Illustration géométrique de la Relativité restreinte Pour comprendre la dilatation des longueurs la contraction des temps le paradoxe des jumeaux Louis-Aimé de Fouquières

Un concept de rupture… La théorie de la Relativité restreinte est attribuée à Albert Einstein, qui l’a exprimée dans un article de septembre 1905. Hendrik Lorentz avait défini des transformations de l’espace et du temps qui conservaient les lois de l’électromagnétisme. Henri Poincaré avait proposé en juin 1905 l’élargissement de ces transformations à tous les phénomènes physiques. On attribue généralement à Einstein le mérite d’avoir remis en question le caractère absolu du temps, véritable rupture de cette théorie.

…mais utilisant des outils mathématiques accessibles Hermann Minkowski a proposé une représentation géométrique de l’espace-temps qui aide à comprendre la Relativité restreinte. Cette représentation est accessible à des lycéens de section S ou ES, qui apprennent les rotations dans le plan.

Les lycéens scientifiques maîtrisent les changements de repère orthonormé Le point (x = 1; y = 1) se projette en (x’ = 1,366; y’ = 0,366) axe des y’ (x’=0) axe des y (x=0) axe des x’ (y’=0) angle α (ici 30 degrés) axe des x (y=0)

Repère inertiel La théorie de la Relativité restreinte s’intéresse à la question du changement de repère inertiel. Un repère inertiel (ou galiléen) est un repère dans lequel tout corps qui ne subit aucune force est soit au repos, soit en mouvement rectiligne à vitesse constante (mouvement uniforme).

Représentation classique d’un mouvement à une dimension On peut représenter la chronologie d’un mouvement à une dimension sur un espace à deux dimensions. Exemples: baromètre enregistreur, chronographes médicaux… axe des longueurs (x) axe du temps (t)

Deux repères inertiels en physique classique x=x’+vt’ t=t’ Tout point fixe du repère rouge R’ est en mouvement uniforme dans le repère bleu B. Le temps est le même dans les deux repères. axe des x et des x’ (t=t’=0) axe des t’ (x’=0) axe des t (x=0)

Le principe de Relativité Le temps n’est pas le même dans deux repères inertiels (« le temps est relatif »). Seule est absolue la vitesse de la lumière dans le vide, notée c, qui est érigée au rang de constante physique fondamentale.

Une seule mesure pour l’espace et le temps Puisque la vitesse de la lumière c est absolue, on peut utiliser une même unité pour mesurer l’espace et le temps. Les astronomes utilisent par exemple l’année (temps) et l’année-lumière (distance). Nous nous proposons, pour la suite, de noter x ou x’ une distance, et ct ou ct’ une durée qui s’exprime dans la même unité que x.

La transformation de Lorentz Le changement de repère inertiel relativiste se fait par la transformation de Lorentz. Cette transformation conserve L’inertie (un objet en mouvement uniforme reste en mouvement uniforme), La vitesse de la lumière, Les équations de l’électromagnétisme, Le sens du temps et l’orientation dans l’espace. Mais contrairement au changement de repère classique, la transformation de Lorentz ne conserve pas le temps d’un repère à l’autre.

Représentation géométrique de la transformation de Lorentz Considérons deux repères inertiels se déplaçant l’un par rapport à l’autre à une vitesse v telle que v/c = 60% (c’est-à-dire v = 180 000 km/s) La page suivante est une représentation géométrique de cette transformation.

Repère R’ axe des x’ (ct’=0) axe des x (ct=0) Cône de lumière sens croissant (vers l’avant) Le rayon lumineux, circulant à contre-sens de R’, parcourt le même chemin en 2 fois plus de temps et de distance dans le repère R’ que dans B (deux carreaux rouges pour un bleu). axe des ct’ (x’=0) Vitesse = 60% celle de la lumière axe des ct (x=0) Repère R’ Symétriquement, le rayon lumineux, circulant dans le sens de R’, parcourt le même chemin en 2 fois moins de temps et de distance dans le repère R’ que dans B (un carreau rouge pour deux bleus). Repère B 1 année-lumière 1 année Cône de lumière sens décroissant (vers l’arrière)

Contraction des longueurs Supposons que le repère R’ est celui d’un vaisseau rapide, de longueur une unité. Mesuré dans le repère B, cette longueur paraît plus courte, ici elle ne fait que 80%. Symétriquement, une longueur d’une unité du repère B paraît plus courte dans la même proportion.

Repère R’ axe des x’ (ct’=0) axe des x (ct=0) Cône de lumière sens croissant (vers l’avant) L’unité de longueur de R’, mesurée au même instant de B, c’est la trace sur l’axe ct=0 d’un carreau rouge, qui paraît plus courte que l’unité de longueur de B. axe des ct’ (x’=0) On remarque que le passage au même instant dans B des deux extrémités de l’objet solidaire de R’ se fait à des instants différents de R’. axe des ct (x=0) Ce phénomène s’observe symétrique- ment dans R’: l’unité de longueur de B mesurée au même instant de R’, paraît plus courte que l’unité: elle vaut moins d’un côté du carreau rouge. Repère R’ Repère B Cône de lumière sens décroissant (vers l’arrière)

Dilatation des temps Mesurons, dans le repère B, le temps qu’il faut à l’horloge de R’ située en x’=0 pour passer de ct’=0 à ct’=1. Pour cela on recherche dans B la droite parallèle à l’axe (ct=0) et passant par l’événement (x’=0; ct’=1).

Repère R’ axe des x’ (ct’=0) axe des x (ct=0) Cône de lumière sens croissant (vers l’avant) Mesuré dans B, le moment où l’horloge solidaire de R’, située à x’=0, passe à la valeur ct’=1, est plus tard que ct=1. axe des ct’ (x’=0) axe des ct (x=0) De manière symétrique, mesuré dans R’, le moment où l’horloge de B passe par la valeur ct=1 est plus tard que ct’=1. Repère R’ Repère B Cône de lumière sens décroissant (vers l’arrière)

Paradoxe des jumeaux L’un de deux jumeaux reste dans un repère inertiel, tandis que l’autre entreprend un voyage à très grande vitesse puis revient dans le repère inertiel de son frère. Celui qui voyage vieillit moins que son frère.

Repère R’ axe des x’ (ct’=0) axe des ct’ (x’=0) axe des x (ct=0) Repère B 1 année-lumière axe des ct (x=0) 1 année Le jumeau voyageur quitte le point x=0 à l’instant ct=0 du repère B, et se rend à la vitesse 0,6 c au point x=1,2 années-lumière Voyageant à la vitesse 0,6 c, il lui faut 2 années pour ce voyage, vu du repère B. Mais dans son repère propre, dans lequel il est immobile, il lui faut seulement 1,6 ans.

Supposons que le voyageur rebrousse immédiatement chemin, comme s’il rebondissait sur son objectif. Par symétrie, il va prendre 2 ans du repère B pour rentrer. 1 année-lumière Repère B axe des ct (x=0) 1 année axe des x (t=0) Mais dans le repère propre de son voyage de retour, il lui faut seulement 1,6 ans Bilan: en 4 ans, le jumeau voyageur n’a vieilli que de 3,2 ans.

Observation de ce phénomène La vérification de ce paradoxe sur des humains nécessiterait des énergies énormes, non accessibles à ce jour. On a pu toutefois l’observer en faisant faire le tour du monde en avion en sens opposés à deux horloges atomiques. La première horloge, volant vers l’Ouest, suit le soleil et est donc presque immobile dans un repère galiléen lié aux étoiles. Le seconde vole vers l’Est et suit donc un mouvement circulaire à plus grande vitesse angulaire autour de l’axe terrestre que la première. Elle change de vitesse linéaire de manière plus importante. On constate que la seconde horloge retarde très légèrement par rapport à la première.

Aller plus loin ? Cette présentation vous a permis, j’espère, d’appréhender la Relativité restreinte avec des représentations géométriques plus concrètes que les formules. Les espaces de Minkowski (entre autres) ont permis à Einstein de construire la Relativité générale, selon laquelle l’espace à 4 dimensions (3 dimensions d’espace, une de temps) est déformé par les masses. Mais avant d’aborder ces espaces déformés, il est utile de comprendre les représentations précédentes, qui sont une extension simples des notions apprises au lycée.

Merci de votre attention Louis-Aimé de Fouquières Paris, mars 2017

Pour amateurs de formules algébriques… Annexes: formules

Changements de repère orthonormé Le point (x = 1; y = 1) se projette en (x’ = 1,366; y’ = 0,366) axe des y’ (x’=0) axe des y (x=0) axe des x’ (y’=0) angle α (ici 30 degrés) axe des x (y=0)

Formules de changement de repère orthonormé x’ = x cos α + y sin α y’ = – x sin α + y cos α Et inversement x = x’ cos α – y’ sin α y = x’ sin α + y’ cos α Où : α = angle entre les axes des deux repères, ici 30° ou π/6 radians cos α : cosinus (α), ici √̅3/2 ≈ 0,866 sin α : sinus de l’angle α, ici 1/2. Si l’on fait un changement vers un 3e repère d’angle β avec le 2e, on passe du 1er au 3e par un changement d’angle α + β.

Les lignes hyperboliques Ces fonctions ressemblent aux lignes trigonométriques cosinus hyperbolique : ch α = (e α + e −α ) 2 sinus hyperbolique : sh α = (e α − e −α ) 2 tangente hyperbolique : th α = sh α ch α

Formules générales de la transformation de Lorentz ch: cosinus hyperbolique α, ch α >= 1 α, ch α = ch(-α) ε petit: ch(ε) ≈ 1+ ε²/2 sh: sinus hyperbolique sh 0 = 0 α, sh α = –sh(-α) ε petit: sh(ε) ≈ ε th: tangente hyperbolique = sh/ch α, -1 < th α < 1 La composition de deux transformations de Lorentz d’arguments α et β est une transformation de Lorentz d’argument (α + β) x’ = x ch α – ct sh α ct’ = ct ch α – x sh α Et réciproquement: x = x’ ch α + ct’ sh α ct = ct’ ch α + x’ sh α Où α est tel que th α = v/c (pour x’=0, il vient: x = ct sh α / ch α = v t)

Coefficients particuliers de l’exemple présenté th α = v/c = 0,6 => α ≈ 0,693 ch α = 1,25 ; sh α = 0,75 x’ = 1,25 * x – 0,75 * ct ct’ = 1,25 * ct – 0,75 * x ch α + sh α = 2 ; ch α – sh α = 0,5

Coefficients des exemples Coefficient de contraction des longueurs : 1 ch α = 1 / 1,25 = 0,8 Coefficient de dilatation des temps : ch α = 1,25