Les Sections Coniques

Classification des sections coniques Menu Les sections coniques Les translations Compléter le carré Classification des sections coniques

Les coniques Retour au menu Parabole Ellipse Cliquer sur une Photo Cercle Hyperbole Retour au menu

La Parabole Une parabole est formée par l’intersection d’un plan et d’une cône de manière oblique (par rapport à la base)

Les Paraboles On peut décrire une parabole comme étant tous les points qui se trouvent à égale distance d’une droite et d’un point fixe Le point fixe est appelé foyer. La droite est appelée directrice. Fais une construction: (carte d’index)

Quelques paraboles

Paraboles Parabole FOYER Directrice

Forme standard de l’équation d’une parabola avec le sommet (0,0) foyer directrice Axe de symmétrie x2=4py (0,p) y = -p y2=4px (p,0) x = p

4p = le terme devant la variable (x ou y). Résous. Pour trouver p 4p = le terme devant la variable (x ou y). Résous. Exemple: x2=24y 4p=24 p=6

Exemples: les paraboles Trouve le foyer et la directrice y = 4x2 x2= (1/4)y 4p = 1/4 p = 1/16 FOYER (0, 1/16) Directrice Y = - 1/16

Exemple 2: les paraboles Trouve le foyer et la directrice x = -3y2 y2= (-1/3)x 4p = -1/3 p = -1/12 FOYER (-1/12, 0) Directrice x = -1/12

Exemple 3: les paraboles Trouve le foyer et la directrice À toi maintenant… y = -6x2 FOYER (0, -1/24) FOYER ???? Directrice y = 1/24 Directrice ????

Exemple 4: les paraboles Trouve le foyer et la directrice x = 8y2 FOYER ???? (1/32, 0) Directrice ???? x = 1/32

Écrire des équations de paraboles:

Forme standard sommet à (0,0) Exemple 1 Foyer à (-4,0) Pour écrire l’équation y2 =4px p = -4 y2 = 4(-4)x y2 = -16x

Forme standard (2) la directrice est y = 6 Pour écrire l’équation: x2 =4py p = -6 x2 = 4(-6)y x2 = -24y

Forme standard (3) Avec une directrice de x = -1 y2 = 4px

Forme standard (4) Foyer à (0,3) x2 = 4py Retour au menu

Cercles Un Cercle est formé par l’intersection d’un plan et d’une cône (parallèle à la base)

Équation en forme standard d’un cercle ayant son centre à l’origine (0,0)

Les cercles et les points d’intersection On peut utiliser la formule de la distance pour déterminer le rayon

Cercles Exemple 1 Écris l’équation d’un cercle qui contient le point (4,5) et qui a son centre à l’origine.

Exemple 2: Cercles Trouve tous les points d’intersection entre ses deux fonctions (un cercle et une droite)

Quoi maintenant??!!??!!?? Substitue pour x.

Exemple 2 (suite) Retour au menu

Les Éllipses

Exemples d’Éllipses Fais une construction

Ellipses Grand axe horizontal

Equation The FOYERS (-c,0) & (c,0) Points sur le petit axe (0,b)& (0,-b) The Equation CENTRE (0,0) Points sur le grand axe (-a,0) & (a,0)

Grand axe vertical (parallèle à l’axe des y) Ellipses Grand axe vertical (parallèle à l’axe des y)

Equation The FOYERS Points sur le petit axe (0,-c) & (0,c) (b, 0)& (-b,0) The Equation Points sur le grand axe (0,-a) & (0, a) CENTRE (0,0)

L’ellipse: Notes Longueur du grand axe = 2a Longueur du petit axe= 2b Pour trouver les foyers (c) utilise: c2 = a2 - b2

L’ellipse: Exemple 1 Trouve les foyers et les sommets a = distance aux sommets c = distance du centre aux foyers

L’ellipse: exemple 2 Trouve les foyers et les sommets a = distance aux sommets c = distance du centre aux foyers

Écris l’équation d’une ellipse qui a des sommets du grand axe à (-5,0) et (5,0) et des sommets du petit axe à (0,-3) à (0,3). Trouve les foyers.

Réécris l’équation en forme standard, puis trouve les sommets du grand axe et les foyers

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L’hyperbole

Hyperboles: Exemples

L’hyperbole: Notes Axe transversal horizontal Centre (0,0) Asymptotes Sommets (a,0) & (-a,0) Foyers (c,0) & (-c, 0)

L’hyperbole: Notes (2) Axe transversal horizontal Équation:

L’hyperbole: Notes (3) Pour trouver les asymptotes

L’hyperbole: Notes (4) Axe transversal vertical Centre (0,0) Asymptotes Foyers (c,0) & (-c, 0) Sommets (a,0) & (-a,0)

L’hyperbole: Notes (5) Axe transversal vertical équation

L’hyperbole (6) Axe transversal vertical Pour trouver les asymptotes

Écris l’équation d’une hyperbole ayant ses foyers à (-5,0) et (5,0) et les sommets à (-3,0) et (3,0) a = 3 c = 5

Écris l’équation d’une hyperbole ayant ses foyers à (0,-5) et (0,5) et ses sommets à (0,-4) et (0,4) a = 4 c = 5

À partir de l’équation d’une hyperbole, trouve les asymptotes et puis trace le graphique. a = 4 b = 3 Au menu

Les translations Qu’est-ce qui se passe si la section conique n’a pas son centre à l’origine (0,0)?

Les translations le cercle

Les translations la parabole axe de symmétrie horizontal ou Axe de symmétrie vertical

Les translations l’ellipse ou

Les translations l’hyperbole ou

Les translations Identifie la section conique et trace son graphique. 3 centre: (1,-2)

Les translations Identifie la section conique et trace son graphique.

Les translations Identifie la section conique et trace son graphique. centre sommets asymptotes

Les translations Identifie la section conique et trace son graphique Retour au menu centre

Compléter le carré (1) Voici les étapes pour compléter le carré 1) Regroupe les termes pour rassembler les variables x2 + x, y2+y,et isoler le terme constant. Divise le coefficient de x par 2, prend le carré, ajoute cette valeur aux deux côtés de l’équation. Répéte étape 2 s’il y a un coefficient pour y (au besoin). Récris comme le carré parfait d’un binôme.

Compléter le carré (2) Réécris en forme standard et identifie le centre et le rayon d’un cercle. Équation: x2+y2+10x-6y+18=0 x2+10x+____ + y2-6y + ____=-18 (x2+10x+25) + (y2-6y+9)=-18+25+9 (x+5)2 + (y-3)2=16 (forme standard) Centre (-5,3) Rayon = 4

Compléter le carré (3) Réécris l’équation en forme standard, identifie la section conique, le centre et la longueur des axes Équation: x2+4y2+6x-8y+9=0 x2+6x+____ + 4y2-8y+____=-9 (x2+6x+9) + 4(y2-2y+1)=-9+9+4 (x+3)2 + (y-1)2=4 centre: (-3,1) a=2, b=1 Grand axe=4 Petit axe=2 Retour au menu

Classification des sections coniques

Classification des sections coniques La forme générale de toute section conique: Hmm… ça ressemble à quelque chose…

Classification des sections coniques (Exemple #1) Classifie la section conique, donnée en forme générale ellipse

Classification des sections coniques (ex2) Parabole

Classification des sections coniques (ex3) hyperbole

Classification des sections coniques (ex4) hyperbole Retour au menu

Classification des sections conique Si l’équation est donnée en forme générale: A C mais ils ont le même signe, B=0 Cercle Ellipse A = C, B=0

Classification des sections coniques A ou C = 0 Parabole Retour au menu

Classification des sections coniques en forme générale A et C ont des signes opposés hyperbole Retour au menu