Compétences et exemples d’utilisation LA PROPORTIONNALITE Compétences et exemples d’utilisation

CYCLE 3 : les compétences Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité Procédures personnelles en utilisant des raisonnements personnels appropriés (dont des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unités). 

Exemple 1 : Linéarité 200 40 800 160 400 80 + 1 000 200 :2 x2 Masse de fruits ( g ) Masse de sucre ( g ) 400 80 + 1 000 200 Énoncé:Il faut 400 g de fruits avec 80 g de sucre pour faire une salade de fruits. Quelle quantité de sucre est nécessaire pour 1000 g de fruits? Première méthode : linéarité Pour 800 g de fruits (deux fois plus), il faut deux fois plus de sucre donc 160 g, et pour 200 g de fruits, (deux fois moins), il faut deux fois moins de sucre donc 40 g.Pour 1000 g (800 g + 200 g) de fruits, il faut donc 200 g (160 g + 40 g)de sucre. Deuxième méthode: coefficient de proportionnalité sur des exemples concrets La masse de sucre est cinq fois plus petite que la masse de fruits; il faut donc 200 g de sucre pour 1000 g de fruits (1000 : 5 = 200)

Exemple 2 : passage à l’unité Ville A Ville B 7 cm Énoncé:2 cm sur le papier représentent 5 km sur le terrain.La distance à vol d’oiseau entre deux villes est de 7 cm. Quelle est la distance réelle? Le raisonnement peut être du type :1 cm représente 2,5 km (deux fois moins) donc 7 cm sur le papier représentent 17,5 km (7 fois plus que 1 cm)ou 6 cm + 1 cm correspond à 15 km + 2,5 km.

Exemple 3 : expérience Tu as 10 ans et tu mesures 1,20m. Quand tu auras 40 ans , mesureras-tu 4,80m ? Le recours à une expérience effective peut être un moyen de vérifier la relation de proportionnalité entre les grandeurs en jeu par exemple la relation entre quantité de liquide et hauteur atteinte dans un verre cylindrique, La relation entre longueurs du côté et de la diagonale d’un carré… Dans tous les cas, les situations doivent être concrètes (par exemple comparaison d’un verre doseur cylindrique et d’un verre doseur conique (en lien avec le programme de sciences)) et ne pas oublier les situations de non proportionnalité.

Exemple 4 : graduation x Place la graduation 500 sur cette droite 100 Activités de placements de nombres sur une droite partiellement graduée par exemple : placer 50 et 500 sur une droite sur laquelle sont déjà placés 0 et 200.

SIXIEME : les compétences Problèmes de proportionnalité : passage par l’image de l’unité rapport de linéarité coefficient de proportionnalité  Appliquer un taux de pourcentage  Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et celles qui n’en relèvent pas Les problèmes à proposer se situent dans le cadre des grandeurs (quantités et mesures)

Exemple : linéarité puis coefficient Agrandissement de puzzle (puzzle de Brousseau) Soit le puzzle suivant, vous devez en fabriquer un, semblable au modèle, mais tel que le segment qui mesure 4 cm sur le modèle mesure 6 cm sur le modèle agrandi. (cet exemple est mis en annexe)

Exemple : proportionnel ou non? À partir de ces relevés, on répond à des questions du style : Si on prend deux fois plus de farine, la hauteur est-elle deux fois plus grande? On a la hauteur pour 25 g et pour 75 g, quelle est la hauteur dans les deux cas pour 100 g? …

CINQUIEME : Les compétences: Compléter un tableau de proportionnalité (notamment calcul d’une 4ème proportionnelle) Reconnaître si un tableau est ou non de proportionnalité Proportionnalité à mettre en œuvre pour : Pourcentages Echelles Mouvement uniforme En classe de 5ème, la proportionnalité occupe toujours une place centrale. Tout comme en sixième, on complète des tableaux de proportionnalité en utilisant : Passage à l’unité Linéarité Coefficient 4ème proportionnelle sans produits en croix en 5ème Les problèmes de tableaux de nombres sans lien avec un contexte sont à limiter ET au contraire profiter de l’occasion pour travailler sur des exemples tels que les suivants:

Exemple 1: variation d’une grandeur On fixe le rayon d’un cylindre Le volume est-il proportionnel à la hauteur ? On fixe la hauteur d’un cylindre Le volume est-il proportionnel au rayon ? Piste d’exos Faire compléter un tableau pour chaque question Tester si c’est un tableau de proportionnalité

Exemple 2: Echelle L’échelle de la carte est 1:250 000

Echelle

Echelle

Echelle

Echelle

Exemple 3: graphique ABSCISSE DU POINT ORDONNEE   ORDONNEE La constitution d’un tableau des abscisses et ordonnées de points d’une droite passant par l’origine dans le plan muni d’un repère amène à une première reconnaissance de la proportionnalité par une propriété graphique

QUATRIEME :

Déterminer une quatrième proportionnelle. 5 14 9 ? La méthode des « produits en croix » est une nouveauté en 4ème et doit être justifiée (en lien avec l’égalité de quotients dans la partie  « nombres et calculs:ordre et opérations ») Trouver des fractions égales par méthode non imposée par exemple Trouver des écritures fractionnaires égales quand cela pose problème pour les élèves : « ce n’est pas un nombre décimal » Questions? Comment sont formatés nos élèves : normalement ils ne « connaissent pas le produit en croix » mais en fait … qu’en est-il réellement en mathématiques? En sciences physiques? En SVT? Comment en mathématiques leur faire comprendre que l’affichage de la machine n’est pas souvent la réponse attendue…?

l’alignement de points 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Utiliser dans le plan muni d’un repère, la caractérisation de la proportionnalité par l’alignement de points avec l’origine.

Théorème de Thalès « Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes » Dans les exemples, utiliser aussi la géométrie avec le «petit » théorème de THALES pour revenir au calcul d’une quatrième proportionnelle qui donne ou ne donne pas un nombre décimal : quelle est la réponse attendue en « numérique » et en « géométrie »?

proportionnel ou non? Angle 30° 60° cosinus 0,866… 0,5 Montrer par des exemples simples que le cosinus n’est pas proportionnel à la mesure de l’angle Ici, l’angle double et pas le cosinus (même si on en donne une valeur approchée)