SPHERES - BOULES

1- Définition La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O égale à R. E D A B A, B, C et D appartiennent à la sphère. [OA], [OB], [OC] et [OD] sont des rayons de la sphère. OA=OB=OC=OD O C

Définition La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O inférieure ou égale à R. E D A B O A, B, C et D et O appartiennent à la boule. Tous les points de [OA] appartiennent à la boule E n’appartient pas à la boule. C

Définition Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R . E D A B O [AC] est un diamètre du grand cercle rouge C [OD] est un rayon du grand cercle vert

Exemples de sphères Un réservoir de gaz Une lampe à plasma

Exemples de sphères Des ballons Des balles Des bulles

Exemples de boules

2- Aire L’aire d’une sphère de rayon R est égale à : L’aire d’une sphère de rayon 7 cm (en cm²) :

Volume Le volume d’une boule de rayon R est égale à : Le volume d’un boule de même rayon 7cm (en cm3) :

Section d’une sphère par un plan La section d’une sphère par un plan est un cercle La section d’une boule par un plan est un disque

Remarque Si le plan passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle 11

Remarque Si le plan et la sphère n’ont qu’un point commun, on dit que le plan est tangent à la sphère.

3 - Construction Pour dessiner une sphère en perspective : - On trace un cercle On trace à main levée une ellipse dont une moitié en pointillé (un grand cercle) 13

3 - Construction Pour dessiner un autre grand cercle : On place deux points diamétralement opposés On trace à main levée une ellipse dont une moitié en pointillé Qui passe par les deux points 14

Exercice Quel est la nature du triangle AOC ? [OA] et [OC] sont des rayons de la sphère donc OA = OC Donc AOB est isocèle en O B Quel est la nature du triangle ABC ? C On sait que : C appartient au cercle de diamètre [AB] O A Or si dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et au autre point de ce cercle alors ce triangle est rectangle en ce point Donc ABC est rectangle en C 15

4- Méthode La section de la sphère S de centre O et de rayon 4 cm par le plan P perpendiculaire à (OA) est le cercle de centre A et de rayon AB. [OB] est un rayon de la sphère. OB=4 cm La distance de O à P est OA = 3 cm O OAB est un triangle rectangle en A A B P

Méthode OAB est un triangle rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore : OB²=OA²+AB² O A B P