport.

Les triangles semblables Des triangles sont semblables lorsqu’un des 3 cas est respecté:

Les triangles semblables 1er cas: Deux triangles ABC et A’B’C’ ayant deux angles correspondants sont semblables.

Les triangles semblables 1er cas: démonstration

Les triangles semblables Hypothèses: 1) Angle A = Angle A’ 2) Angle B = Angle B’ Thèses: 1) Angle C = Angle C’ 2) |AB|/|A’B’| =|AC|/|A’C’| =|BC|/|B’C’|

Les triangles semblables Démo: 1) Construire E sur [AC]

Les triangles semblables 2) Construire DE//BC, on obtient un triangle ADE isométrique au triangle A’B’C’

Les triangles semblables |AE| = |A’C’| |AD| = |A’B’| |ED| = |C’B’| Or, par le théorème de Thalès et ses conséquences: |AB|/|AD| = |BC|/|DE| = |AC|/|AE| On peut donc remplacer les dénominateurs et nous obtenons: |AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = |BC|/|B’C’| (thèse)

Les triangles semblables 2ème cas: Deux triangles ABC et A’B’C’ ayant les côtés correspondants proportionnels sont semblables.

Les triangles semblables 2ème cas: démonstration

Les triangles semblables Hypothèse: |AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = |BC|/|B’C’| = r Thèses: Angle A = Angle A’ Angle B = Angle B’ Angle C = Angle C’

Les triangles semblables Démo: Construire D sur [AB], on obtient |AD|=|A’B’|

Les triangles semblables - DE//BC donc par le théorème de Thalès et ses conséquences: |AC|/|AE| = r |BC|/|DE| = r Les triangles A’B’C’ et AXY sont isométriques donc: Angle A = Angle A’ Angle B = Angle B’ Angle C = Angle C’ (thèse)

Les triangles semblables 3ème cas: Deux triangles ABC et A’B’C’ ayant un angle de même amplitude bordé par deux côtés correspondants proportionnels sont semblables.

Les triangles semblables 3ème cas: démonstration

Les triangles semblables Hypothèses: Angle A = Angle A’ |AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = r Thèses: Angle B = Angle B’ Angle C = Angle C’ |BC|/|B’C’| = r

Les triangles semblables Démo: Construire D sur [AB], on obtient: |AD| = |A’B’| |AE| = |A’C’|

Les triangles semblables - Par la réciproque du théorème de Thalès, XY//BC car |AB|/|AD| = |AC|/|AE| = r - On a donc: Angle D = Angle B Angle E = Angle C - Les triangles A’B’C’ et AXY sont isométriques: Angle B = Angle B’ Angle C = Angle C’ |BC|/|B’C’| = |BC|/|DE| = |AB|/|AD| = |AC|/|AE| = r (thèse)