Tout commençà par l’aire d’une surface … Logarithmes Tout commençà par l’aire d’une surface …

Débuts hyperboliques du logarithme Ordonnée Débuts hyperboliques du logarithme 3 Bissectrice = Axe de symétrie 1 Courbe représentative de y = 2 x 1 1 2 1 3 1 4 1 2 3 4 Abscisse 1 2 1 3 Par définition : Aire jaune = ln 4 ln se lisant logarithme népérien Etymologie : al Kwarismi de Kwarezm, une province de l’empire arabe du VIIIe siècle : c’est le surnom d’un mathématicien perse de cette époque Etymologie : Neper ou Napier, mathématicien britannique du XVIIe siècle

Bissectrice = Axe de symétrie Logarithme positif Bissectrice = Axe de symétrie 1 Courbe représentative de y = x Par définition, f (x) = 1 x est la dérivée de ln x 1 1 x ≥ 1 Par définition : Aire jaune = ln x C’est une valeur positive

Bissectrice = Axe de symétrie Logarithme négatif Bissectrice = Axe de symétrie Par définition, f (x) = 1 x est la dérivée de ln x Courbe représentative de y 1 x ≤ 1 1 Par définition : Aire verte = ln x C’est une valeur négative

Bissectrice = Axe de symétrie Logarithme nul Ordonnée Bissectrice = Axe de symétrie Par définition, f (x) = 1 x est la dérivée de ln x Courbe représentative de y 1 1 Abscisse ln 1 est nul parce que pour x = 1 l’aire est nulle !

Propriété fondamentale du logarithme 1 x Étant donné que est la dérivée du logarithme, nous avons ln b – ln a = a b 1 x dx écrit aussi a b x dx Pour tout x strictement positif vu que 1 / x est strictement positif, et que 1 / x est la dérivée de ln x La dérivée de ln v(x) est celle d’une fonction ln d’une autre fonction f(x) on en déduit que ln x est monotone strictement croissante donc [ln v(x)]’ = ln’ v(x) ∙ v’(x) 1 v [ln v(x)]’ = 1 v(x) v’(x) Comme la dérivée de ln v est on obtient v’(x) v(x) Conclusion : la dérivée de ln v(x) est dérivée de m x m x = m m x 1 x = Un exemple : la dérivée de ln m x est donc ln m x et ln x ont la même dérivée donc ln’ m x – ln’ x = 0 donc (ln m x – ln x)’ = 0 (ln m b – ln b) – (ln m 1 – ln 1) = 0 1 b (ln b m – ln b) – (ln m – 0) = 0 (ln m x – ln x)’ dx = 0 ln b m – ln b – ln m = 0 ce qui la propriété fondamentale du logarithme ln b m = ln b + ln m

Propriété fondamentale du logarithme Exemple : ln a2 = ln a + ln a = 2 ln a Hypothèse : si ln aN = N ln a Alors ln aN + 1 = ln (aN a) = ln aN + ln a = N ln a + ln a = (N + 1) ln a Conclusion : quelle que soit l’exposant entier naturel P égal au moins à 2 on a ln aP = p ln a. Note : ln a0 = ln 1 = 0 = 0 ln a donc la propriété s’étend à N = 0. a b b = a Note : ln a1 = ln a = 1 ln a donc la propriété s’étend à N = l. Pour a > 1 on a ln a > ln 1 qui est > 0 a b b = ln a ln donc ln a est un réel strictement positif. + lnb = ln a ln a b = lna - ln b ln Cas particulier : 1 b = - ln b ln ce qui la propriété fondamentale du logarithme ln b m = ln b + ln m

Limites du logarithme Que fait ln x quand x est aussi grand qu’on veut ? Soit Y aussi grand qu’on veut. Il existe N tel que N ln a > Y. Si x > aN alors ln x > ln aN donc ln x > N ln a donc ln x > Y. Conclusion : quelle que soit l’exposant entier naturel P égal au moins à 2 on a ln aP = P ln a. Il existe donc un nombre X (c’est aN ) tel que si x > X alors ln x > Y. C’est une manière de dire que la limite quand x → + ∞ de ln x est + ∞ . la limite quand x → + ∞ de ln x est + ∞ . Que fait ln x quand x diminue et tend vers zéro ? On sait que si x diminue et tend vers zéro alors 1 / x tend vers + ∞ 1 x donc que ln tend vers + ∞ a b donc que – ln x tend vers + ∞ donc que ln x tend vers – ∞. a b = lna - ln b ln la limite quand x → 0 de ln x est - ∞ 1 b = - ln b ln ce qui la propriété fondamentale du logarithme ln b m = ln b + ln m