Le fonctionnement du GPS Global Positioning System Une application de la Relativité Restreinte et Générale

Les ‘’ingrédients’’ du système GPS Un récepteur GPS Une constellation de satellites GPS dont les positions sont connues avec une très grande précision, et munis d’horloges atomiques parfaitement synchronisées Un réseau de stations de contrôle au sol dont les positions sont connues avec une très grande précision, et munis d’horloges atomiques parfaitement synchronisées

Le principe de la localisation Le récepteur GPS doit déterminer la distance par rapport à, au minimum 3 satellites de la constellation GPS. Cette distance est obtenue à l’aide de la formule distance = vitesse x temps La vitesse est ici celle des signaux émis par les satellites, donc la vitesse de la lumière, et le temps est celui calculé par le récepteur à partir des données reçues. Cette description ne tient pas compte de l’effet Shapiro qui consiste en un retard gravitationnel de la lumière, effet prévu par la Relativité Générale. Cet effet est la combinaison double du fait que le signal observé ne se propage plus en ligne droite et parcourt ainsi un chemin plus grand que ce qu'il ferait en l'absence de masse dans son voisinage, et du fait que l'écoulement du temps est affecté par la présence de masse. Avec un satellite on peut connaître la distance à laquelle on s’en trouve mais pas la direction par rapport au satellite. Avec 2 satellites on réduit la position à laquelle on se trouve à un cercle. Avec 3 satellites on est ramené à 2 points. Comme on se trouve à la surface de la Terre on peut éliminer le point erroné. Mais on peut aussi utiliser un 4ème satellite pour obtenir plus de précision sur la position et déterminer l’altitude. En usage civil la précision sur la position est de l’ordre de 5 m, en usage militaire cette précision tombe à 1mm.

La constellation de satellites GPS La constellation de satellites GPS est constituée de 24 satellites en orbite sur des trajectoires quasi-circulaires dans 6 plans, formant un angle de 55° avec le plan équatorial. Leur altitude est d’environ 20000 km et leur vitesse orbitale d’environ 14000 km/h soit 4000 m/s. A tout instant le récepteur GPS peut « voir » jusqu’à 12 satellites. Une des fonctions du contrôle au sol est de maintenir avec précision les trajectoires des satellites (qui disposent pour se recaler d’une réserve de carburant)

Pour que le récepteur GPS puisse connaître avec précision sa position il faut que les satellites GPS eux-mêmes connaissent leur position avec la même précision. Les paramètres de leur trajectoire leur sont transmis par les stations de contrôle au sol et constituent les éphémérides des satellites. Mais pour cela les stations au sol doivent elles-mêmes connaître avec précision leur position sur le géoïde terrestre. On utilise pour cela un référentiel tournant particulier le WGS84 (World Geodetic System 1984) Ce référentiel est lui-même basé sur une carte d’objets astronomiques, les quasars, situés extrêmement loin pour pouvoir être considérés comme fixes, mais restant néanmoins visibles (dans le domaine des ondes radio) : le catalogue ICRF2 (International Celestial Reference Frame, la 2ème version datant de 2009 contenant des milliers d’objets)

La deuxième information est l’heure d’envoi du signal. Les éphémérides sont une des informations transmises par les satellites que le récepteur GPS utilise pour calculer sa position. La deuxième information est l’heure d’envoi du signal. Si les satellites GPS sont équipés d’une horloge atomique contrôlée depuis les stations de contrôle au sol qui la resynchronisent une fois par jour, les récepteurs GPS n’en disposent évidemment pas. Le décalage d’une horloge atomique est de l’ordre de la nanoseconde par jour ce qui provoquerait un écart de position de 0,3 m. Par ailleurs le système GPS utilise ce qu’on appelle le temps GPS, géré par le United States Naval Observatory, décalé de 19 s sur le TAI (Temps Atomique International) et en décalage variable avec le temps UTC (Temps Universel Coordonné) Concrètement, pour déterminer sa position, le récepteur GPS doit théoriquement résoudre 3 équations en x, y et z, équations obtenues à partir des informations transmises par 3 satellites. Pour corriger l’erreur sur le temps due à la forcément moins bonne précision de l’horloge du récepteur, on utilise les données d’un 4ème satellite : on a alors à résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues. En milieu urbain le récepteur fusionne les données de plus de 4 satellites. Des algorithmes (méthode de Newton-Raphson) très rapides car utilisant la dernière position connue du récepteur, permettent de calculer cette position avec une précision de l’ordre du mètre et à chaque seconde.

Et la Relativité dans tout cela ? Le fonctionnement du GPS repose sur une connaissance du temps la plus précise possible. La non prise en compte la Relativité induit une erreur inacceptable sur le calcul de la position. La Relativité Restreinte postule l’invariance de la vitesse de la lumière quel que soit le référentiel là où la Physique Classique permettrait de retrancher ou d’additionner la vitesse du satellite pour obtenir la vitesse relative de la lumière. Avec un satellite à 20000 km du sol la durée de parcours du signal est de l’ordre de 20000 / 300000  0,07 s. Avec une vitesse du satellite de 4000 m/s, l’erreur sur la position serait de 4000 X 0,07 = 280 m. Mais ce n’est pas tout…

Soit un décalage relatif La théorie de la Relativité Restreinte prévoit un décalage temporel entre l’horloge embarquée sur le satellite et celle du récepteur GPS, décalage dû au mouvement relatif des 2 horloges (phénomène appelé dilatation des durées) L’intervalle de temps propre, est l’intervalle de temps mesuré par un observateur dans le référentiel où les 2 évènements se produisent au même endroit. L’intervalle de temps impropre, est l’intervalle de temps mesuré par un observateur dans le référentiel où les 2 évènements ne se produisent pas au même endroit. Si on considère 2 évènements se produisant au même endroit dans un référentiel, ces 2 évènements ne se produiront pas au même endroit dans un autre référentiel, en mouvement par rapport au premier. Si on considère les « battements » réguliers d’une horloge, les intervalles de temps précédents constituent des périodes. La formule peut-être réécrite avec des fréquences. On obtient alors en faisant une approximation aux vitesses faibles (justifiée par le fait de 4000 m/s << 3x108 m/s) Soit un décalage relatif

Mais un autre effet vient s’ajouter : l’effet Sagnac On raisonne dans un référentiel inertiel lié au centre de la Terre mais ne tournant pas avec celle-ci : l’ECI (Earth Centered Inertial) 2 horloges qui se déplacent autour de la Terre en sens contraires (vitesse +v vers l’Est, -v vers l’Ouest, présentent, par rapport à une horloge fixe, un décalage relatif avec R le rayon terrestre à l’équateur et  la vitesse angulaire de rotation de la Terre Le terme de droite, en v, correspond à l’effet Sagnac. Mais ce n’est pas tout…

Après la Théorie de la Relativité Restreinte, Einstein a été conduit à développer la Théorie de la Relativité Générale qui inclut la gravitation. Le fonctionnement des horloges ne dépend pas que de leur mouvement. Il est également influencé par la gravitation. Un décalage relatif supplémentaire, dû à la gravitation (où intervient donc la Relativité Générale), vient s’ajouter. Après transformations et hypothèses particulières une horloge à la surface d’un corps de masse M et de rayon R, l’autre à une altitude h v <<c On peut écrire le décalage relatif en fréquences entre les 2 horloges dû à la seule gravitation On appelle ce décalage l’effet Einstein

Pour 2 horloges telles que h = 20000 m on aura un décalage relatif de Entre 2 horloges le décalage par jour serait de Ce qui conduirait à une erreur sur la position de Le décalage relatif est positif, ce qui signifie que l’horloge en altitude avance sur celle restée au sol, alors qu’elle retardait dans le cas de l’effet dû au mouvement.

Finalement le décalage total obtenu est, en tenant compte de la latitude  Enfin si l’on tient compte du fait que les trajectoires des satellites sont des ellipses de grand axe a on obtient, avec r la distance variable du satellite au centre de la Terre Les expériences de Hafele-Keating, utilisant des horloges atomiques embarquées sur des avions et des horloges fixes restant au sol, toutes synchronisées au départ, ont montré que les horloges embarquées, se déplaçant vers l’Est et vers l’Ouest, par rapport à des horloges fixes, montraient des décalages en bon accord avec la théorie. Le premier terme de la formule, dû au caractère elliptique de la trajectoire correspond à un décalage de temps pouvant atteindre 75 ns, ce qui correspond à un écart de distance d’environ 22 m… (inacceptable !) Mais il y a pire…

Le décalage relatif entre 2 horloges, l’une immobile dans l’ECI et l’autre embarquée sur le satellite GPS peut être calculé par Le décalage temporel introduit sur une journée serait alors de Ceci entrainerait un écart sur la position, dû au seul mouvement, de La gravitation, quant à elle, provoque un décalage relatif de Avec r = 26378 km, R = 6378 km et GM = 3,986x1014 m3/s2 Le décalage temporel introduit sur une journée serait alors de Ceci entrainerait un écart sur la position, dû à la gravitation, de

soit environ 8 m après seulement 1 minute… S’il est vrai que les 2 effets (celui dû au mouvement et celui dû à la gravitation) s’opposent, on aurait quand même un décalage temporel de 39 µs en une journée, soit un écart sur la position de 11,6 km. Il est donc clair que le système GPS doit tenir compte de la Théorie de la Relativité Restreinte et Générale. Pensez qu’en 1 seconde l’écart sur la position serait d’environ 0,14 m, soit environ 8 m après seulement 1 minute…

« De la Relativité au GPS » aux éditions Ellipses Crédits photos http://www.fnac.com/GPS-TomTom-GO-940-Live-NEUF-Europe-et-Amerique-du-Nord/a2681428/w-4 http://www.lyon-science.fr/swoog-le-gps/ http://www.lb.auf.org/sammuneh/ch2-2.htm http://www.futura-sciences.com/magazines/espace/infos/actu/d/astronomie-carte-quasars-service-gps-21190/ https://courses.washington.edu/gis250/lessons/gps/ http://www.astrosurf.com/luxorion/gps2.htm L’idée de ce diaporama est venue de la lecture du livre de Pierre Spagnou « De la Relativité au GPS » aux éditions Ellipses

Cette présentation est sous licence Cette présentation a été composée par JL Fritsch Professeur de Sciences Physiques au Lycée Jean Mermoz ( 68 Saint-Louis, France) Cette présentation est sous licence PAS d’utilisation commerciale – Partage à l’identique Infos sur la licence ici : http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ Mise à jour : mai 2016

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