Exercice 3 : Soient A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ) dans un repère ( U ; m ; n ). 1°) Déterminez le point C pour que le quadrilatère AEDC soit.

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Le triangle. 2 SOMMAIRE Définition Triangles particuliers Propriétés d'un triangle isocèle Propriétés d'un triangle équilatéral Construction d'un triangle.

VECTEURS. I Translation II Vecteurs III Somme de vecteurs IV Produit d ' un vecteur par un réel V Coordonnées d ' un vecteur.

Géométrie-Révisions mathalecran d'après

1 Le CÔNE DROIT. 2 Définition : ∅D∅D H Axe Le cône est défini par : - La hauteur H  Distance entre la Directrice et le sommet. - la génératrice G. -

II Opérations avec des vecteurs

dans le triangle rectangle

PROGRAMME DE CONSTRUCTION

Démonstration conjectures propriétés vraie.

Touches 1,2,3 pour faire apparaître les carrés sur les 3 côtés.

SÉQUENCE A LA RÈGLE ET AU COMPAS.

Exercice 11 Soient les points A et B sur une droite d

Exercice 1 Soient le point A( 2 ; 5 ) et la droite d d’équation y = 3x – 1 dans un repère orthonormé. Déterminez l’équation de la droite d’, perpendiculaire.

Exercice 4 Soient les points A( - 1 ; - 1 ), B( 2 ; - 2 ) et C( 0 ; 2 ) dans un repère orthonormé. 1°) Le triangle ABC est-il isocèle ? Équilatéral ? Rectangle.

III Fonctions cosinus et sinus d’un réel.

Capsule pédagogique 4.3 Mathématiques 7e

© Hachette Livre 2016, Mathématiques Cycle 4, collection Kiwi.

PROGRAMME DE CONSTRUCTION

Géométrie Leçon 3.

A B C Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit I le milieu de [BC].

Angle et parallélogramme

Plus le périmètre d'une figure est petit, plus son aire est petite.

Tracer un polygone de sommets A(1,1), B(4,1), C(5,4) et D(2,4).

Repérage dans le plan III Les repères du plan 1°) Définition :

La plus courte distance

© Hachette Livre 2016, Mathématiques Cycle 4, collection Kiwi.

Exercice 4 Soient les points A( - 1 ; - 1 ), B( 2 ; - 2 ) et C( 0 ; 2 ) dans un repère orthonormé. 1°) Le triangle ABC est-il isocèle ? Équilatéral ?

Démonstration du théorème

Transformations de figure, Thalès

Le point de partage d’un segment

A H C « projeté orthogonal de B sur (AC) ».

Distance Entre Deux Points

On a une infinité d’angles remarquables !

Exercice 3 : on utilisera les vecteurs et on fera des figures.

Exercice 5 : Soit la pyramide à base carré contenue dans un cube de côté a. Déterminez sa perspective cavalière, son patron avec tous ses angles, l’aire.

Exercice 1 : 1°) ABCD un quadrilatère quelconque, et les 4 milieux M, N, P et Q des côtés. Démontrez que MNPQ est un…

Relation Pythagore #2 (Trouver la longueur de l’hypothénuse)

Exercice 2 1°) ABCD un trapèze, et M et N les milieux respectifs de [BC] et [DA]. On pose AB = a ; CD = b ; MN = c Démontrez que c = ( a + b ) / 2.

Chapitre 5 : A la règle et à l’équerre

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Exercice 3 : Soit la pyramide à base carré BCDE de côté a, et dont les faces ABC et ADC sont des triangles rectangles isocèles en C. Déterminez sa perspective.

5°) Les symétries : Symétrie centrale : le symétrique B d’un point A par rapport à un point C est tel que … C A.

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Chapitre 7 : Figures usuelles

Projection, cosinus et trigonométrie.

Exercice 7 DAF = ABG. Démontrez que le cercle de diamètre [GF] passe par D et H. G H D F C.

Distance entre deux points

Exercice 3 : Soient 2 triangles DBC et ABC.

1 LES QUADRILATERES. 2 Quadrilatère Rectangle Losange Carré Cerf-volant.

Exercice 1 : Déterminez à quel ensemble appartient 1/x dans les cas suivants : 1°) 0 < x ≤ 3 2°) – 2 < x < 0 3°) x < – 5 4°) x ≥ 7 On pourra justifier.

On a une infinité d’angles remarquables !

Exercice 2 : Soient les points A( - 3 ; 1 ), B( 3 ; - 2 ); C( 4 ; 0 ), D( 0 ; y ), et E( 1 ; z ). 1°) Déterminez y pour que les droites (AB) et (CD)

Exercice 5 : Soit la pyramide régulière à base carrée

Exercice 5 : Soient les courbes des fonctions définies sur R par f(x) = 8x² - 8x – 10 et g(x) = 2x² - 8x °) Déterminez les points d’intersections.

Fabienne BUSSAC QUADRILATERES 1. LOSANGE

Exercice 3 : Soient les points A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) dans un repère orthonormé. G est le milieu de [DC]. 1°) Démontrez.

Exercice 5 : 1°) Déterminez son ensemble de définition.

II Fonctions polynômes degré 2

Géomdrive segpachouette.wordpress.com.

Transcription de la présentation:

Exercice 3 : Soient A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ) dans un repère ( U ; m ; n ). 1°) Déterminez le point C pour que le quadrilatère AEDC soit un parallélogramme.

Exercice 3 : Soient A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ) dans un repère ( U ; m ; n ). Déterminez le point C pour que le quadrilatère AEDC soit un parallélogramme. A E C D

AEDC est un parallélogramme AE = CD On connait les points A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ), on veut déterminer C( x ; y ). A E C D

A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ), D( 5 ; - 1 ). Je nomme C( x ; y ). C D A E 7 – (-2) 5 – x 9 5 – x AE = CD 4 – 3 = (-1) – y 1 = - 1 – y 5 – x = 9 - x = 9 – 5 = 4 x = - 4 - 1 – y = 1 - y = 1 + 1 = 2 y = - 2 Réponse C( - 4 ; - 2 )

Soient B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ). Exercice 3 : Soient B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ). 2°) Vérifiez par une autre méthode que le quadrilatère BHGF est un parallélogramme.

Exercice 3 : Soient B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ). 2°) Vérifiez par une autre méthode que le quadrilatère BHGF est un parallélogramme. C’est un parallélogramme si…

Exercice 3 : Soient B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ). 2°) Vérifiez par une autre méthode que le quadrilatère BHGF est un parallélogramme. C’est un parallélogramme si ses diagonales se croisent en leurs milieux. Détermination des coordonnées des deux milieux des diagonales :

2°) B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ) 2°) B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ). BHGF est un parallélogramme. B H F G ½(xB+xG) ½( 5 + 0 ) 2,5 M milieu de [BG] M = = ½(yB+yG) ½( (-3)+2) ) - 0,5

2°) B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ) 2°) B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ). BHGF est un parallélogramme. B H F G ½(xB+xG) ½( 5 + 0 ) 2,5 M milieu de [BG] M = = ½(yB+yG) ½( (-3)+2) ) - 0,5 ½(xF+xH) ½( (-2) + 7 ) 2,5 N milieu de [FHG] N = = ½(yF+yH) ½( 1 + (-2) ) - 0,5

M milieu de [BG] M( ½(xB+xG) ; ½(yB+yG) ) Soient B( 5 ; - 3 ), F( - 2 ; 1 ), H( 7 ; - 2 ) et G( 0 ; 2 ). M milieu de [BG] M( ½(xB+xG) ; ½(yB+yG) ) M( ½(5+0) ; ½((-3)+2) ) M( 2,5 ; - 0,5 ) N milieu de [FH] N( ½(xF+xH) ; ½(yF+yH) ) N( ½((-2)+7) ; ½(1+(-2)) ) N( 2,5 ; - 0,5 ) M et N ont les mêmes coordonnées, donc ils sont confondus, donc les diagonales se coupent en leurs milieux, donc BHGF est un parallélogramme.

3°) C( - 4 ; - 2 ). Le parallélogramme AEDC est-il un rectangle ? Exercice 3 : Soient A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ) dans un repère ( U ; m ; n ). 3°) C( - 4 ; - 2 ). Le parallélogramme AEDC est-il un rectangle ?

3°) C( - 4 ; - 2 ). Le parallélogramme AEDC est-il un rectangle ? Exercice 3 : Soient A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ) dans un repère ( U ; m ; n ). 3°) C( - 4 ; - 2 ). Le parallélogramme AEDC est-il un rectangle ? S’il est rectangle, ...

Exercice 3 : Soient A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ) dans un repère ( U ; m ; n ). 3°) C( - 4 ; - 2 ). Le parallélogramme AEDC est-il un rectangle ? S’il est rectangle, il y a 4 angles droits aux 4 sommets.

Exercice 3 : Soient A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ) dans un repère ( U ; m ; n ). 3°) C( - 4 ; - 2 ). Le parallélogramme AEDC est-il un rectangle ? S’il est rectangle, il y a 4 angles droits aux 4 sommets. On va donc étudier …

Exercice 3 : Soient A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ) et D( 5 ; - 1 ) dans un repère ( U ; m ; n ). 3°) C( - 4 ; - 2 ). Le parallélogramme AEDC est-il un rectangle ? S’il est rectangle, il y a 4 angles droits aux 4 sommets. On va donc étudier un seul angle au sommet.

A E C D Etudions l’angle en A : s’il est droit, alors ….

A E C D Etudions l’angle en A : s’il est droit, alors Pythagore est vrai.

A E C D Etudions l’angle en A : s’il est droit, alors Pythagore est vrai. AE² + AC² = CE² ?

AE² + AC² = CE² ? Détermination des distances : un collégien pourrait les placer sur un graphe mais c’est imprécis et on ne connaît rien du repère. un lycéen pourrait calculer les distances mais … la relation || u || = x² + y² n’est valable que pour les repères orthonormés.

AE² + AC² = CE² ? La relation || u || = x² + y² n’est valable que pour les repères orthonormés. On va donc faire une hypothèse : celle que le repère que l’on nous a donné est orthonormé. Dans ce cas, AE = || AE || = x² + y² A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ), D( 5 ; - 1 ), et C( - 4 ; - 2 ). AE = ( 7 – (-2) ; 4 – 3 ) = ( 9 ; 1 ) donc || AE || = 9² + 1² = √82

AE² + AC² = CE² ? La relation || u || = x² + y² n’est valable que pour les repères orthonormés. On va donc faire une hypothèse : celle que le repère que l’on nous a donné est orthonormé. A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ), D( 5 ; - 1 ), et C( - 4 ; - 2 ). AE = ( 7 – (-2) ; 4 – 3 ) = ( 9 ; 1 ) donc || AE || = 9² + 1² = √82 Même méthode : AC = ( (-4) – (-2) ; (-2) – 3 ) = ( - 2 ; - 5 ) donc || AC || = (-2)² + (-5)² = √29 CE = ( 7 - (-4) ; 4 - (-2) ) = ( 11 ; 6 ) donc || CE || = 11² + 6² = √157

AE² + AC² = CE² ? La relation || u || = x² + y² n’est valable que pour les repères orthonormés. On va donc faire une hypothèse : celle que le repère que l’on nous a donné est orthonormé. A( - 2 ; 3 ), E( 7 ; 4 ), D( 5 ; - 1 ), et C( - 4 ; - 2 ). AE = ( 7 – (-2) ; 4 – 3 ) = ( 9 ; 1 ) donc || AE || = 9² + 1² = √82 Même méthode : AC = ( (-4) – (-2) ; (-2) – 3 ) = ( - 2 ; - 5 ) donc || AC || = (-2)² + (-5)² = √29 CE = ( 7 - (-4) ; 4 - (-2) ) = ( 11 ; 6 ) donc || CE || = 11² + 6² = √157 AE² + AC² = CE² ? (√82)² + (√29)² = (√157)² ? 82 + 29 = 157 ? FAUX !

Pythagore est-il vérifié ? AE² + AC² = CE² ? (√82)² + (√29)² = (√157)² ? 82 + 29 = 157 ? 111 = 157 ? NON Donc l’angle en A n’est pas droit, donc le parallélogramme n’est pas un rectangle.

Autre méthode : Les diagonales ont-elles mêmes longueurs ? Le repère est orthonormé donc ||u|| = x² + y²

Autre méthode : Les diagonales ont-elles mêmes longueurs Autre méthode : Les diagonales ont-elles mêmes longueurs ? Le repère est orthonormé donc ||u|| = x² + y² A E C D AD = ( 5 – (- 2) ; (- 1) - 3 ) = ( 7 ; -4 ) donc ||AD|| = 7² + (-4)² = √65 CE = ( 7 – (- 4) ; 4 - (- 2 ) ) = ( 11 ; 6 ) donc ||CE|| = 11² + 6² = √157 AD ≠ CE donc les diagonales n’ont pas même longueur, donc le parallélogramme AEDC n’est pas un rectangle.