Chapitre 3 L’application des formules d’équivalence à des transactions commerciales concrètes Début de la première heure cours 10 (hiver 2002) Chapitre 3

Références Chapitre 3 Complément de notes p. 152 à 198 Sections 3.1 à 3.5, 3.6.1 et 3.8 Complément de notes p. 152 à 198 Chapitre 3

Contenu Notion de taux d’intérêt nominal et calcul des taux effectifs Flux non-conventionnels Flux en début de période et continu Taux d’intérêt variable Capital et intérêt Obligations Chapitre 3

Objectifs Calculer les taux effectifs à partir de taux nominaux Connaître et transformer les éléments non conventionnels en flux conventionnel Calculer des plans de remboursement de prêts amortis Effectuer les calculs reliés aux obligations Chapitre 3 objectifs

Taux nominal et taux effectif Taux nominal (affiché) Implicitement sur une année Donne aucune indication sur le taux effectif si la période de composition n’est pas connue (période de calcul des intérêts) Notation : r (ou i*) Taux effectif (réels) Sur n’importe quelle période Calcul d’intérêt une seule fois sur la période du taux Notation : i C’est le taux du chapitre 2 et c’est le taux nécessaire dans les analyses de flux Chapitre 3 taux

Notation M = Nombre de fois où l’intérêt est cumulé au cours d’une période annuelle C = Nombre de fois où l’intérêt est cumulé par période de versement (correspondant à la période du flux) K = Nombre de périodes de versement par année (i.e. # périodes du flux dans une année) Chapitre 3 taux

Identifier les différentes variables Exemple 3A Résolution au tableau de l’exemple 3A Données Résolution Un concessionnaire automobile annonce les conditions suivantes de prêt pour l’achat d’une automobile Identifier les différentes variables Montant du prêt : 18 000$ Terme du prêt : 4 ans Taux nominal du prêt : 12% composé quotidiennement Période de remboursement : mensuelle Type de prêt : amorti Chapitre 3 taux

Cinq situations de calcul de i effectif Calcul à partir d’un taux nominal 1. taux effectif sur la période de composition 2. taux effectif annuel 3a. taux effectif sur une période de flux quelconque 3b. taux effectif sur une période de flux quelconque Période de composition plus longue que celle du flux 4. taux effectif : composition continue Chapitre 3 taux

Taux d’intérêt 1. taux effectif sur la période de composition Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à la période de composition du taux nominal Chapitre 3 taux

Taux d’intérêt 2. taux effectif annuel Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à l’année Chapitre 3 taux

Taux d’intérêt 3a. taux effectif sur une période de flux quelconque Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à une période différente de celle de la composition et différente de l’année C’est le M et le C qui déterminent la période du i calculé Chapitre 3 [ ] peut prendre n’importe quelle valeur de période taux

Taux d’intérêt 3b. taux effectif sur une période de flux quelconque Même situation que 3a mais la période de composition est plus longue que la période du flux On choisit l’approche de l’ex. 3.9 qui ne permet pas de déplacement d’argent sur l’axe du temps sans modification de sa valeur; C devient ainsi une fraction …dans le cadre du cours, les situations 3a et 3b sont résolues de la même façon sans faire de distinction Chapitre 3 [ ] peut prendre n’importe quelle valeur de période taux

Taux d’intérêt 4. taux effectif : composition continue Lorsque la composition est continue, l’équation est évaluée par : Donc, Chapitre 3 taux

Influence de la période de composition Composition continue Taux nominal : 12% Chapitre 3 taux

Taux d’intérêt : choix de formule 1 3b Les situations 2, 3a et 3b mènent donc toutes à la même équation 2, 3a 4 Chapitre 3 Figure. 3.12, p.152 [Soucy, Yargeau] taux

Info implicite : composition mensuelle Exemple 3.5 : situation 1 Ex. 3.5, p.141 [Soucy, Yargeau] Info implicite : composition mensuelle Chapitre 3 taux

Exemple 3.5 : suite M = CK selon le chapitre 2 Chapitre 3 taux

Calculer le montant disponible après 5 ans Exemple 3B: situation 2 Résolution au tableau de l’exemple 3B Données Résolution Montant du dépôt : 1 000$ annuellement Nombre de dépôts : 5 en fin de période Taux d’intérêt : 9 % composé mensuellement Terme du dépôt : 5 ans Calculer le montant disponible après 5 ans Fin de la 1ere heure cours 10 (hiver 2002) Chapitre 3 taux

Exemple 3.7: situation 3a 1’ 0’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 3 mois taux Début de la 2e heure cours 10 (hiver 2002) 1’ 0’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 3 mois Chapitre 3 taux

Exemple 3.7: suite selon le chapitre 2 Chapitre 3 taux

Exemple 3.9: situation 3b Chapitre 3 taux

Exemple 3.9: suite selon le chapitre 2 Chapitre 3 taux

Exemple 3.8 : situation 4 Chapitre 3 taux

Exemple 3.8 : suite Chapitre 3 taux

Résumé des calculs de taux 1 nominal effectif sur la période de composition 2 nominal effectif annuel 3a, 3b nominal effectif quelconque 4 nominal effectif quelconque (composition continue) Ajout au livre effectif sur une autre période Nb : Nombre de courtes périodes dans la plus longue effectif sur une période 176 taux

Exemple 3C : prêt étudiant Résolution au tableau de l’exemple 3C Données Résolution Montant du prêt : 12 000$ Taux d’intérêt : 9,5% composé quotidiennement Terme du prêt : 9 ans Versement : mensuel Calculer le versement pour effectuer le remboursement du prêt Chapitre 3 taux

Flux non conventionnels Flux en début de période et continu : Il faut transformer le flux pour le ramener en flux de fin de période Flux avec taux d’intérêt variable : Il faut procéder de façon séparée sur chacune des périodes à taux constant Chapitre 3 flux non conventionnels

Flux non conventionnels : flux en début de période Le flux en début de période est transformé en flux de fin de période en lui appliquant un facteur de capitalisation d’une période B$ A(1+i)$ B(1+i)$ C(1+i)$ 1 2 3 fin de période A$ C$ (1+i) 1 2 3 début de période Chapitre 3 flux non conventionnels

Exemple 3D : flux en début de période Résolution au tableau de l’exemple 3D Données Résolution Paiement de loyer d’une compagnie Versement du loyer : 10 000$ Date de paiement : 1er janvier de l’année Durée du bail : 5 ans Calculer la valeur actualisée équivalente de ce flux monétaire si la compagnie utilise un TRAM de 15% Chapitre 3 flux non conventionnels

Flux non conventionnels : flux continu Plutôt que de transformer les formules comme dans le livre, le flux continu est transformé en flux de fin de période en lui appliquant le facteur suivant : 1 fin de période 1 flux continu Chapitre 3 flux non conventionnels

Exemple 3E : flux continu Résolution au tableau de l’exemple 3E Données Résolution Revenus d’une entreprise Une entreprise reçoit des revenus de vente calculés de façon continue à une valeur de Calculer la valeur actualisée équivalente des revenus si la compagnie utilise un TRAM de 15% Fin du cours 10 (hiver 2002) Chapitre 3 flux non conventionnels

Flux non conventionnels : taux d’intérêt variable Le flux conventionnel est : 1 2 i = 9% i = 9% A$ B$ C$ 1 2 Le flux non conventionnel est : Début de la 1ere heure cours 11 (hiver 2002) i = 9% i = 8% Chapitre 3 flux non conventionnels

Exemple 3F : taux d’intérêt variable Résolution au tableau de l’exemple 3F Données Résolution Dépôts et retraits bancaires Connaissant le flux monétaire suivant : Calculer la valeur disponible dans le fonds à N = 4 1 2 3 4 10,5% 10% 9% 3 000$ 2 000$ 1 500$ 2 500$ Chapitre 3 flux non conventionnels

Capital et intérêt Dans le cadre du cours, seul le prêt amorti est considéré : Le versement inclut une portion de paiement de capital et une portion de paiement d’intérêt variables dans le temps Le calcul du versement s’effectue selon les formules d’annuité du chapitre 2 Chapitre 3 capital et intérêt

Répartition capital et intérêt Figure 3.18, p.165 [Soucy, Yargeau] 186 capital et intérêt

Deux méthodes de calcul Méthode intuitive Forme tabulaire indiquant le paiement en intérêt ainsi que le paiement en capital à chacun des versements (montant du versement constant) Méthode théorique Calcul du paiement en intérêt ainsi que du paiement en capital à un moment précis du remboursement (montant du versement constant) Chapitre 3 capital et intérêt

Méthode intuitive* # 1 P I1 = Pi PP1 = A-I1 B1 = P-PP1 2 B1 I2 = B1i * Méthode à privilégier # Capitali Intérêt, In Remboursement du capital, PPn CapitalF ,Bn 1 P I1 = Pi PP1 = A-I1 B1 = P-PP1 2 B1 I2 = B1i PP2 = A-I2 B2 = B1-PP2 n … voir les formules ci-bas Chapitre 3 capital et intérêt

Méthode théorique Il est aussi possible de calculer une valeur Bn dans le futur sans calculer les valeurs précédentes. On utilise la formule suivante : Voir figure 3.19 À partir de cette valeur, on peut ensuite calculer le paiement en intérêt, In et en capital, PPn pour ce versement par les mêmes formules. Chapitre 3 capital et intérêt

Méthode théorique Figure 3.19, p.166 [Soucy, Yargeau] Chapitre 3 capital et intérêt

Exemple 3G : capital et intérêt Résolution au tableau de l’exemple 3G Données Résolution Montant du prêt : 12 000$ Taux d’intérêt : 9,5% composé quotidiennement Terme du prêt : 9 ans Versement : mensuel Calculer les paiements d’intérêt et de capital pour chacun des 6 premiers versements par la méthode intuitive Fin de la 1ere heure cours 11 (hiv02) Calculer le paiement d’intérêt et de capital pour le 6e versement par la méthode théorique Chapitre 3 capital et intérêt

Obligation Définition : Caractéristiques Titre de créance donnant droit à des intérêts fixes périodiques et au remboursement de la valeur nominale à l’échéance Caractéristiques Une valeur nominale Un taux de coupon (fixant les intérêts) Des dates de paiement des intérêts Une date d’échéance Début de la 2e heure cours 11 (hiver 2002) Chapitre 3 obligation

Figure 3.24, p.186 [Soucy, Yargeau] Obligation Description de la reproduction Fig. 3.23, p. 180-181 [Soucy, Yargeau] Description du flux monétaire Valeur nominale r = 11,25% i 6 mois = 5,625% Coupon = 100 000*5,625%=5 625$ Prime d’émission Échéance 10 ans Coupon 2 par an N = 20 Chapitre 3 Figure 3.24, p.186 [Soucy, Yargeau] obligation

Quelques termes importants Obligation émise au pair Obligation achetée à sa valeur nominale Obligation avec prime d’émission Obligation achetée à un prix supérieur à sa valeur nominale Obligation à rabais ou escompte d’émission Obligation achetée à un prix inférieur à sa valeur nominale Chapitre 3 Pourquoi? Pour s’ajuster au taux d’intérêt du marché. obligation

Description des différents taux Taux de coupon : Taux permettant de calculer la valeur du versement périodique d’intérêt Taux de rendement : Connaissant le coût d’achat de l’obligation, sa durée de possession et sa valeur de revente si l’obligation est vendue avant l’échéance, c’est le taux qui rend la valeur présente de l’investissement = 0. Taux de rendement courant : Taux similaire au taux de coupon mais lorsque l’obligation n’est pas achetée au pair TRAM : Taux permettant de calculer la valeur présente de l’investissement Chapitre 3 obligation

Exemple 3.18 : Obligation Chapitre 3 obligation

Exemple 3.18 : suite Chapitre 3 obligation

Exemple 3.18 : suite obligation Chapitre 3 Fin du cours 11 (hiver 2002) Chapitre 3 obligation