L’intégrale indéfinie ou la famille de primitives d’une fonction
Introduction Afin de pouvoir utiliser adéquatement le théorème fondamental du calcul pour calculer des intégrales définies, il faut être capable de déterminer les primitives de la fonction à intégrer, appelée intégrande. la recherche de primitives d’une fonction est essentiellement le processus inverse de la différentiation. Ces primitives ne diffèrent que par une constante. Elles forment alors une famille de fonctions de la forme F(x)+C L’intégrale indéfinie de f est cette famille de primitives et s’écrit : le symbole d’intégration l’intégrande une primitive la constante d’intégration
Primitive versus différentielle Nous pouvons résumer le lien entre la primitive et la différentielle par le schéma suivant : Calculer la différentielle F(x)+C d(F(x)+C)=F’(x) Famille de primitives Différentielle Calculer la famille de primitives
Propriétés des intégrales indéfinies Ces propriétés sont identiques à certaines propriétés de l’intégrale définie Voir page 112 du livre
Changement de variable Comme la recherche de primitives est le processus inverse de la dérivation, Nous allons nous en inspirer pour introduire la technique de changement de variable. Prenons l’exemple suivant : Soit la fonction définie par La dérivée de cette fonction est obtenue de la dérivation en chaîne (ou la dérivée de fonctions composées): En effectuant cette dérivation, on a considéré que la fonction f était une fonction composée où u = (x3 + 2). On devra faire de même pour intégrer.
Exemple d’un changement de variable Comme nous sommes en présence d'une puissance de fonction, la formule (3) semble être la plus appropriée, soit Nous posons donc u = x3 + 2 donc du = 3x2dx. Nous pouvons réécrire notre intégrale ainsi: Donc