PUISSANCES D’UN NOMBRE I LES PUISSANCES DE 10 1° Activité : Écrire en chiffres Une année lumière: environ neuf mille milliard de kilomètres 9 000 000 000 000 km Masse du soleil : deux milliards de milliards de tonnes 2 000 000 000 000 000 000 t Le juron du capitaine Haddock: Mille milliards de mille sabords 1 000 000 000 000 000 sabords Un micron: un millionième de mètre. 0,000 001 m Rayon de l’atome d’hydrogène : cinq dix milliardièmes de centimètres 0,000 000 000 5 cm

Remarques : a) Ces écritures ne sont pas faciles à utiliser. ♦ On peut oublier des zéros ou en rajouter ♦ Ils ne rentrent pas dans la calculatrice ♦ Ils sont difficiles à lire ♦ Et si il faut faire des opérations cela ne sera pas facile b) Il existe une écriture qui va nous permettre d’écrire plus simplement ces nombres.

2° Définition des puissances de 10 a) Exposant positif 100 = 10 ×10 = 10² 3 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 4 10 000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 On lit «  10 exposant 4 » ou « 10 puissance 4 » L’exposant indique le nombre de zéros après le 1 n 10n = 10 ……………..0 n zéros

b) Exposant négatif - 1 0,1 = 10 -2 0,01= 10 -3 0,001 = 10 -4 0,000 1 = 10 On lit « 10 exposant -4 » ou « 10 puissance -4 » L’exposant négatif indique le nombre de chiffres après la virgule n 10 -n = 0 , 0 …………………….1 n chiffres après la virgule

3° Remarque a) 0,001= On retient : Exemples:

b) Nous admettons.

II REGLES DE CALCUL 1° Produit de deux puissances Règle:

2° Quotient de deux puissances a) Exemples: b) Règle

3° Exemples ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ DANGER

4° Puissances d’une puissance. a) Exemples. b) Règle

DANGER Il n’y a pas de règle générale pour additionner les puissances. 5° Somme ou différence de deux puissances Ce n’est pas une puissance de 10 DANGER Il n’y a pas de règle générale pour additionner les puissances. Il faut revenir aux écritures décimales.

III DIFFERENTES ECRITURES D’UN DECIMAL 1° Activité 4 Page 53 4 5 100 000 6 1 000 000 7 10 000 000 -6 -5 0,000 01 -2 0,01 -7 0,000 000 1

un seul chiffre non nul avant la virgule 2° Règle Un nombre décimal admet plusieurs écritures sous la forme : dans laquelle a représente un nombre décimal et n un entier relatif. 3° Notation scientifique L’écriture scientifique d’un nombre est l’unique forme dans laquelle le nombre a possède un seul chiffre non nul avant la virgule

Exemples : On écrit 375,9 en notation scientifique

4° Calculs en notation scientifique. a) Exemple 1: produit

b) Exemple 2 : quotient

c) Exemple 3 : produit et quotient. On regroupe les nombres et les puissances de 10

DANGER d) Exemple 4: Somme ou différence Il y a une somme , on ne peut pas regrouper d’un côté les nombres de l’autre les puissances Si les exposants sont petits on peut revenir aux écritures décimales. Sinon vous apprendrez plus tard.

IV PUISSANCES D’UN NOMBRE 1°Remarque: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 × 5 7 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 2° Définition a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul n a = a × a × ……………… × a n facteurs égaux à a Remarques : ♦ On lit a « puissance n » ou « a exposant n » ♦ a0 = 1 ♦ a1 = a

3° Calculs. a) Les puissances sont prioritaires sur les multiplications 5 × 32 = 5 × 9 = 45 b) Si l’exposant ou le nombre sont petits on calcule à la main ou de tête. 53 =125 25 =32 Sinon on utilise la calculatrice.

Touche puissance

ATTENTION -32 ( -3 )2 ♦ -32 = - 9 ♦ ( -3 )2 = ( -3 ) × ( -3 ) = 9 53 Ne pas confondre : -32 et ( -3 )2 1° ♦ -32 = - 3 × 3 = - 9 Seul 3 est au carré ♦ ( -3 )2 = ( -3 ) × ( -3 ) = 9 ( -3 ) est au carré 2° La puissance et le produit 53 = 5 × 5 × 5 = 125 5 × 3= 15

V REGLES DE CALCUL ♦ an × am = a n+m ♦ an× bn = (ab)n ♦ (an)m=an×m 1° Puissances et produit. a) Produit de deux puissances d’un même nombre. 23 ×24 = 2×2×2 × 2×2 ×2 ×2 = 27 b) Produit de puissances de même exposant 23×53 = 2×2×2 ×5×5×5 = 2×5 × 2×5 × 2×5 = ( 2×5)3 c) Puissances d’une puissance. (73)2 = 73 × 73 = 7×7×7×7×7×7 = 76 d) Règles a,b étant des nombres relatifs ; m, n des entiers relatifs ♦ an × am = a n+m ♦ an× bn = (ab)n ♦ (an)m=an×m

e) Exemples: 1° cas 35×32=35+2=37 x3× x4× x = x3+4+1 = x8 2° cas 32×52=(3×5)2=152 3° Supprimer des parenthèses (3x)2 = 32 × x2 = 9 × x2 = 9x2

2° Puissances et quotient a) Quotient de deux puissances d’un même nombre. b) Quotient de puissances de même exposant c) Règles a,b étant des nombres relatifs ; m un entier relatif.

d) Exemples.

3° Exposants négatifs ♦ Donc : ♦ Règle. Soit a un nombre relatif non nul et n un entier positif ► est l’inverse de ►