Vers la fonction exponentielle. Partie A On donne : un repère orthonormé du plan , un point M0(x0,y0), un réel k non nul, un réel strictement positif h. On applique la méthode graphique d’Euler pour approcher une solution de l’équation différentielle y = k y dont la courbe représentative passe par M0. On donne la figure et les indications suivantes :
Les coordonnées du point M sont (xM ; yM) L’abscisse du point m est xM + h. La droite (Mm) est la tangente en M à la courbe « approchée », elle coupe (éventuellement) l’axe des abscisses en a. b et c sont les projetés sur (OI) des points M et m. ( sur la figure k = 0,5)
1°) Déterminer l’abscisse du point a, montrer que la distance ab est constante. 2°) En utilisant les triangles cam et baM exprimer l’ordonnée de m en fonction de celle de M de h et de k. 3°) Peut-on exprimer l’ordonnée de m à partir de celle de M0 ? On introduit la sous tangente et en TD on traitera de la réciproque On peut obtenir ces résultats par l’égalité
Peut-on approcher la valeur f(x) ? Partie B On donne : un repère orthonormé du plan , un point M0(x0,y0), un réel k non nul. une fonction f désignant une solution de l’équation différentielle y = k y dont la courbe représentative passe par M0. un réel x strictement supérieur à l’abscisse x0 de M0 Peut-on approcher la valeur f(x) ?
Suite arithmétique des abscisses 1°) Par la méthode graphique d’Euler peut-on arriver à un point d’abscisse x ? 2°) Posons , déterminer les abscisses des points M, qui interviennent dans la construction d’Euler. Suite arithmétique des abscisses 3°) Déterminer l’ordonnée du point m d’abscisse x correspondant à la construction d’Euler. Suite géométrique des ordonnées On suppose que M0 = J. Que deviennent les résultats précédents ? On pose de plus k = 1, que deviennent les résultats précédents ?
Mise en évidence de la suite Vers la figure active dans geoplanW
Théorème : Il existe une fonction définie dérivable sur R vérifiant : f(0) = 1 pour tout réel x, f ' (x) = f(x). Ce théorème sera admis