Exercice 1 Quelles sont les dimensions ( à 0,01 cm près ) du plus gros cylindre contenu dans une sphère de diamètre 1 m ?

Exercice Je choisis comme variable x la ½ hauteur du cylindre. V = base × hauteur = πy² (2x) x

Exercice Je choisis comme variable x la ½ hauteur du cylindre. V = base × hauteur = πy² (2x) Pythagore : x² + y² = R² x y² = R² - x² V = πy² (2x) = π(R² - x²) (2x) = 2πx(R² - x²)

Exercice Je choisis comme variable x la ½ hauteur du cylindre. V = base × hauteur = πy² (2x) Pythagore : x² + y² = R² x y² = R² - x² V = πy² (2x) = π(R² - x²) (2x) = 2πx(R² - x²) Soit la fonction f définie par f(x) = V f est bien une fonction car tout antécédent de [ 0 ; R ] est bien associé à une unique image f(x).

f(x) = 2πx(R² - x²) f ‘(x) = ( 2πx (R² - x²) )’ = ( 2π ( R²x - x3 ) )’ qui s’annule en R ⅓ ≈ 0,2887 (m) Le polynôme est du signe de a = - 3 < 0 à l’extérieur des racines. x 0 R √⅓ R f ‘(x) + 0 - f(x)

f(x) = 2πx(R² - x²) f ‘(x) = ( 2πx (R² - x²) )’ = ( 2π ( R²x - x3 ) )’ qui s’annule en R ⅓ ≈ 0,2887 (m) Le polynôme est du signe de a = - 3 < 0 à l’extérieur des racines. Le volume est maximal pour une hauteur h = 2x = 2 √(⅓) ≈ 0,5774 (m) et un rayon y = R² - x² = 0,5² - (0,5 √(⅓))² = √(⅙) ≈ 0,4082 (m) x 0 R √⅓ R f ‘(x) + 0 - f(x)

Exercice 2 Il y a en moyenne 4% de produits invendables fabriqués dans un fast-food. Sur 100 produits fabriqués piochés au hasard sur la chaine de fabrication, combien doivent être jetés à la poubelle ?

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de fois où le produit est à jeter. La variable aléatoire suit une loi binomiale car : on répète plusieurs fois la même expérience. cette expérience n’a que 2 issues ( Réussite ou Echec ). la variable aléatoire donne le nombre de Réussites. X suit ß( 100 ; 0,04 ) On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k

L’intervalle de confiance au seuil de 95% est [ 1 ; 8 ], 0,025 donc en moyenne probable il faut jeter 0,975 entre 1 et 8 produits sur 100 piochés au hasard. k (n;k) ≈ p(X=k) ≈ p(X≤k) ≈ 1 0,0168 100 0,0703 0,0872 … 7 2×1010 0,1052 0,8936 8 2×1011 0,0285 0,981 1×10-140