Droites et distances cours 4g3 mathalecran d'après www.mathsenligne.com

6,5 3,5 2,7 2,5 3,9 5,6 22 44 68 90 40 27 90 2,5

2 1,5 2,5 1 2 3

1,1 3,6 0,9 3,1 0,6 1,85

? I. Distance d’un point à une droite : cours la distance AH, où H est le point d’intersection de la droite (d) avec sa perpendiculaire passant par le point A. La distance d’un point A à une droite (d) est C’est la plus courte distance du point A à un point quelconque de la droite (d). Exemple : La droite (AH) est perpendiculaire à la droite (d). (d) A ? H La distance du point A à la droite (d) est ? cm. Remarque : Si le point A appartient à la droite (d), la distance de A à (d) est nulle.

Activité 2.1 a. Mesurer la distance de O aux droites (d1), (d2), (d3), (d4), (d5) et (d6) et récapituler ces mesures dans le tableau. b. Indiquer dans le tableau le nombre de points d’intersection du cercle avec chacune des droites ( 0, 1 ou 2). O (d1) (d2) (d3) (d4) (d5) (d6) (cm) 4,2 1,4 4,3 2,4 4 4 2 2 1 1

Activité 2.1 O (d1) (d2) (d3) (d4) (d5) (d6) Les droites qui n’ont qu’un seul point de contact (d’intersection) avec le cercle sont appelées les tangentes du cercle. La distance de ces droites au centre du cercle est exactement égale au rayon du cercle. (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) 4,2 1,4 4,3 2,4 4 4 2 2 1 1

(d4) 70 M1 90 M4 O 75 (d1) 90 (d2) M2 M3 (d3) Activité 2.2 Les droites (d1), (d2), (d3) et (d4) sont des droites qui coupent le cercle respectivement en M1, M2, M3 et M4. Mesurer l’angle que fait chaque rayon au point d'intersection avec la droite. (d1) (d2) (d3) (d4) O M2 M3 M4 M1 Angle entre [OM1] et (d1) : .......° Angle entre [OM2] et (d2) : .......° Angle entre [OM3] et (d3) : .......° Angle entre [OM4] et (d4) : .......° 70 90 75 90

A est un point du cercle (C) de centre O. II. Tangente à un cercle. A est un point du cercle (C) de centre O. La tangente en A au cercle (C) est la perpendiculaire en A au rayon [OA]. A (d) (d’) B O (C) Exemple : La droite (d) est la tangente en A au cercle (C). La droite (d’) n’est pas tangente en B au cercle (C). Remarques : 1. Le point A est le seul point commun à la droite (d) et au cercle (C). 2. La distance du point O à la droite (d) est égale au rayon du cercle.

b. Que représente la droite (AB) pour l’angle ? Activité 3.1 1. Compléter le tableau : x y O A B 2,1 1,1 2,1 1,1 2. a. Tracer la droite (AB). xOy ˆ b. Que représente la droite (AB) pour l’angle ? xOy ˆ La droite (AB) est la bissectrice de l’angle .

Activité 3.3 1. ABC est un triangle et  est le point de concours des 3 bissectrices des angles de ce triangle. Que peut-on dire du point  par rapport à (AB), (AC) et (BC) ? A  B C  est à égale distance de (AB), (AC) et (BC) . 2. Construire un cercle de centre  dont le rayon est égal à la distance de  à (AB). 3. Que représentent les droites (AB), (AC) et (BC) pour ce cercle ? Les droites (AB), (AC) et (BC) sont des tangentes au cercle. Conclusion : Le point de concours des 3 bissectrices d’un triangle est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle IV. Bissectrices. La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles adjacents égaux. Exemple :  (d) est la bissectrice de l’angle . 𝐴𝐵𝐶 ˆ Propriété : Les bissectrices des 3 angles d’un triangle sont concourantes en un point  , centre du cercle inscrit. Définition : Le cercle inscrit est le plus grand cercle qu'on peut tracer à l'intérieur du triangle.