Exercice 1 : ABCD est un carré de côté a de sens direct, et ABE et BFC deux triangles équilatéraux de sens directs. 1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral. 2°) Déterminez la longueur EF. 3°) Démontrez que les points D, E et F sont alignés. 4°) Démontrez que le triangle BFE est isocèle rectangle.

1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral. 1ère méthode : Pythagore dans le triangle EHB : EH² + HB² = EB² donc EH² = EB² - HB² donc h² = a² - (a/2)² a² 4a² a² 3a² √3 donc h = a² - = - = = a 4 4 4 4 2 D C E F A H B

2ème méthode : (EH) est une bissectrice de l’angle en E du triangle EAB, donc l’angle en E du triangle EHB est 60/2 = 30° donc π/6 ( radian ), √3 adjacent h et cos π/6 = = = 2 hypoténuse a donc h = a cos π/6 = a (√3)/2 D C E F A H B

2°) Déterminez EF. D C E F A B

2°) Déterminez EF. Soit le repère orthonormé ( A ; i ; j ). D C E F A B

Soit le repère orthonormé ( A ; i ; j ). Sachant que la hauteur d’un triangle équilatéral est a(√3)/2 D C E F A B

Soit le repère orthonormé ( A ; i ; j ). Sachant que la hauteur d’un triangle équilatéral est a(√3)/2 et que F a pour coordonnées ( x ; y ) dans le repère ( A ; i ; j ) signifie D C E F A B

Soit le repère orthonormé ( A ; i ; j ). Sachant que la hauteur d’un triangle équilatéral est a(√3)/ 2 et que F a pour coordonnées ( x ; y ) dans le repère ( A ; i ; j ) signifie AF = x i + y j on en déduit AF = (a + a(√3)/2 ) i + ½ a j donc F( a + a(√3)/2 ; ½ a ) D C E F A B

Soit le repère orthonormé ( A ; i ; j ). Même méthode : D C E F A B A B C D E F x y

Soit le repère orthonormé ( A ; i ; j ). D C E F A B A B C D E F x a a / 2 a + a(√3)/2 y a(√3)/2

Soit le repère orthonormé ( A ; i ; j ). EF = ( (a+a√3 /2) – a/2 ; a/2 - a√3 /2 ) = ( a/2 + a√3 /2 ; a/2 - a√3 /2 ) D C E F A B A B C D E F x a a / 2 a + a(√3)/2 y a(√3)/2

EF = ( a/2 + a(√3)/2 ; a/2 – a(√3)/2 ) Le repère est orthonormé donc EF = x² + y² a a√3 ² a a√3 ² = + + – 2 2 2 2 a² a a√3 3a² a² a a√3 3a² = + 2 + + – 2 + 4 2 2 4 4 2 2 4 = a² + a² = 2a² = a√2

3°) D, E et F alignés DE et DF colinéaires. DE = DF = D C E F A B A B C D E F x a a / 2 a + a(√3)/2 y a(√3)/2

D, E et F alignés DE et DF colinéaires. DE = ( (a/2) – 0 ; (a(√3)/2) – a ) = ( ½ a ; a((√3)/2 – 1) ) DF = ( (a + a(√3)/2) – 0 ; (a/2) – a ) = ( a((√3)/2 + 1) ; - ½ a ) D C E F A B A B C D E F x a a / 2 a + a(√3)/2 y a(√3)/2

D, E et F alignés DE et DF colinéaires. DE = ( (a/2) – 0 ; (a(√3)/2) – a ) = ( ½ a ; a((√3)/2 – 1) ) DF = ( (a + a(√3)/2) – 0 ; (a/2) – a ) = ( a((√3)/2 + 1) ; - ½ a ) a a √3 √3 x’ y – x y’ = - – a – 1 a + 1 2 2 2 2 a² √3 ² a² -1 a² a² = - - a² - 1² = - - a² = - + = 0 4 2 4 4 4 4 les vecteurs sont colinéaires donc les points sont alignés.

4°) Démontrez que BEF est isocèle rectangle. D C E F A B

4°) Démontrez que BEF est isocèle rectangle. BF = ( a(√3)/2 ; a/2 ) Le repère est orthonormé donc BF = x² + y² a√3 ² a ² 3a² a² = + = + = a² = a idem BE = ( - a/2 ; a(√3)/2 ) 2 2 4 4 donc BE = (- a/2)² + ( a(√3)/2 )² = a²/4 + a²3/4 = a² = a D C BF = BE = a E donc le triangle F est isocèle. A B

4°) Démontrez que BEF est isocèle rectangle. BF = ( a(√3)/2 ; a/2 ) et BE = ( - a/2 ; a(√3)/2 ) Les coordonnées ont été inversées, avec un signe moins en plus : d’après le cours, l’un est orthogonal à l’autre. D C EBF = 90° E donc le triangle F est rectangle. A B

4°) Démontrez que BEF est isocèle rectangle. 2ème méthode ( hors-sujet car sans les vecteurs ) : AB = BC ( carré ) et BC = BE ( triangle équilatéral ABE ) BC = BF ( triangle équilatéral BCF ) donc BF = BE donc BFE est isocèle en E. D C E F A B

4°) Démontrez que BEF est isocèle rectangle. 2ème méthode ( hors-sujet car sans les vecteurs ) : a = c = 60° ( triangles équilatéraux ) et a + b = 90° ( carré ) donc b = 90 – a = 90 – 60 = 30° donc EBF = b + c = 30 + 60 = 90° donc le triangle EBF est rectangle en B. D C ( on peut aussi faire E Pythagore ) F a b c A B