Plans d’expériences: Plans factoriels

Plan Introduction Méthode des plans d’expériences Plans factoriels Etude de cas Plans factoriels fractionnaires Conclusion

La démarche scientifique consiste en : Définition des butsproblèmes à résoudre dans le monde pratique Analyse des problèmes Définition des contextes Recherche de savoir pour résoudre le problème; si insuffisanceappel à l’expérimentation Elaboration de modèles=outils(logiciel, matériel, procédure humaine

Unités expérimentales Effet blocs perturbations Paramètres Fixes ou à Contrôler = traitements Unités expérimentales résultats Modèle à priori Mesure de paramètres Rétroaction sur les paramètres à contrôler Tests statistiques Vérifications expérimentales Schéma d’une expérience Modèle définitif

La démarche classique une grandeur Y appelée réponse dépend de variables X1, X2, ... , Xn appelées facteurs. On cherche à modéliser la relation entre Y et les facteurs : par une fonction à plusieurs variables ; exemple fréquemment pris : une relation linéaire Y = a0 + a1.X1 + a2.X2 + ... , an.Xn Les coefficients ai sont alors à déterminer. Méthode classique d'étude : mesure de la réponse Y pour plusieurs valeurs de la variable Xi tout en laissant fixe la valeur des (n - 1) autres variables. Puis itération pour chacune des variables. Exemple : s'il y a 4 variables et si on donne 5 valeurs expérimentales à chacune d'elles : 54 = 625 expériences.

Inconvénients Nombre élevé d’expériences (temps, coût) Incertitude

Méthode des plans d’expérience Inventée vers 1920 par le statisticien Britannique Ronald Fisher pour les études agronomiques. Nouveauté: On fait une expérimentation factorielle, tous les facteurs varient simultanément ! Ceci permet de diminuer l'incertitude sur les résultats des calculs, pour une incertitude donnée des mesures de base.

Définition: Un plan d’expériences est une suite d’essais organisés de manière à déterminer en un minimum d’essais et avec un maximum de précision, l’influence de plusieurs paramètres sur une ou plusieurs réponses.

Démarche d’un plan d’expérience: Définition des objectifs et des moyens: choix des facteurs à étudier choix du type de modèle Construction du plan Réalisation des essais Analyse des résultats et interprétation Validation des résultats

Plans factoriels Parmi les différents plans expérimentaux, les plans factoriels sont courants car ils sont les plus simples à mettre en œuvre et ils permettent de mettre en évidence très rapidement l'existence d'interactions entre les facteurs.

Hypothèse de base: Assigner à chaque facteur (normalisé) sa valeur la plus basse ( − 1) et sa valeur la plus haute ( + 1). Ainsi, pour k facteurs, on se retrouve avec un ensemble de 2k valeurs possibles. Ainsi, si on a k facteurs (ou variables),il y a 2k expérimentations à faire.

Remarque: Les plans à deux niveaux sont très utilisés parce qu’ils sont économiques en nombre d’essais, mais il n’y a aucune raison de ne pas considérer des plans ayant des facteurs prenant plus de deux niveaux. Il faut donner à chaque facteur le nombre de niveaux nécessaires aux exigences de l’étude. Dans la suite, on se contentera du plan à deux niveaux.

Définition de l’effet moyen, l’effet global Cas d’un seul facteur X1 : Y = a0 + a1.X1 Par définition: l'effet global est, par définition: y2 - y1 l'effet moyen est, par définition, a1 = la réponse moyenne (pour X1 = 0) est, par définition: a0 = expérience Valeur de X1 Réponse 1 -1 (valeur min de X1 ) Y1 2 +1 (valeur max de X1 ) Y2

Cas de deux facteur (X1 , X2): Y = a0 + a1.X1 + a2.X2 expérience Valeur de X1 Valeur de X2 Réponse Y 1 -1 Y1 2 +1 Y2 3 Y3 4 Y4 Quand X1 est au niveau -1, on a la réponse moyenne : Quand X1 est au niveau +1, on a la réponse moyenne : L'effet global de X1 est donc : et l'effet moyen de X1 est donc : a1 = la valeur théorique pour X1 = 0 étant : a0 = Pour X2: l’eff.global: , l’eff.moy a2 =

Remarque: Dans le cas précédent, on n’a pa tenu compte de l’intéraction entre X1 et X2. En effet, : si on prend y1 = 51, y2 = 75, y3 = 65 et y4 = 80, On fixe X1 à sa valeur max, l'effet moyen de X2 est : (y4- y2)/2= 2.5 On fixe X1 à sa valeur min, l'effet moyen de X2 est: (y3- y1)/2= 7 On voit bien que la valeur de l’effet moyen de X2dépend de la valeur de X1 il y a donc interaction entre les deux facteurs.

Cette interaction entre les deux facteurs est considérée comme un nouveau facteur et a un effet global et un effet moyen : c'est la demi-variation de l'effet moyen de X2 lorsque X1 passe du niveau bas au niveau haut : a12 = L’équation devient donc: Y = a0 + a1.X1 + a2.X2 + a12. X1X2

Etude de cas: Un industriel cherche à augmenter le rendement de sa fabrication. Il prépare un médicament à partir de plantes naturelles et cherche à améliorer le rendement d'extraction du principe actif. L'extraction est effectuée en présence de chlorure de sodium dont la concentration est de 50 g/l et à une température de 70°C. L'industriel décide d'étudier ces deux facteurs et de les faire varier autour des consignes normales de fonctionnement.

Définition du problème On choisit pour cette étude un plan factoriel 22 défini par l’équation: Y = a0 + a1.X1 + a2.X2 + a12. X1X2

les facteurs et le domaine d'étude : Facteur X1 : concentration en chlorure de sodium entre 40g et 60 g. Facteur X2 : température entre 60°C et 80°C. La réponse est la masse de produit actif fabriqué.

Plan d’expériences et résultats expérimentaux Valeur de X1 Valeur de X2 Réponse( masse) 1 -1 Y1 = 115 g 2 +1 Y2 = 185 g 3 Y3 = 104 g 4 Y4 = 156 g Niveau -1 40g/l 60°C Niveau +1 60g/l 80°C

Effet moyen de l’interaction Interprétation Tableau des effets: a0= a1= a12= a2= Moyenne a0= 140 g Effet moyen de X1 a1= 30.5 g Effet moyen de X2 a2= -10 g Effet moyen de l’interaction a12= -4.5 g

Effet de la concentration en chlorure de sodium et de la température sur le rendement en produit actif Masse Masse 170.5 +30.5 140 150 140 130 -10 109.5 -1 0 1 -1 0 1 40% 80% 40°C 80°C Concentration en NaCl Température

Analyse des résultats L’effet de la concentration est de 30,5g pour une variation de 10g en Na Cl. On peut donc améliorer la production en augmentant la concentration en chlorure de sodium. L’effet de la température est de -10g pour une variation de 10°C.Il en résulte qu’il faut baisser la température pour améliorer le rendement.

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux Les plans factoriels fractionnaires sont des plans factoriels qui permettent d'étudier tous les facteurs mais dont le nombre d'essais est réduit par rapport aux plans factoriels complets. Un plan factoriel fractionnaire à 2 fois moins, ou 4 fois moins ou 2q fois moins d'essais que le factoriel complet correspondant.

Notation des plans factoriels fractionnaires On note plan fractionnaire 2k-q Le k signifie qu'il y a k facteurs étudiés. Le 2 signifie que chaque facteur prend deux niveaux. Le q signifie que le nombre d'essais du plan a été divisé par 2q.

Conclusion: Avec les plans d'expériences on obtient le maximum de renseignements avec le minimum d'expériences .c’est une façon indispensable de procéder chaque fois que les essais et les erreurs se traduisent par des coûts humains, de la souffrance animale ou des dommages financiers

Merci pour votre attention