Exercice 6 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. Combien de matchs devra disputer chaque équipe ? Combien y aura-t-il de matchs ? A B C D

Exercice 6 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. Combien de matchs devra disputer chaque équipe ? Combien y aura-t-il de matchs ? A B C D Chaque équipe devra disputer 3 matchs ( chaque sommet est de degré 3 ). Il y aura 6 matchs ( il y a 6 arêtes ).

Exercice 7 : Une 5ème équipe est engagée Exercice 7 : Une 5ème équipe est engagée. Tracez le graphe de façon à ce que chaque équipe dispute 4 matchs. Combien de matchs seront alors disputés ? Peut-on faire un tournoi où les 5 équipes disputent chacune 3 matchs ? A E B Il y aura 10 matchs ( car il y a 10 arêtes, ou 5 sommets de degré 4 donne 5×4=20 et 20/2 = 10 ). D C E B 4 équipes ont 3 matchs, et il en manque 1 à C ; si je lui en ajoute 1, l’une des 4 équipes en aura D C alors 4 : il est impossible que les 5 en disputent 3.

Exercice 8 : Une 6ème équipe est engagée Exercice 8 : Une 6ème équipe est engagée. Tracez le graphe de façon à ce que chaque équipe dispute 4 matchs. Combien de matchs seront alors disputés ? Ce graphe est-il complet ? A F B Il y aura 12 matchs ( car il y a 12 arêtes, ou 6 sommets de degré 4 donne 6×4=24 et 24/2 = 12 ). E C D Ce graphe n’est pas complet, car tous les sommets ne sont pas adjacents 2 à 2 ( par exemple A n’est pas relié à D par une arête ).

Combien y aurait-il d’arêtes si le graphe était complet ? A F B E C D 6 sommets reliés aux 5 autres donc 6 × 5 = 30 et 30/2 = 15 arêtes Il y en avait 12, il en manque 3 : AD, CF et EB.

Exercice 9 : Une 7ème équipe est engagée Exercice 9 : Une 7ème équipe est engagée. Peut-on faire un tournoi où les 7 équipes disputent chacune 4 matchs ? 5 matchs ? A B G C On peut faire un tournoi où les 7 équipes disputent chacune 4 matchs. F D E G C Toutes les équipes sauf D ont 5 matchs : si j’en ajoute 1 à D, l’une des autres équipes en aura F D alors 6 : impossible qu’elles en aient toutes 5.

Comment savoir si chacune des N équipes peut disputer n matchs ? …

Comment savoir si chacune des N équipes peut disputer n matchs ? A B G C somme des degrés = 2 × nombre d’arêtes F D 7 × 4 = 2 × 14 N n = 2 A E G C F D

Comment savoir si chacune des N équipes peut disputer n matchs ? A B G C somme des degrés = 2 × nombre d’arêtes F D 7 × 4 = 2 × 14 N n = 2 A E G C donc N ou n doivent être pairs. F D 7 × 5 = 2 A : impossible !

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. A Il y a 12 arêtes donc 12 matchs. F B E C D

Pour travailler méthodiquement, on va placer les matchs sur un cercle ( pour …

Pour travailler méthodiquement, on va placer les matchs sur un cercle ( pour qu’aucune arête ne soit confondue avec une autre ), et dans l’ordre …

Pour travailler méthodiquement, on va placer les matchs sur un cercle ( pour qu’aucune arête ne soit confondue avec une autre ), et dans l’ordre alphabétique ( matchs AB, AC, AD, BC, BD, etc…). On va relier les sommets en sui…

Pour travailler méthodiquement, on va placer les matchs sur un cercle ( pour qu’aucune arête ne soit confondue avec une autre ), et dans l’ordre alphabétique ( matchs AB, AC, AD, BC, BD, etc…). On va relier les sommets en suivant l’ordre alphabétique : on commence par le 1er sommet, puis on s’occupe du 2ème, sans s’occuper comment il est relié à ceux qui le précèdent car on s’en est déjà occupés.

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. A Il y a 12 arêtes donc 12 matchs. F B EF AB E C DF AC D DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Exercice 10 : Les sommets de ce graphe sont des équipes, et les arêtes des matchs d’un tournoi. 1°) Tracez le graphe G dont les sommets sont les matchs, et les arêtes les impossibilités que 2 matchs se déroulent en même temps. EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Combien y a-t-il d’incompatibilités ? EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

Combien y a-t-il d’incompatibilités ? Degrés des sommets : EF6 AB6 DF6 AC6 DE6 AE6 CE6 AF6 BC6 CD6 BF6 BD6

Combien y a-t-il d’incompatibilités ? Somme des degrés des sommets = 12×6 = 72 EF6 AB6 DF6 AC6 DE6 AE6 CE6 AF6 BC6 CD6 BF6 BD6

Combien y a-t-il d’incompatibilités ? Somme des degrés des sommets = 12×6 = 72 donc 72/2 = 36 EF6 AB6 incompatibilités DF6 AC6 DE6 AE6 CE6 AF6 BC6 CD6 BF6 BD6

2°) Déterminez 3 sous-graphes stables. EF et AB AF et BC BF et AC etc… EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

AB ; CD ; EF EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD 3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CD ; EF EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

AB ; CD ; EF AC ; BD EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD 3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CD ; EF AC ; BD EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

AB ; CD ; EF AC ; BD EF AB AE ; BC ; DF DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD 3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CD ; EF AC ; BD EF AB AE ; BC ; DF DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CD ; EF AC ; BD EF AB AE ; BC ; DF DF AC AF ; CE DE AE CE AF BC CD BF BD

3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CD ; EF AC ; BD EF AB AE ; BC ; DF DF AC AF ; CE DE AE BF ; DE CE AF BC CD BF BD

3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CD ; EF AC ; BD EF AB AE ; BC ; DF DF AC AF ; CE DE AE BF ; DE CE AF Mais il y a BC 5 sous-graphes CD stables et non 4. BF BD

AB ; CE ; … ? EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD 3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CE ; … ? EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

AB ; CE ; DF EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD 3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CE ; DF EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

AB ; CE ; DF AC ; BD ; EF EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD 3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CE ; DF AC ; BD ; EF EF AB DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CE ; DF AC ; BD ; EF EF AB AE ; BF ; … ? DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CE ; DF AC ; BD ; EF EF AB AE ; BF ; CD DF AC DE AE CE AF BC CD BF BD

3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CE ; DF AC ; BD ; EF EF AB AE ; BF ; CD DF AC AF ; BC ; DE DE AE CE AF BC CD BF BD

3°) Trouvez une partition de G en 4 sous-graphes stables, et en déduire une organisation précise du tournoi. AB ; CE ; DF AC ; BD ; EF EF AB AE ; BF ; CD DF AC AF ; BC ; DE DE AE CE AF 4 sous-graphes BC stables. CD BF BD

On peut donc organiser le tournoi en 4 séries de matchs en parallèle : AB ; CE ; DF AC ; BD ; EF EF AB AE ; BF ; CD DF AC AF ; BC ; DE DE AE CE AF BC CD BF BD