CALCUL DES DERIVEES Techniques de calcul scientifique Racine d’une fonction CALCUL DES DERIVEES Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Calcul des dérivées Soit une fonction f(x) qui prend les valeurs fj = f(xj) aux points xj, régulièrement espacés d'un pas h. Avec h = xj-xj-1 Dérivée à droite (progressive) Dérivée à gauche (régressive) Dérivée centrée Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à droite Calcul de f'j à l’ordre 1 en h Prof. A. TOUHAMI

Interprétation géométrique Mj-1 Mj Mj+1 xj xj-1 xj+1 h y = f(x) x Du point de vue interprétation géométrique cette relation permet de remplacer la tangente au point Mj par la sécante Mj-Mj+1. Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Opérateur différence à droite On définit l'opérateur différence à droite + comme l'opérateur linéaire défini par: On peut alors aisément définir les puissances entières de +: Plus généralement on peut montrer par récurrence que : Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à droite Calcul de f"jà l’ordre 1 en h On développe f(x+h) et f(x+2h) en faisant x = xj Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à droite Calcul de f(n)jà l’ordre 1 en h 1 -4 6 -3 3 -1 -2 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à droite Calcul de f'j à l’ordre 2 en h En remplaçant f"(x) par son expression qu'on a déjà déterminé dans le calcul à l'ordre 1en h et on obtient: en faisant x = xj Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à droite Le tableau ci-dessous donne les dérivées ainsi calculées jusqu'à l'ordre 4: -2 11 -24 26 -14 3 -3 14 18 -5 -1 4 2 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à droite Exemple: Dans le cas où calculer les dérivées au point 0 xi -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(xi) 0.25 0.16 0.09 0.04 0.01 f'(xi) -1 -0.8 -0.6 0.6 0.8 1 f"(xi) 2 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à droite Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à gauche Opérateur différence à gauche On peut comme précédemment définir par récurrence: Calcul de f'j à l’ordre 1 en h Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à gauche en faisant x = xj Mj-1 Mj Mj+1 xj xj-1 xj+1 h y = f(x) x Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à gauche Calcul de f(n)jà l’ordre 1 en h 1 -4 6 -1 3 -3 -2 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à gauche Calcul de f'j à l’ordre 2 en h Les premiers coefficients des dérivées à l’ordre 2 à partir des différences à gauche sont données par le tableau ci-dessous: -2 11 -24 26 -14 3 24 -18 5 -1 4 -5 2 1 -4 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée à gauche Exemple: Calculer les dérivées à gauche de au point x=0 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée centrée Calcul de f'j en faisant x = xj Prof. A. TOUHAMI

Dérivée centrée Interprétation géométrique Mj-1 Mj Mj+1 xj xj-1 xj+1 h y = f(x) x Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée centrée Calcul de f"j en faisant x = xj Prof. A. TOUHAMI

Dérivée centrée Calcul de f(n)j La dérivée d’ordre n de f(x) peut s’écrire sous deux formes différentes selon la parité de n (n = 2p ou n = 2p+1) Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée centrée Quatre premiers coefficients des dérivées à l’ordre 2   -1 1 -2 2 -4 6 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Dérivée centrée Quatre premiers coefficients des dérivées à l’ordre 4   1 -8 8 -1 16 -30 13 -13 12 -39 56 Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI

Conclusion Les différences centrées donnent des résultats bien plus précis que les différences à droite ou à gauche Parfois on serait obligé d’utiliser les différences à droite ou à gauche dans le cas où le nombre x est limité en bord du domaine Prof. A. TOUHAMI Prof. A. TOUHAMI