المستوى: جذع مشترك علمي الهندسة الفضائية المستوى: جذع مشترك علمي إعداد : الأستاذ ابراهيم بحسة ثانوية ابن سينا الصهريج نيابة قلعة السراغنة

1- رسم الأشكال الفضائية في المستوى  بعض القواعد الأساسية  لرسم أشكال فضائية ومجسمات: الخطوط المتصلة في الرسم تمثل الخطوط المرئية في الواقع. الخطوط المتقطعة في الرسم تمثل الخطوط غير المرئية في الواقع.    المستقيمات المتوازية في الواقع تمثل بمستقيمات متوازية في الرسم. النقط المستقيمية في الواقع تمثل بنقط مستقيمية في الرسم . منتصف قطعة في الواقع يمثل بمنتصف قطعة في الرسم. على العموم يتم احترام تناسبية القطع. في المستويات الأمامية الأشكال تمثل بقياساتها الحقيقية.

انقر داخل الشكل ثم استعمل الملمس الأيمن لرؤية الشكل من زوايا مختلفة حدد الأوجه الأمامية والخلفية للمكعب

انقر داخل الشكل ثم استعمل الملمس الأيمن لرؤية الشكل من زوايا مختلفة حدد الأوجه الأمامية والخلفية لرباعي الأوجه

- Après avoir cliqué sur la figure,  on peut taper R pour tourner le plan du dessin d'un demi tour autour d'un axe vertical. (R annule) - On peut modifier la taille et la position du cube en déplaçant a et c et modifier les paramètres de la perspective en déplaçant C'.

2- موضوعات الهندسة الفضائية موضوعة 1 : من نقطتين مختلفتين A وB  في الفضاء يمر مستقيم   وحيد يرمز له بالرمز. (AB) موضوعة 2 :  إذا احتوى مستوى (P)  على نقطتين مختلفتين A و B ،   فإنه يتضمن المستقيم (AB) ونكتب

موضوعة 3 :   من ثلاث نقط غير مستقيمية  A وB و C  في الفضاء يمر مستوى وحيد يرمز له بالرمز (ABC) . موضوعة 4 :   إذا اشترك مستويان مختلفان في نقطة A فإنهما يتقاطعان وفق مستقيم يمر من النقطة A. 

3- الأوضاع النسبية وتوازي المستقيمات والمستويات أ- الأوضاع النسبية لمستقيمين مختلفين:         مستقيمان (D) و (D') في المستوى يمكن أن يكونا:    ◄ إما  مستوائيان : يوجد مستوى يحتوي على المستقيمين معا.   ◄  أو غير مستوائيين : لايوجد أي مستوى يحتوي على المستقيمين معا.  في حالة مستقيمين مستوائيين ، نكون في وضعية الهندسة المستوية:   في المستوى الذي  يحتوي عليهما، يكون المستقيمان:  إما   متوازيين  أو   متقاطعين.

الأوضاع النسبية لمستقيمين مختلفين:      (D) و(D’)  غير مستوائيين. (P)  مستوى يحتوي على (D)  (P)  مستوى يحتوي على (D) و(D’).  (D) و('D) متوازيان قطعا   (D) و('D) متقاطعان. ملاحظة:  مستقيمان منفصلان ( أي تقاطعهما مجموعة فارغة ) ليسا بالضرورة متوازيين، ومستقيمان غير متوازيين ليسا بالضرورة متقاطعين.

ب- الأوضاع النسبية لمستقيم ومستوى : تقاطع مستوى (P)  ومستقيم (D) هو:                 ♦    إما المجموعة الفارغة.                 ♦    أو نقطة وحيدة.                 ♦    أو المستقيم (D). إذا كان التقاطع نقطة وحيدة نقول إن المستوى (P)  والمستقيم (D) متقاطعان.

تعريف يكون مستقيم (D) ومستوى (P) متوازيين في الحالتين التاليتين:   (D) يوازي قطعا (P) (D) ضمن (P) إذن (D) : يوازي (P)

(P) و (Q) متقاطعان وفق مستقيم. ج- الأوضاع النسبية لمستويين مختلفين: تقاطع مستويين مختلفين (P)  و (Q) هو:                 ♦    إما المجموعة الفارغة.                 ♦    أو مستقيم (D).  تعريف:      يكون مستويان  (P) و (Q) متوازيين في الحالتين التاليتين:    (P)  «  و (Q) منطبقان.   (P)   « و (Q) لا يشتركان في أية نقطة.                  ونكتب : (P) // (Q). (P) و (Q) متقاطعان وفق مستقيم. (P) و (Q) متوازيان قطعا.

 خاصية : يكون مستويان  (P) و(Q) متوازيين ، إذا احتوى أحدهما علىكسسسي يقطع أحدهما عت

د- خاصيات التوازي في الفضاء:    خاصية (1) : من نقطة يمر مستوى وحيد يوازي مستوى معلوما.    خاصية (2) : إذا كان مستويان  (P) و(Q) متوازيين ، فإن كل مستوى (H) يقطع أحدهما يقطع الآخر؛ كما أن مستقيمي تقاطع (H) مع (P) و(Q) متوازيان.   خاصية(3)   إذا كان مستقيم (D) موازيا لمستوى (P)، فإن كل مستوى (Q) قاطع للمستوى (P) ويحتوي على (D)  فهو يقطع (P) وفق مستقيم مواز للمستقيم .(D)

   (D) يوازي (P)   و (Q) يقطع (P)     و  (D) ضمن (Q)  .     ('D) هو تقاطع (P) و (Q) .              إذن ('D) // (D).

(D) يوازي المستويين (P) و .(Q) خاصية(4) :     إذا كان مستقيم (D) موازيا لمستقيم ضمن مستوى (P) ، فإنه يوازي المستوى (P).  (D) يوازي ،(D')   و (D') ضمن. (P)  إذن. (P) // (D)        خاصية(5):  إذا كان مستويان متقاطعان يوازيان مستقيما (D) ، فإن تقاطعهما مستقيم مار للمستقيم (D). (D) يوازي المستويين (P) و .(Q)  (D') تقاطع  (P) و(Q) .   إذن   . ('D) // (D)  

خاصية :(6) إذا كان مستويان متوازيين ، فإن كل مستوى قاطع لأحدهما يقطع الآخر ، ومستقيما التقاطع متوازيان.  المستويان (P) و (P') متوازيان .  المستوى (Q) يقطع (P) و (P').   (D) هو تقاطع (P) و . (Q)   (D') هو تقاطع (P') و (Q) .       إذن:     ('D) // (D)    خاصية(7)   (مبرهنة السقف) :         إذا اشتمل مستويان متقاطعان على مستقيمين متوازيين قطعا، فإن تقاطعهما هو مستقيم مواز لهذين المستقيمين المتوازيين.   (d) ضمن (P) و (d') ضمن (Q).   و ('d) // (d).   (D) هو تقاطع (P) و (Q).    إذن    (D) // (d) :  و (D') // (d) .

مبرهنة السقف

- 4 التعامد في الفضاء أ- تعامد مستقيمين :  تعريف:        يكون مستقيمان ('D1) و ('D2 ) متعامدين في الفضاء إذا كان الموازيان لهما من نقطة ما في الفضاء متعامدين في المستوى الذي يحددانه ونكتب: ('D1') ┴  (D2 ).  D'1 يوازي , D1 D'2 يوازي , D2 D1 و D2   يتقاطعان في المستوىP   و  D1  عمودي على . D2 إذن: D'1  و D'2  متعامدان.

D عموديا على جميع مستقيمات P . ب- تعامد مستقيم ومستوى :   تعريف:          يكون مستقيم (D) عموديا على مستوى (P) إذا وفقط إذا كان متعامدا مع جميع المستقيمات الموجودة ضمن (P) ، ونكتب :  (D) ┴  (P ).   مبرهنة:        يكون مستقيم (D) عموديا على مستوى (P) إذا وفقط إذا كان متعامدا مع مستقيمين متقاطعين ضمن هذا المستوى.       D عمودي على P إذن:   D عموديا على جميع مستقيمات P .

المستوى Q يتضمن مستقيما D عموديا على المستوى P إذن P و Q متعامدان ج- تعامد مستويين : تعريف : يكون مستويان (P) و(Q) متعامدين إذا وفقط إذا احتوى أحدهما على مستقيم عمودي على الآخر، ونكتب  (P) ┴ (Q)   :   المستوى Q يتضمن مستقيما D عموديا على المستوى P إذن P و Q متعامدان أمثلة على مكعب:   المستويان (ABC) و (EFG) متوازيان. إذن كل مستقيم ضمن أحدهما يوازي الآخر: مثلا، المستقيم (AC)  يوازي المستوى  (EFG)   المستقيم (AE) عمودي على المستقيمين المتقاطعين (AB) و (AD) ، إذن :  المستقيم (AE) على المستوى (ABC) ،              إذن فهو عودي على جميع مستقيمات هذا المستوى، مثلا  لدينا: (AE)  عمودي على (AC) .   المستويان (ABC) و(AEH)  متعامدان لأن أحدهما يحتوي على مستقيم عمودي على الآخر...   

د- خاصيات التعامد والتوازي في الفضاء : خاصية(1) إذا كان مستويان متوازيين ، فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديا على الآخر . خاصية(2) إذا كان مستقيمان متوازيين ، فإن كل مستوى عمودي على أحدهما يكون عموديا على الآخر .       المستويان P و Q متوازين.    المستقيم  D عمودي على  ، P    إذن : المستقيم  D عمودي على . Q   المستقيمان D وD' متوازيان.   المستوى P عمودي على  ،D    إذن : المستوى P عمودي على   ، D‘

خاصية : (3)إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستوى ،فإنهما متوازيان. المستويان P و Q متوازين.    المستقيم  D عودي على  ، P    إذن : المستقيم  D عودي على . Q    المستقيمان D و D' متوازيان.   المستوى P عمودي على  ، D    إذن : المستوى P عمودي على  ، D'     أو    خاصية : (3)إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستوى ،فإنهما متوازيان.      المستقيمان  D و D' عموديان على المستوى   ، P إذن D و D' متوازيان.  

خاصية(4) : إذا كان مستويان عموديين على نفس المستقيم ،فإنهما متوازيان.  خاصية(4) : إذا كان مستويان عموديين على نفس المستقيم ،فإنهما متوازيان.   خاصية(5):  من نقطة في الفضاء يمر مستقيم وحيد عمودي على مستوى معلوم.   خاصية(6) :   من نقطة في الفضاء يمر مستوى وحيد عمودي على مستقيم معلوم.   خاصية(7): إذا كان مستويان متقاطعان عموديين على نفس المستوى P ، فإن تقاطعهما مستقيم عمودي على P .     المستويان  Q و Q' عموديان على المستوى . P  Q و Q’ يتقاطعان وفق المستقيم . D  إذن : D عمودي على . P .

تمارين تمرين 1 تمرين 2 تمرين 3 http://vd.educanet2.ch/jeanluc.lienhard/perspective/page4.html

تمرين 1 ABCDEFGH مكعب ، I مركز الوجه ABCD و J منتصف الضلع [CG] حدد نقطة تقاطع المستقيم (IJ) والمستوى (EFGH)

أولا لدينا IوJ نقطتين من المستوى (ACGE) إذن المستقيم (IJ) ضمن المستوى (ACGE) وبما أن K نقطة تقاطع (IJ) و المستوى (EFGH) فإن K تنتمي إلى تقاطع المستويين (ACGE) و (EFGH) أي (EG) إذن K هي نقطة تقاطع (IJ) و (EG) الحل:

تمرين 2