Cours Corporate finance Eléments de théorie du portefeuille Le Medaf

Plan Notions de rentabilité Définition Modélisation Eléments de théorie du portefeuille Portefeuille Diversification Le Medaf Le modèle de marché La relation du Medaf Le bêta Application : calcul du taux d’actualisation

Rentabilité d’un actif (1) Définition de la rentabilité Notations : Calcul Exercice : montrer la rentabilité correspond au TRI de la séquence de flux d’investissement.

Rentabilité d’un actif (2) Deux éléments dans la rentabilité Le rendement (yield en anglais) : dividende, intérêts, loyers, etc. La variation en capital (capital gain or loss en anglais) : plus-value ou moins-value à la revente

Rentabilité d’un actif (3) Statistiques importantes (1) La moyenne des rentabilités Espérance / anticipation de rentabilité pour le futur Mesure de performance La dispersion des rentabilités (autour de la moyenne) La variance ou l’écart-type des rentabilités Mesure sur risque (mesure globale)

Rentabilité d’un actif (4) Statistiques importantes (2) Les quantiles de rentabilités Probabilité d’observer une rentabilité en dessous d’un seuil donné Mesure du risque (mesure locale)

Rentabilité d’un actif (5) Distribution historique des rentabilités – Histogramme Distribution paramétrique des rentabilités - Densité Exemple : la loi normale Deux paramètres : la moyenne et la variance (les deux premiers moments de la distribution)

Modèle de Markowitz Qu’est-ce que c’est ? Modèle mathématique financier de construction de portefeuilles de titres financiers (ou autres) reposant sur l’optimisation du portefeuille en termes de rentabilité et risque Portefeuilles optimaux Portefeuille de rentabilité maximum pour un niveau de risque donné Portefeuille de risque minimum pour un niveau de rentabilité donné

Diversification du risque (1) Cas : portefeuille à deux actifs Actif 1: µ1 = 10% et σ1 = 20% Actif 2 : µ2 = 15% et σ2 = 30% Portefeuille : combinaison d’actifs x1 et x2 : poids de chaque actif dans le portefeuille Objectif : trouver le portefeuille qui minimise le risque pour un niveau de rentabilité donné

Diversification du risque (2) Portefeuille efficient Portefeuille qui, pour une rentabilité anticipée donnée (par exemple 12%), minimise le risque. Portefeuille qui, pour un niveau de risque donné (par exemple 20%), maximise la rentabilité anticipée. Portefeuille optimal au sens moyenne-variance Frontière efficiente Ensemble des portefeuilles efficients Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr

Diversification du risque (3) Cas : n actifs risqués Caractérisation de la frontière efficiente Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque. Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués Théorème de séparation : les portefeuilles optimaux sont définis comme une combinaison de l’actif sans risque et du portefeuille tangent (portefeuille de marché). Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr

Diversification du risque (4) Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués Actif sans risque : µ0 = 5% et σ0 = 0% Portefeuille de marché M : µM = 10% et σM = 25% Portefeuille efficient P : µP et σP Combinaison linéaire de l’actif sans risque (x) et du portefeuille de marché (1-x) : µP = x·µ0 +(1-x)·µM et σP = (1-x)·σM En remplaçant x par sa valeur il vient : Il s’agit de l’équation de la frontière efficiente. Interprétation économique : plus le risque est élevé, plus la rentabilité exigée est élevée.

Risque d’un actif Quel est le risque associé à un actif ? Portefeuille existant : µP et σP Projet ou actif risqué : µi et σi Comment prendre en compte le risque de cet actif au niveau du taux d’actualisation ? Risque total de l’actif ? σi Contribution de l’actif au risque du portefeuille ?

Le modèle de marché (1) Sources de risque Le risque sur chaque actif a deux origines : Le risque systématique lié au marché : conjoncture affectant tous les actifs Le risque spécifique lié au titre considéré : événements propres à l’actif (action, obligation, projet, etc.) Modélisation Rentabilité = Rentabilité anticipée + Erreur Par définition, l’erreur (le résidu) correspond à l’écart entre la réalisation de la rentabilité et son anticipation. Cet écart est dû à un mouvement général du marché (risque systématique) et à un mouvement propre à chaque actif (risque spécifique).

Le modèle de marché (2) Modélisation (suite) Notations

Le modèle de marché (3) Raisonnons sur un portefeuille P contenant n titres Composition du portefeuille : x1, x2, x3, … xn Modélisation du portefeuille P Notation

Le modèle de marché (4) Diversification des n risques spécifiques Les aléas S1, S2, S3, …, Sn sont des variables aléatoires centrées et indépendantes. Pour un portefeuille diversifié (i.e. tous les poids xi sont petits), le risque spécifique du portefeuille disparaît. Application de la loi des grands nombres Approximation pour la rentabilité d’un portefeuille diversifié

Le modèle de marché (5) Analyse du risque d’un portefeuille diversifié Interprétation : Approximation pour le risque d’un portefeuille diversifié

Le modèle de marché (6) Contribution d’un actif i au risque du portefeuille P Décomposition du risque de l’actif i Le risque spécifique de l’actif i n’apparaît pas dans le risque d’un portefeuille diversifié. Seul le bêta de l’actif i apparaît dans le risque d’un portefeuille diversifié. La contribution d’un actif i au risque du portefeuille P est mesurée par le bêta.

Le modèle de marché (7) Détermination de la prime de risque de l’actif i Décomposition de la prime de risque sur l’actif i La prime de risque pi doit être proportionnelle au bêta de l’actif i qui est le seul risque non diversifiable. Démonstration :

Le Medaf (1) Terminologie Medaf : modèle d’évaluation des actifs financiers CAPM : capital asset pricing model Rentabilité anticipée de l’actif i Relation du Medaf ou CAPM La rentabilité anticipée d’un actif est égale à la somme du taux sans risque et du bêta de l’actif fois la prime de risque du marché.

Le Medaf (2) Trois éléments à estimer Le taux sans risque La prime de risque du marché Le bêta de l’actif Utilité du Medaf Gestion d’actifs Construction de portefeuilles efficients Décisions d’investissement Calcul du coût du capital

Calcul du coût du capital en pratique Les entreprises utilisent le Medaf pour calculer le coût du capital.

Le beta (1) Définition Interprétation Le beta mesure l’élasticité de l’actif par rapport au portefeuille de marché. Si un actif a un beta de 1, alors en moyenne il varie dans les mêmes proportions que le marché. Un actif avec un beta inférieur à 1 (0,8 par exemple) varie moins que le marché. Un actif avec un beta supérieur à 1 (1,5 par exemple) amplifie les variations du marché. Le beta est donc aussi une mesure du risque d’un actif.

Le bêta (2) Estimation du beta Estimation de la régression linéaire de la rentabilité du titre i sur la rentabilité du marché M Le bêta : Coefficient de la régression linéaire associé à la rentabilité du portefeuille de marché M (variable explicative) Pente de la droite de la régression

Limites du Medaf Qu’est-ce que le portefeuille de marché ? En théorie, le portefeuille de marché contient tous les actifs : actions, obligations, matières premières, immobilier, objets d’art, capital humain, etc. Difficulté d’observer le portefeuille de marché et donc à estimer sa rentabilité Qu’est-ce qu’un actif ? Historique de rentabilités pour un actif de marché Quid d’un nouveau projet d’entreprise ? Difficulté de simuler de TRI sous différentes conditions de marché pour calculer le bêta

Application à l’investissement Le taux d’actualisation doit tenir compte du risque. Prime de risque La prime de risque du projet dépend du projet mais aussi du portefeuille existant. Recherche d’actifs peu corrélés voir négativement corrélés avec le portefeuille existant Super diversificateurs