Calcul de probabilités Expérience aléatoire à plusieurs étapes ( exemple : 2 tirages )

Calcul de la probabilité d’expérience aléatoire Dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes, la probabilité d’un événement est égale au produit des probabilités de chacun des événements intermédiaires qui forment cet événement. Deux événements peuvent être dépendants : C’est-à-dire que la réalisation de l’un influence la probabilité de réalisation de l’autre. La lotto 6/49 est un bon exemple. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans le boulier et on fait le deuxième tirage. Ainsi de suite pour les 6 numéros. Deux événements peuvent être indépendants : C’est-à-dire que la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de réalisation de l’autre. À la loto, le résultat de l’extra est 7 numéros provenant de 7 bouliers contenant chacun des boules numérotées de 0 à 9.

Regardons la différence entre ces deux évènements et regardons également comment calculer leurs probabilités en utilisant un arbre de probabilités.

Arbre de dénombrement et arbre de probabilités L’arbre de probabilités est obtenu à partir de l’arbre de dénombrement. Exemple: On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, on voudrait connaître la probabilité d’obtenir 2 fois « pile ». Arbre de dénombrement 1er lancer 2e lancer résultats P , P P P F P , F pièce F F , P P F F , F

Il y a une chance sur deux d’obtenir pile. Arbres de probabilités 1er lancer 2e lancer probabilités 1 4 P 1 2 P 1 2 1 4 1 2 F pièce Il y a une chance sur deux d’obtenir pile. F 1 2 1 4 P 1 2 F 1 2 1 4 L’arbre de probabilités est comme un arbre de dénombrement sur lequel on inscrit la probabilité de chaque possibilité.

Arbre de dénombrement P , P P , F F , P F , F pièce P F Il y a 4 résultats possibles. Chaque résultat a 1 chance sur 4 de se produire.

Arbres de probabilités pièce 1er lancer 2e lancer P F 1 2 4 probabilités L’arbre de probabilités permet de calculer directement la probabilité de chaque résultat.

Arbres de probabilités pièce 1er lancer 2e lancer P F 1 2 4 probabilités A : obtenir pile B : obtenir face La probabilité d’obtenir « pile » suivi de « face » se calcule comme suit: 1 2 1 2 1 4 P( pile suivi de face ) = P(A) X P(B) = X = 1 2 1 2 1 4 P ( A ∩ B ) = P(A) X P(B) = X =

Probabilités de deux évènements indépendants. Dans une expérience aléatoire à deux étapes, deux évènements sont dits indépendants si la première étape n’influence pas la deuxième. Exemple: On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on remet la boule dans l’urne. Le deuxième tirage ne sera donc pas influencé par le premier, puisqu’on remet la boule, obtenue au premier, tirage dans l’urne. Regardons à l’aide de l’arbre de probabilités, cette situation.

Probabilité de deux évènements indépendants. Exemple : On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivi d’une bille bleue si on remet la boule dans l’urne ? R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. Traçons l’arbre de probabilité de cette expérience aléatoire. 1ère pige 2e pige Résultat Probabilité R (R,R) 3/10 X 3/10 = 9/100 3/10 R 3/10 7/10 B (R,B) 3/10 X 7/10 = 21/100 7/10 (B,R) 7/10 X 3/10 = 21/100 R 3/10 B 7/10 B (B,B) 7/10 X 7/10 = 49/100 Avec la formule: 3 10 7 10 21 100 P( rouge suivi bleue ) = P (R ∩ B ) = P(R) X P(B) = X =

Probabilités de deux évènements dépendants. Dans une expérience aléatoire à deux étapes, deux évènements sont dits dépendants si la première étape influence la deuxième. Exemple: On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne. Le deuxième tirage sera donc influencé par le fait que l’on ne remet pas la boule obtenue au premier tirage. Le deuxième tirage est donc influencé par le premier. Regardons à l’aide de l’arbre de probabilités, cette situation.

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne. Quelle est la probabilité de tirer 1 bille rouge suivi d’une bille bleue ? R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. L’arbre de probabilités ( sans remise ) 1ère pige 2e pige Résultat Probabilité R (R,R) 3/10 X 2/9 = 6/90 Il ne reste que 9 boules dans l’urne. 2/9 R 7/9 B (R,B) 3/10 X 7/9 = 21/90 3/10 7/10 (B,R) 7/10 X 3/9 = 21/90 3/9 R B 6/9 B (B,B) 7/10 X 6/9 = 42/90 Réponse: 21/90

L’arbre de probabilités ( sans remise ) 1ère pige 2e pige Résultat Probabilité R (R,R) 3/10 X 2/9 = 6/90 2/9 R 7/9 B (R,B) 3/10 X 7/9 = 21/90 3/10 7/10 (B,R) 7/10 X 3/9 = 21/90 3/9 R B 6/9 B (B,B) 7/10 X 6/9 = 42/90 Avec la formule: P ( R ∩ B) = P(R) X P(B I R) Ici, il faut lire : la probabilité de tirer une bille bleue étant donné le tirage sans remise de la bille rouge : P ( R ∩ B) = P(R) X P(B I R) 3 10 7 9 21 90 P ( R ∩ B) = X =

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. La probabilité de l’événement « tirer successivement 2 billes rouges » se note : S’il y a remise de la bille dans l’urne (Avec remise) : P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) x P(Rouge) = 10 3 10 3 100 9 x = S’il n’y a pas de remise de la bille dans l’urne (Sans remise) : P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) x P(Rouge Rouge) = 10 3 9 2 90 6 15 1 x = = On n’a pas remis la première bille dans l’urne.

Exemple : Lors d’une expérience aléatoire, on lance successivement une pièce de monnaie et un dé. 1er lancer 2e lancer Résultat Probabilité (P,1) 1/2 X 1/6 = 1/12 1 2 (P,2) 1/2 X 1/6 = 1/12 1/6 1/6 (P,3) 1/2 X 1/6 = 1/12 3 1/6 P 1/6 4 (P,4) 1/2 X 1/6 = 1/12 1/6 1/2 5 (P,5) 1/2 X 1/6 = 1/12 1/6 6 (P,6) 1/2 X 1/6 = 1/12 1 (F,1) 1/2 X 1/6 = 1/12 1/6 (F,2) 1/2 X 1/6 = 1/12 2 1/2 1/6 3 (F,3) 1/2 X 1/6 = 1/12 1/6 F 1/6 4 (F,4) 1/2 X 1/6 = 1/12 1/6 1/6 5 (F,5) 1/2 X 1/6 = 1/12 6 (F,6) 1/2 X 1/6 = 1/12

Quelle est la probabilité d’obtenir pile suivi du nombre 4 ? A : obtenir pile B : obtenir le nombre 4 Avec la formule: Les deux évènements sont indépendants donc: P(A ∩ B ) = P(A) X P(B) 1 2 1 6 1 12 P(A ∩ B ) = X = Remarque: On voit parfois écrit P(A ∩ B ) comme ceci P(A , B).

Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la suite de l’autre deux évènements indépendants se calcule par : P(A ∩ B ) = P(A) X P(B) Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la suite de l’autre deux évènements dépendants se calcule par : P ( A ∩ B) = P(A) X P(B I A)

Un sac contient 8 billes de même format: 3 sont bleues, 4 sont vertes et 1 est jaune. On réalise l’expérience aléatoire suivante: tirer 2 billes avec remise. Quelle est la probabilité de tirer 2 billes de la même couleur ? Ici, il faut comprendre tirer 2 billes bleues ou 2 billes vertes ou 1 bille jaune. P(B) = 3/8 P(V) = 4/8 P(J) = 1/8 P( tirer deux billes de même couleur) : P(B ∩ B) + P(V ∩ V) + P(J ∩ J) = 3 8 X 4 8 X 1 8 X + + = 9 64 16 64 1 64 26 64 13 32 + + = =