Eléments de la Théorie des Probabilités STAT S102 Esteban Callejas Perez ecalleja@ulb.ac.be H.4.244

Permutations de 𝑛 objets: Dans un ensemble avec 𝑛 éléments, nous sommes intéressées en savoir combien des arrangements est ce qu’on peut faire quand l’ordre est important. 𝑃 𝑛 =𝑛× 𝑛−1 × 𝑛−2 ×⋯×2×1 𝑃 𝑛 =𝑛! Arrangement de 𝑛 objets 𝑝 à 𝑝: Dans un ensemble avec 𝑛 éléments, nous sommes intéressées en savoir combien arrangements de 𝑝 unités est ce qu’on peut faire si l’ordre est important. 𝐴 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! 𝐴 𝑛 𝑝 =𝑛 𝑛−1 𝑛−2 ⋯ 𝑛−𝑝+1 Arrangement de 𝑛 objets 𝑝 à 𝑝 (avec répétition): Dans un ensemble avec 𝑛 éléments, nous sommes intéressées en savoir combien arrangements de 𝑝 unités est ce qu’on peut faire si l’ordre est important ET on peut aussi répéter des éléments. 𝐴′ 𝑛 𝑝 =𝑛𝑛𝑛⋯𝑛 𝐴′ 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝

Combinaisons de 𝑛 objets 𝑝 à 𝑝: Dans un ensemble avec 𝑛 éléments, nous sommes intéressées en savoir combien des arrangements de 𝑝 unités est ce qu’on peut faire quand l’ordre n’importe pas. 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝐴 𝑛 𝑝 𝑝! 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛! 𝑝! 𝑛−𝑝 ! 𝐶 𝑛 𝑝 = 𝑛 𝑝

L’Ensemble Fondamental Ω d’une expérience aléatoire: Est l’ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience aléatoire. Un Evénement E d’une expérience aléatoire: Est un des résultats possibles de l’expérience aléatoire. Evénement élémentaire: ne contient qu’un seul élément de Ω. Evénement certain: événement qui se réalise toujours. Evénement Impossible: événement qui ne se réalise jamais (∅). ℱ est l’ensemble de tous les événements associés à une expérience aléatoire Si Ω est fini, ℱ correspond à l’ensemble des parties de Ω,désigné par 𝒫 Ω . Si Ω est infini, ℱ contient tous les événements élémentaires, l’événement certain (Ω) et l’événement impossible (∅), ainsi que tous les événements qu’on peut obtenir par les opérations suivants:

Soient 𝐸, 𝐸 1 , 𝐸 2 , ⋯ des événements de ℱ. Egalité: Deux événements 𝐸 1 et 𝐸 2 sont égaux ( 𝐸 1 = 𝐸 2 ) s’ils correspondent au même sous-ensemble de Ω. Implication: La réalisation de 𝐸 1 implique automatiquement celle de 𝐸 2 ( 𝐸 1 ⊂ 𝐸 2 ). Intersection: Les réalisations 𝐸 1 et 𝐸 2 se réalisent conjointement ( 𝐸 1 ∩ 𝐸 2 ). Si 𝐸 1 ∩ 𝐸 2 =∅ alors 𝐸 1 et 𝐸 2 sont mutuellement exclusifs.

Union: Ou moins un de deux événements 𝐸 1 ou 𝐸 2 se réalise ( 𝐸 1 ∪ 𝐸 2 ). Exclusion: L’élément 𝐸 1 se réalise sans que l’élément 𝐸 2 se réalise ( 𝐸 1 \ 𝐸 2 ). Négation (complémentarité): L’élément 𝐸 ne se réalise pas ( 𝐸 =Ω\E).

Définition axiomatique de la Probabilité Soit Ω l’ensemble fondamental associée a une expérience aléatoire, et ℱ la famille des événements construite à partir de Ω. La probabilité 𝑃 ⋅ est une fonction: ℱ ⟼ ℝ 𝐸 → 𝑃 𝐸 Qui satisfait aux trois axiomes suivants: Axiome 1: 𝑃 𝐸 ≥0 pour tout 𝐸∈ℱ. Axiome 2: 𝑃 Ω =1. Axiome 3: Si 𝐸 1 , 𝐸 2 , 𝐸 3 , ⋯ sont mutuellement exclusifs ( 𝐸 𝑖 ∩ 𝐸 𝑗 =∅, ∀𝑖≠𝑗), alors: 𝑃 𝐸 1 ∪ 𝐸 2 ∪ 𝐸 3 ∪⋯ =𝑃 𝐸 1 +𝑃 𝐸 2 +𝑃 𝐸 3 +⋯

Proprieté 1: Si un événement 𝐸 est partitionné en 𝑚 événements 𝐸 1 , 𝐸 2 , ⋯, 𝐸 𝑚 (𝐸= 𝐸 1 ∪ 𝐸 2 ∪⋯∪ 𝐸 𝑚 et 𝐸 𝑖 ∩ 𝐸 𝑗 ≠∅ ∀𝑖≠𝑗), alors: 𝑃 𝐸 =𝑃 𝐸 1 +𝑃 𝐸 1 +⋯+𝑃 𝐸 𝑚 Proprieté 2: Si la réalisation de l’événement 𝐸 1 implique automatiquement la réalisation de l’événement 𝐸 2 ( 𝐸 1 ∩ 𝐸 2 ) , alors: 𝑃 𝐸 1 ≤𝑃 𝐸 2 Proprieté 3: 𝑃 𝐸 ≤1 pour tout événement 𝐸.

Proprieté 4: La probabilité de l’événement complémentaire a 𝐸 (𝑃 𝐸 ) est égale a 1 moins la probabilité de l’événement 𝐸. 𝑃 𝐸 =1−𝑃 𝐸 Proprieté 5: Le complementaire de Ω est ∅. 𝑃 ∅ =1−𝑃 Ω =1−1=0 Proprieté 6: Si 𝐸 1 et 𝐸 2 sont deux événements quelconques: 𝑃 𝐸 1 \ E 2 = 𝑃 𝐸 1 −𝑃 𝐸 1 ∩ 𝐸 2 𝑃 𝐸 2 \ E 1 = 𝑃 𝐸 2 −𝑃 𝐸 2 ∩ 𝐸 1

Loi d’addition: Si 𝐴 et 𝐵 sont deux événements quelconques (A,𝐵∈ℱ): 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 Si 𝐴 et 𝐵 sont mutuellement exclusifs (𝐴∪𝐵=∅), alors: 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 Probabilité conditionnelle: Si 𝐴 et 𝐵 sont deux événements tells que 𝑃 𝐴 ≠0 et 𝑃 𝐵 ≠0, alors: 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 et 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐴 où 𝑃 𝐴 𝐵 probabilité que 𝐴 se realise étant donné que 𝐵 est réalisé. 𝑃 𝐵 𝐴 probabilité que 𝐴 se realise étant donné que 𝐵 est réalisé. Remarque: 𝑃 𝐵|𝐵 = 𝑃 𝐵∩𝐵 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐵 =1

Loi de multiplication: Si 𝐴 et 𝐵 sont deux événements tels que 𝑃 𝐴 ≠0 et 𝑃 𝐵 ≠0, alors: 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐴 ⇒ 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 ⇒ 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐵 ⋅𝑃 𝐴|𝐵 En général: 𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶 =𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐵|𝐴 ⋅𝑃 𝐶|𝐴∩𝐵 Indépendance (stochastique): Si 𝐴 et 𝐵 sont deux événements tells que 𝑃 𝐴 ≠0 et 𝑃 𝐵 ≠0, alors: 𝐴 est indépendant de 𝐵 si et seulement si 𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃 𝐴 . 𝐵 est indépendant de 𝐴 si et seulement si 𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐵 . En général: Deux événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si et seulement si: 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐵

Indépendance (stochastique): Si 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont trois événements tels que 𝑃 𝐴 ≠0, 𝑃 𝐵 ≠0 et 𝑃 𝐶 ≠0, alors: Les événements 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont (stochastiquement) indépendants si et seulement si: 𝑃 𝐴∩𝐵 = 𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐵 𝑃 𝐴∩𝐶 = 𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐶 𝑃 𝐵∩𝐶 = 𝑃 𝐵 ⋅𝑃 𝐶 𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶 = 𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐵 ⋅𝑃 𝐶

Théorème des probabilités totales: Si 𝐸 1 , 𝐸 2 ,⋯,𝐸_𝑚 constitue une partition de Ω ( 𝐸 1 ∪ 𝐸 2 ∪⋯∪ 𝐸 𝑚 et 𝐸 𝑖 ∩ 𝐸 𝑗 =∅ \foral 𝑖≠𝑗), et si 𝐴 est un événement quelconque de ℱ, alors: 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴∩ 𝐸 1 +𝑃 𝐴∩ 𝐸 2 +⋯+𝑃 𝐴∩ 𝐸 𝑚 = 𝑃 𝐸 1 𝑃 𝐴| 𝐸 1 +𝑃 𝐸 2 𝑃 𝐴| 𝐸 2 +⋯+𝑃 𝐸 𝑚 𝑃 𝐴| 𝐸 𝑚 = 𝑗=1 𝑚 𝑃 𝐸 𝑗 𝑃 𝐴| 𝐸 𝑗